数分课外习题 1.设x0>a>0,xn1 n>0,证明数列{xn}收敛并求其极限 2.求 lim cos= COS-7Co5 …cos-.并由此证明Veta公式 2 V2V22V2V2+2V22V2 3.用E-N语言证明,若实数列{x}满足m(xn-xn2)=0,则mnx-xm=0 n→∞n 4.证明:li (+)E样(-小o 5.设∫(x)=lmn1+ ,写出∫(x)的表达式及定义域 6.设a>1,b>1,函数∫R→R在x=0附近有界,且对任意实数x,f(ax)=bf(x), 证明:f(x)在零点连续 7.设∫(x),g(x)为周期函数,且im(f(x)-g(x)=0,证明:f≡g 8.设a(1),b(1)为[0,1上连续函数,0≤a(1)≤λ0,存在数列xn→+∞0,使 lim(f(,+1)-f(x,))=0 请问是否存在R上的连续函数,使它的任一函数值都被恰好取到两次或都被恰好 取到三次? 求证:在R上不存在可导函数f(x)满足∫2(x)=x2-3x+3 +√x)2,neN,求yo(0) 13. Riemann函数RR→R的定义是:
1 数 分 课 外 习 题 1． 设 x0 a 0， 2 , 0 3 1 1 2 + = + n x a x x n n n ，证明数列 xn 收敛并求其极限 . 2． 求 . 2 cos 2 cos 2 cos 2 lim cos 2 3 n n x x x x → 并由此证明 Vieta 公式： 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 = + + + 3． 用 − N 语言证明，若实数列 { }n x 满足 lim ( − −2 ) = 0 → n n n x x ，则 lim 0. 1 = − − → n x x n n n 4． 证明： . 6 1 3 lim 1 1 lim 1 2 1 3 2 = → = → = = + − n i n n i n n i n i 并求 lim 1 , ( 0). 1 2 − = → a a n i n i n 5． 设 − + = + + → n n x n n n f x n 1 1 1 ( ) lim 1 1 ，写出 f (x) 的表达式及定义域 . 6． 设 a 1, b 1 ，函数 f : R → R 在 x = 0 附近有界，且对任意实数 x ， f (ax) = bf (x)， 证明： f (x) 在零点连续 . 7． 设 f (x), g(x) 为周期函数，且 lim ( ( ) − ( )) = 0 →+ f x g x x ，证明： f g . 8． 设 a(t), b(t) 为 [0,1] 上连续函数， 0 a(t) 1， 求证：方程 max( ( ) ( )) 0 1 x b t xa t t = + 的解为 1 ( ) ( ) max 0 1 a t b t x t − = . 9． 设函数 f (x) 在 [0, +) 连续，有界，求证： 0 ，存在数列 xn → + ，使 lim ( ( + ) − ( )) = 0. → n n n f x f x 10． 请问是否存在 R 上的连续函数，使它的任一函数值都被恰好取到两次或都被恰好 取到三次？ 11． 求证：在 R 上不存在可导函数 f (x) 满足 ( ) 3 3. 2 2 f x = x − x + 12． 设 = ( + ) + y x n n 1 , 2 2 ，求 (1). (n) y 13． Riemann 函数 R: R → R 的定义是：
R(x) q>0且p,q为互素整数 xEo 求极限mR(x),其中x0∈R 14.证明 Riemann函数R(x)处处不可导 5.构造可导函数∫(x),使∫(x)在有理数点的函数值为有理数,而导数值为无理数 证明:当x∈(-∞,1)时, arctan =arctan x+ 17.求和:∑kskx,∑ k cos kx m<n-1 设m,n∈N,证明: (1)"CKk (-1)n! 19.已知:函数∫(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)可导,且f(0)=f(1)=0 f()=1,求证:VA∈R,∈(0,1),使∫(5)-4[f()-5]=1 对于R上函数f(x),记f(+∞)=lmf(x),f(-∞)=lmf(x).设f(x),g(x) x→一0 在R上可导,x∈R,g'(x)≠0,且f(+∞),f(-∞),g(+∞),g(-∞)存在, 证明:35∈(-+∞),s!f(+∞)-f(-∞)_f( 8(+∞)-g(-∞)g'(2) f(x) g(x) 设f(x),g(x)可导,且对一切x都有 ≠0,那么在f(x)的任何两 f(x)g(x) 个零点之间,至少有g(x)的一个零点 设∫R→R有二阶连续导数,且x∈R,|f(x)k1,此外f2(0)+f2(0)=4 证明:彐x∈R,使∫(x0)+f(x0)=0 设f:[a,b]→R在[a,b可导且∫(a)=∫(b) 证明:∈(a,b),sr()=1(5-f(a)
2 = = 0 , . , 0 1 1 , 0; ( ) x Q q q x R x 且 p, q 为互素整数； 求极限 lim ( ) 0 R x x→x ，其中 x0 R . 14． 证明 Riemann 函数 R(x) 处处不可导 . 15． 构造可导函数 f (x) ，使 f (x) 在有理数点的函数值为有理数，而导数值为无理数 . 16． 证明：当 x (−,1) 时， . 4 arctan 1 1 arctan = + − + x x x 17． 求和： = n k k kx 1 sin ， = n k k kx 1 cos . 18． 设 m, n ，证明： = − = − − = n k n k m n k n m n m n C k 0 ( 1) ! , . 0 , 1 ; ( 1) 19． 已知：函数 f (x) 在区间 [0,1] 上连续，在 (0,1) 可导，且 f (0) = f (1) = 0 ， ) 1 2 1 f ( = ，求证： R， (0,1) ，使 f '( ) − [ f ( ) − ] = 1 . 20． 对于R上函数 f (x) ，记 f ( ) lim f (x) x→+ + = ，f ( ) lim f (x). x→− − = 设 f (x), g(x) 在 R 上可导， x R， g'(x) 0 ，且 f (+) ， f (−) ， g(+) ， g(−) 存在， 证明： . '( ) '( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ), . . g f g g f f st = + − − + − − − + 21． 设 f (x), g(x) 可导，且对一切 x 都有 0 '( ) '( ) ( ) ( ) f x g x f x g x ，那么在 f (x) 的任何两 个零点之间，至少有 g(x) 的一个零点 . 22． 设 f : R → R 有二阶连续导数，且 x R，| f '(x) | 1 ，此外 (0) ' (0) 4. 2 2 f + f = 证明： x0 R，使 ( ) ''( ) 0. f x0 + f x0 = 23． 设 f :[a, b] → R 在 [a, b] 可导且 f '(a) = f '(b). 证明： . ( ) ( ) ( , ), . . '( ) a f f a a b st f − − =
函数f(x)在[a,b]上二次可导且∫(a)=f(b)=0 证明:35∈(a,b),1"()≥xf(b)-f(a) 设函数f(x)在[a,+∞)可导,当x≥a时有f(x)图f(x).求证:f(x)=0 设函数f(x)在[0+0)可导,且0f(x)≤,x2 1+x 证明:3>0,s.f(5)=2 27.设函数f(x)在[0,1连续,在(0,1)可导,f(1)-f(0)=1.求证:对于 k=012,…n-1,存在5k∈(0,1),使∫(点k)= 设为开区间,函数f(x)在I上为凸函数的一个充要条件为: vc∈l,彐a,s1.f(x)≥a(x-c)+f(c),vx∈ 求极限: (1)lim x.1+--e;(2)lim-arccosx x→0 (3)lim =arctan x 30.设x1=Snx0>0,xm=smx,n21证明:m1,xn=1 设=C>0,yn,(1y,n≥1求极限:imyn +1 画出y=x2e-的图形 x In t f(x) dt,对于x>0,求f(x)+f( 11+t 34 设函数∫(x)连续可导,f(1)=1,且当x≥1时有厂(x) 2+f2(x) 证明:mf(x)存在,且hmnf(x)≤1+ 函数f(x)在[0,1上二阶连续可导,f(0)=f(1)=f(0)=0,f(1
3 24． 函数 f (x) 在 [a, b] 上二次可导且 f '(a) = f '(b) = 0. 证明： ( ) ( ) . ( ) 4 ( , ), . . ''( ) 2 f b f a b a a b st f − − 25． 设函数 f (x) 在 [a,+) 可导，当 x a 时有 | f '(x) || f (x) | . 求证： f (x) 0. 26． 设函数 f (x) 在 [0,+) 可导，且 2 1 0 ( ) x x f x + ， 证明： ( ) . 1 1 0, . . '( ) 2 2 2 + − st f = 27． 设函数 f (x) 在 [0,1] 连 续 ，在 (0,1) 可导， f (1) − f (0) = 1. 求 证： 对 于 k = 0,1,2, ,n −1 ，存在 (0,1) k ，使 (1 ) . !( 1 )! ! '( ) n 1 k k k k k k n k n f − − − − − = 28． 设 I 为开区间，函数 f (x) 在 I 上为凸函数的一个充要条件为： c I , a, s.t. f (x) a(x − c) + f (c), x I. 29． 求极限： （1） ; 1 lim 1 − + → e x x x x （2） arccos ; 2 lim 1/ 0 x x x → （3） arctan . 2 lim x x x →+ 30． 设 sin 0, sin , 1. x1 = x0 xn+1 = xn n 证明： 1. 3 lim = → n n x n 31． 设 ln 1 , 1. 1 0, 1 1 = + + = + n n y n y y c n n 求极限： lim . n n y → 32． 画出 x y x e − = 2 的图形 . 33． 设 + = x dt t t f x 1 1 ln ( ) ，对于 x 0 ，求 ) 1 ( ) ( x f x + f . 34． 设函数 f (x) 连续可导, f (1) = 1,且当 x 1 时有 ( ) 1 '( ) 2 2 x f x f x + = , 证明： lim f (x) x→+ 存在，且 . 4 lim ( ) 1 + →+ f x x 35． 设函数 f (x) 在 [0,1] 上二阶连续可导， f (0) = f (1) = f '(0) = 0, f '(1) = 1
证明:∫("(x)≤4,并指出等号成立的条件 36.设y=φ(x)(x≥0)是严格单调增加的连续函数,(0)=0,x=v(y)是它的反函 证明:「p(x)ax+v(y)d≥ab(a≥0,p(+∞)>b≥0), 等号成立当且仅当b=叭(a)。(上不等式称为 Young不等式) 证明以下形式的 Young不等式:ab≤-aP+-bq,其中_+-=1 a,b,P,q>0,等号成立当且仅当a"=b 设f(x),8(x)在[a,6连要,一×、 =1,p>1,证明 Holder不等式: p q 等号成立当且仅当Af|P=B|g|,A,B为常数 lq 证明Hd不等式:∑abs∑q b 其中p,q>1,且 1,a1,a2,…,an及b,b2,…,b为两组不全为零的非负实数 p q 40.设f(x),g(x)在[a,b]连续,p≥1,证明 Minkowski不等式: ∫+g 「g 证明:(1)sn2ntxa>0 a+bb
4 证明： ( ''( )) 4 1 0 2 f x dx ，并指出等号成立的条件 . 36． 设 y = (x)( x 0) 是严格单调增加的连续函数， (0) = 0, x = ( y) 是它的反函 数， 证明： + + a b x dx y dy ab a b 0 0 ( ) ( ) ( 0, ( ) 0) ， 等号成立当且仅当 b = (a) 。（上不等式称为 Young 不等式） 37． 证 明 以 下 形 式 的 Young 不 等 式 ： p q b q a p ab 1 1 + ，其中 1 1 1 + = p q ， a, b, p, q 0 ，等号成立当且仅当 . p q a = b 38． 设 f (x), g(x) 在 [a, b] 连续， 1 1 1 + = p q ， p 1 ，证明 Hölder 不等式： q q a b p p a b a b fg dx f dx g dx 1/ 1/ ， 等号成立当且仅当 p q A| f | = B | g | ， A ， B 为常数 . 39． 证明 Hölder 不等 式： q n i q i n i p n i p aibi ai b 1/ 1 1 1/ 1 = = = ，其中 p, q 1 ，且 1 1 1 + = p q ， a a an , , , 1 2 及 b b bn , , , 1 2 为两组不全为零的非负实数 . 40． 设 f (x), g(x) 在 [a, b] 连续， p 1 ，证明 Minkowski 不等式： | | | | | | . 1/ 1/ 1/ p p a b p p a b p p a b f g dx f dx g dx + + 41． 证明：（1） + − 2 0 2 1 2 0 2 2 0 2 1 sin sin sin xdx xdx xdx n n n ； （2） 1 3 (2 1) 2 2 4 (2 ) 2 1 1 lim 2 = − → + n n n n ； （3）证明 Wallis 公式： ( ) ( ) . 2 ! ! 2 lim 2 2 = → n n n n n 42． 证明： , 0 1 1 2 2 ln ln 1 + − − + b a b a a b b a a b
43. 证明:数列an nle 单调下降故有极限A,且A≠0 证明 d Stirling公式:n-√nz|"(n→∞) 估计当n→∞时,无穷大量C2mn的阶数
5 43． 证明：数列 2 1 ! + = n n n n n e a 单调下降故有极限 A ，且 A 0 . 44． 证明 Stirling 公式： !~ 2 ( → ). n e n n n n 45． 估计当 n → 时，无穷大量 n C2n 的阶数