第十七章隐函数存在定理 §1单个方程的情形 1.设函数F(x,y)满足 (1)在区域D:x-a≤x≤x0+a,y-b≤y≤y+b上连续 (2)F(x,y)=0; (3)当x固定时,函数F(x,y)是y的严格单调函数 则可得到什么结论?试证明之 2.方程x2+y+sin(x)=0在原点附近能否用形如y=f(x)的方程表示?又能否用 形如x=g(y)的方程表示? 3.方程F(x,y)=y2-x2(1-x2)=0在哪些点的附近可唯一地确定单值、连续、且有 连续导数的函数y=f(x) 4.证明有唯一可导的函数y=y(x)满足方程sin+ sinh y=x,并求出导数y(x),其 中 sinh y= 5.方程xy+lny+e=1在点B(O,1,1)的某邻域内能否确定出某一个变量是另外两 个变量的函数 6.设∫是一元函数,试问∫应满足什么条件,方程 2f(xy)=f(x)+f() 在点(1,1)的邻域内能确定出唯一的y为x的函数 7.设有方程:x=y+o(y),其中o()=0,且当-0,当-6<x<δ时,存在唯一的可微函数y=y(x)满足方程x=y+(y)且 y(0)=0
第十七章 隐函数存在定理 §1 单个方程的情形 1． 设函数 F x y ( , ) 满足 (1) 在区域 0 0 D x a x x a : − + ， 0 0 y b y y b − + 上连续； (2) 0 0 F x y ( , ) 0 = ； (3) 当 x 固定时，函数 F x y ( , ) 是 y 的严格单调函数； 则可得到什么结论？试证明之. 2．方程 2 x y xy + + = sin( ) 0 在原点附近能否用形如 y f x = ( ) 的方程表示？又能否用 形如 x g y = ( ) 的方程表示？ 3．方程 2 2 2 F x y y x x ( , ) (1 ) 0 = − − = 在哪些点的附近可唯一地确定单值、连续、且有 连续导数的函数 y f x = ( ) . 4．证明有唯一可导的函数 y y x = ( ) 满足方程 sin sinh + = y x ，并求出导数 ' y x( ) ，其 中 sinh 2 y y e e y − − = . 5．方程 ln 1 xz xy z y e + + = 在点 0P (0,1,1) 的某邻域内能否确定出某一个变量是另外两 个变量的函数. 6．设 f 是一元函数，试问 f 应满足什么条件，方程 2 ( ) ( ) ( ) f xy f x f y = + 在点(1,1)的邻域内能确定出唯一的 y 为 x 的函数. 7．设有方程： x y y = +( ) ，其中 (0) 0 = ，且当 − a y a 时， ' ( ) 1 y k .证 明：存在 0 ，当 − x 时，存在唯一的可微函数 y y x = ( ) 满足方程 x y y = +( ) 且 y(0) 0 =
§2方程组的情形 1.试讨论方程组 x+v==c 2 在点B(1,-1,2)的附近能否确定形如x=f(二),y=g(-)的隐函数组 2.求下列函数组的反函数组的偏导数: (1)设u=xcos,"= xsin y,求 axax ay ay (2)设u=c+ xsInv v=c-xosy,求,x,y, 3.设t= V=÷,w 其中r= (1)试求以n,v,w为自变量的反函数 (2)计算 d(u,v,w d(x,y,=) 4.设∫,连续可微,且F(x1,…xn)=f(q(x1),(x2),…n(xn)(i=1,2,…n) 求a(h, (x1,x 5·据理说明:在点(0,1)附近是否存在连续可微函数f(x,y)和g(x,y)满足 f(0,1)=1,g(0,1)=-1,且 [(x,y)+xg(x,y)-y=0 [g(x,y)]+y(xy)-x=0 u=f(,y,i,1) g(y,=,1)=0, h(=,D)=0 在什么条件下u是x,y的函数?求 7.设函数u=l(x)由方程组
§2 方程组的情形 1．试讨论方程组 2 2 2 1 , 2 2 x y z x y z + = + + = 在点 0P (1, 1,2) − 的附近能否确定形如 x f z = ( ) ， y g z = ( ) 的隐函数组. 2．求下列函数组的反函数组的偏导数： (1) 设 cos , sin y y u x v x x x = = ，求 , , , x x y y u v u v ； (2) 设 sin , cos x x u e x y v e x y = + = − ，求 , , , x x y y u v u v . 3．设 2 x u r = ， 2 y v r = ， 2 z w r = ，其中 2 2 2 r x y z = + + . (1) 试求以 u v w , , 为自变量的反函数组； (2) 计算 ( , , ) ( , , ) u v w x y z . 4．设 , i i f 连续可微，且 1 ( , F x i 1 1 2 2 ) ( ( ), ( ), n i x f x x = ( )) n n x ( 1,2, i = …n ) . 求 1 2 1 2 ( , , ) ( , , ) n n F F F x x x . 5 ．据 理 说 明： 在 点(0,1) 附 近 是否 存 在 连续 可 微 函数 f x y ( , ) 和 g( , ) x y 满 足 f g (0,1) 1, (0,1) 1 = = − ，且 3 3 ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) 0. f x y xg x y y g x y yf x y x + − = + − = 6．设 ( , , , ), ( , , ) 0, ( , ) 0. u f x y z t g y z t h z t = = = 在什么条件下 u 是 x y, 的函数？求 , u u x y . 7．设函数 u u x = ( ) 由方程组
g(x,y,)=0, h(x,y,=)=0 所确定,求dmd2u 设z=(x,y)满足方程组 g(x,y,=,1)=0 求d =f(x-lt,y-u1=-), g(x,y,=)=0 这时t是自变量还是因变量? 10.设(x0,y,0,0)满足方程组 f(x)+f(y)+f(二)=F(u) g(x,)+g(y)+g(=)=G(u) h(x,)+h(y)+h(=)=H() 这里所有的函数假定有连续的导数 (1)说出一个能在该点的邻域内确定x,y,作为a的函数的充分条件; (2)在∫(x)=x,g(x)=x2,h(x)=x3的情形下,上述条件相当于什么? 1.设x=,y-1+1+my,取u,为新的自变量,w为新的因变量,变 换方程
( , , ), ( , , ) 0, ( , , ) 0 u f x y z g x y z h x y z = = = 所确定，求 2 2 , du d u dx dx . 8．设 z z x y = ( , ) 满足方程组 ( , , , ) 0, ( , , , ) 0. f x y z t g x y z t = = 求 dz. 9．设 ( , , ), ( , , ) 0. u f x ut y ut z ut g x y z = − − − = 求 , u u x y .这时 t 是自变量还是因变量？ 10．设 0 0 0 0 ( , , , ) x y z u 满足方程组 ( ) ( ) ( ) ( ), ( ,) ( ) ( ) ( ), ( ,) ( ) ( ) ( ). f x f y f z F u g x g y g z G u h x h y h z H u + + = + + = + + = 这里所有的函数假定有连续的导数. (1) 说出一个能在该点的邻域内确定 x y z , , 作为 u 的函数的充分条件； (2) 在 2 3 f x x g x x h x x ( ) , ( ) , ( ) = = = 的情形下，上述条件相当于什么？ 11．设 , , 1 1 u u x u y z uv uw = = = + + ，取 u v, 为新的自变量， w 为新的因变量，变 换方程 2 2 2 z z x y z x y + =