数列极限习题课教案 任课教师:朱瑞英辅导教师:李凤琴 基础知识 1.无穷大量定义:设{x}是数列,如果vG>0,3正整数N,当n>N时, 必有xnG,则称{xn}是一个无穷大量,记作 lim x=∞ 重要极限:lim(1+-)"=e 3.数列极限存在的判定定理:单调有界数列必有极限 二、本次习题课主要内容 1.通过例1介绍了求数列极限的两种方法 2.用定义证明数列{xn}是无穷大量 3.利用“单调有界数列必有极限”证明数列极限的存在性. 4.已知数列{xn}的极限,如何求与之相关的数列的极限. 三、习题 1求极限 (1)lim(-+ →∞22223 (2)lim(1-2) 1)(-n2 解:(1)令S2+2+”+…+ 则Sn= 135 2n-32n-1 ++ 两式相减得Sn 22n-1 +-+-+… 2n-1 n+1
数列极限习题课教案 任课教师：朱瑞英 辅导教师：李凤琴 一、 基础知识 1．无穷大量定义：设 { }n x 是一数列，如果 G 0， 正整数 N ，当 n N 时， 必有 | | n x G ，则称 { }n x 是一个无穷大量，记作 lim n n x → = . 2．重要极限： 1 lim(1 )n n e → n + = . 3．数列极限存在的判定定理：单调有界数列必有极限. 二、 本次习题课主要内容 1．通过例 1 介绍了求数列极限的两种方法. 2．用定义证明数列 { }n x 是无穷大量. 3．利用“单调有界数列必有极限”证明数列极限的存在性. 4．已知数列 { }n x 的极限，如何求与之相关的数列的极限. 三、 习题 1.求极限 （1） 2 3 1 3 5 2 1 lim( ) 2 2 2 2n n n → − + + + + （2） 2 2 2 1 1 1 lim(1 )(1 ) (1 ) n→ 2 3 n − − − 解：（1）令 n S = 2 3 1 3 5 2 1 2 2 2 2n n − + + + + 则 1 2 n S = 2 3 4 1 1 3 5 2 3 2 1 2 2 2 2 2 n n n n + − − + + + + + 两式相减得 1 2 n S = 2 3 1 1 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 n n n + − + + + + − = 2 1 1 1 1 1 1 2 1 ( ) 2 2 2 2 2 n n n − + − + + + + − = 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 ( ) 2 2 1 2 n n n + − − + − − = 1 1 1 2 1 1 ( ) 2 2 2 n n n + − + − −
12n-1 l2n-1 lim S,=lim(3 (2)∵1 k2-1(k-1)(k+1) k2 k k 1·3243.5(n-2)·n(n-1)(n+1) n+ n+11 im(1-2)(1-x)…(1--2)=lim 2讨论x=1-2+3-…+(的收敛性 nn n 解:当n=2k时(k为自然数), 23 n nn 2+3 2k2k2k 2k 当n=2k+1时, 23 n nn 2k2k+1 2k+12k+12k+1 2k+12k+1 2k2k+1 2k+12k+12k+12k+12k+ 2k+12k+1 2k+12k+12k+1 于是x12·x3→极限值不同,因此x无极限。口 3.用定义证明1+++…+是无穷大量
n S = 1 1 2 1 1 2 2 2 n n n − − + − − = 1 1 2 1 3 2 2 n n n − − − − 1 1 2 1 lim lim(3 ) 3 2 2 n n n n n n S → → − − = − − = （2） 2 2 2 2 1 1 ( 1)( 1) 1 k k k k k k − − + − = = 2 2 2 1 1 1 (1 )(1 ) (1 ) 2 3 n − − − = 2 2 2 2 2 1 3 2 4 3 5 ( 2) ( 1) ( 1) 2 3 4 ( 1) n n n n n n − − + − = 1 2 n n + 2 2 2 1 1 1 lim(1 )(1 ) (1 ) n→ 2 3 n − − − = 1 1 lim n 2 2 n → n + = □ 2.讨论 1 1 2 3 ( 1)n n n x n n n n − − = − + − + 的收敛性 解：当 n=2k 时（k 为自然数）， 1 1 2 3 ( 1)n n n n n n − − − + − + = 1 2 3 2 2 2 2 2 k k k k k − + − − = 1 2 3 4 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 k k k k k k k k − − + − + − = 1 2 2 k k − = − 当 n=2k+1 时， 1 1 2 3 ( 1)n n n n n n − − − + − + = 1 2 3 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 k k k k k k k + − + − − + + + + + + = 1 2 3 4 5 2 2 1 ( ) ( ) ( ) 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 k k k k k k k k k + − − − − − − − + + + + + + + = 1 2 1 2 1 k k k − − + + = 1 2 1 k k + + 于是 2 1 2 k x → − ， 2 1 1 2 k x + → 极限值不同，因此 n x 无极限。 □ 3．用定义证明 1＋ 1 1 1 2 3 n + + + 是无穷大量
证明:∨G>0,3自然数K,使得>G,取N=2k,当n>N时, 1+++…+-|=1+ +…+->1+-+-+…+ =1++(+)+(-+ 5678 +-)+…+()k-1,1+……+ 111 >1+-+-+一+-+-+-+一+…+ 2448888 =1+1+1+1+1+…+1 2222 1+->->G 于是,1+++…+-是无穷大量.口 4.若x→+,证明:互+x+“+x →)+∞。 证明:由于xn>+∞,VM>o,3N,当n>N时,xn>2M x1+x+…+x 且 ≥0 工+x+“+工n=x+x2+…+x+xN++xN+2++x >xk+1+xx+2+…+x 2N 当n>2N时 MM 即 x1+x,+…+x →>+∞(n→∞) 5证明:若ⅵ∈N,有an>0,且iman=a,则imya2…an=a 证明:由于 -lim a=a,且an>0,则a≥0 (1)若a=0,由于lm4+a++a
证明： G 0， 自然数 K ，使得 2 K G ，取 N＝2 K ，当 n＞N 时， 1 1 1 |1 | 2 3 n + + + + ＝ 1 1 1 1 2 3 n + + + + ＞ 1 1 1 1 2 3 2k + + + + ＝ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 4 5 6 7 8 2 1 2 k k − + + + + + + + + + + + + ＞ 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 4 4 8 8 8 8 2 k k − + + + + + + + + + ＝ 2 3 1 3 4 1 1 2 2 2 1 2 2 2 2 2 k k − + + + + + + ＝ 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 + + + + + + ＝1 2 2 k k + G 于是，1+ 1 1 1 2 3 n + + + 是无穷大量. □ 4．若 n x → + ，证明： 1 2 n x x x n + + + → + 。 证明：由于 n x → + ， M o，N, 当 n＞N 时， 2 n x M 且 1 2 0 N x x x n + + + . 1 2 n x x x n + + + ＝ 1 2 1 2 N N N n x x x x x x n n + + + + + + + + + N N n 1 2 x x x n + + + + + 2 2 2 n N M n N M M n − = − 当 n＞2N 时， 2N M M n 于是 1 2 n x x x n + + + 2 2 N M M M n − 即 1 2 n x x x n + + + → + （n → ）. □ 5. 证明：若 n N ，有 0 n a ，且 lim n n a a → = ，则 1 2 lim n n n a a a a → = . 证明：由于 lim n n a a → = ，且 0 n a ，则 a 0 （1） 若 a = 0 ，由于 1 2 lim 0 n n a a a → n + + + =
及00,由于iman=a,则lm1=1 n-09a a 故 a+4+…+a1 lim 即lim n→++… 又 0.n=2…,则imn=a a (2)mn 证明:(1)令a=1 则mnan=ima…a.4=a (2)已知lim(1+-)"=lim(")"=e 应用第5题的结果有 im()(3)2…(",)2·(-)”=e 且水)()2…( (n+1) n+1 于是,im+1 n+1 又lim-r=lim( n→Vn!m→yhn!√n!n→ayn!
及 1 2 1 2 0 n n n a a a a a a n + + + 根据夹挤定理有 1 2 lim 0 n n n a a a a → = = （2） 若 a 0 ，由于 lim n n a a → = ，则 1 1 lim n n → a a = 故 1 2 1 1 1 1 lim n a a a n→ n a + + + = 即 1 2 1 1 1 lim n n a a a n a → = + + + 又 1 2 1 1 1 n a a a n + + + 1 2 n n a a a 1 2 n a a a n + + + 根据夹挤定理 1 2 lim n n n a a a a → = □ 6．利用上题的结果证明： （1） 若 1 lim n n n a a a + → = ， 0, 1,2, n a n = ，则 lim n n n a a → = （2） lim ! n n n e → n = 证明：（1）令 0 a =1， 则 1 2 1 1 2 1 0 lim lim n n n n n n n n n a a a a a a a a a a − → → − − = = （2）已知 1 1 lim(1 ) lim( ) n n n n n e → → n n + + = = 应用第 5 题的结果有 2 3 1 1 2 1 lim ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 n n n n n n e n n − → + = − 且 2 3 1 1 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 n n n n n n n − + − = 2 1 2 1 2 3 ( 1) 1 2 ( 1) n n n n n n n n n − − + − = ( 1) 1 2 n n n n + = 1 ! n n n + 于是， 1 lim ! n n n e → n + = 又 1 1 lim lim( ) lim ! ! ! ! n n n n n n n n n n → → → n n n n + = + =
从而1im 7.证明:若a0=a>0,an=(an1+-),n=1,2…则数列{an}收敛,并求其 极限。 证明:由于几何平均数不超过算术平均数 Ⅶn∈N,有an=(a ≥|a 即a2≥2从而an有下界。 又因为an1-an ≤0 则an1≤an,即an单调下降 于是an有极限。 设 lim a=b,由a 令n→,则b=2 解得b=±2 但是a>0,由极限的保序性知b>0,故b=√2 从而 lim a=2
从而 lim ! n n n e → n = □ 7．证明：若 0 a a = 0 ， 1 1 1 2 ( ) 2 n n n a a a − − = + , n =1, 2, ,则数列 { }n a 收敛，并求其 极限。 证明：由于几何平均数不超过算术平均数 n N , 有 1 1 1 1 1 2 2 ( ) 2 2 n n n n n a a a a a − − − − = + = 即 2 2 n a 从而 n a 有下界。 又因为 2 1 1 2 2 ( ) 0 2 2 n n n n n n n a a a a a a a + − − = + − = 则 n n 1 a a + ，即 n a 单调下降。 于是 n a 有极限。 设 lim n n a b → = ，由 1 1 1 2 ( ) 2 n n n a a a − − = + 令 n → ，则 1 2 ( ) 2 b b b = + 解得 b = 2 但是 0 n a ，由极限的保序性知 b 0 ，故 b = 2 从而 lim 2 n n a → = □