第十二章函数项级数 §1函数序列的一致收敛概念 1.讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性: (1)f(x) +-,x∈(-∞,+∞) (2)f(x)=sin 1)x∈(-1D),i)x∈(-∞,+∞) (3)f(x)=1+nx x∈(0,1) ()f(x)=-1 i)x∈[a,+∞),a>0,i)x∈(0,+∞) 6m(x)=,x2 1+n3x i)x∈[a,+∞),a>0,i)x∈(0,+∞) (6)fn(x)= x∈[0,1 1+n+x f(x)= i)x∈[0,b],b1; (8)f(x)=x"-x2,x∈[O,1; (9)fn(x)=x"-x",x∈[0,; 0f(x)=xlnx,x∈(0,1) nn 0DJ(x)=-ln(1+e"),x∈(-∞,+∞) (2 f(x)=e
第十二章 函数项级数 §1 函数序列的一致收敛概念 1．讨论下列函数序列在所示区域的一致收敛性： ⑴ 2 2 1 ( ) n f x x n = + , x − + ( , ); ⑵ ( ) sin , n x f x n = i) x l l −( , ), ii) x − + ( , ); ⑶ ( ) , 1 n nx f x nx = + x(0,1); ⑷ 1 ( ) , 1 n f x nx = + i) x a a + [ , ), 0, ii) x + (0, ); ⑸ 2 2 3 3 ( ) , 1 n n x f x n x = + i) x a a + [ , ), 0, ii) x + (0, ); ⑹ ( ) , 1 n nx f x n x = + + x[0,1]; ⑺ ( ) , 1 n n n x f x x = + i) x b b [0, ], 1, ii) x[0,1]; iii) x a a + [ , ), 1; ⑻ 2 ( ) , n n n f x x x = − x[0,1]; ⑼ 1 ( ) , n n n f x x x + = − x[0,1]; ⑽ ( ) ln , n x x f x n n = x(0,1); ⑾ 1 ( ) ln(1 ), nx n f x e n − = + x − + ( , ); ⑿ 2 ( ) ( ) , x n n f x e− − =
xE xe(-0.+ 2.设fn(x)(n=12,…)在[a,b]上有界,并且{fn(x)}在[a,b上一致收敛, 求证:fn(x)在[a,b]上一致有界 3.设f(x)定义于(a,b),令 J(x)=/(c 求证:{fn(x)}在(a,b)上一致收敛于f(x) 4.设f(x)在(a,b)内有连续的导数∫(x),且 f(x)=[f(x+-)-f(x), 求证:在闭区间[a,B](a00 8.设fn(x)(m=1,2,…)在(-∞,+∞)一致连续,且{(x)}在(-∞,+∞)一致收敛于 ∫(x).求证:f(x)在(-∞,+∞)上一致连续 9.设{(x)}是{ab上的连续函数列,且{n(x)在[a,b]一致收敛于f(x); 又xn∈[a,b(m=1,2,…),满足lmxn=x0,求证 lim fr(xn)=f(x0 0.设{fn(x)}在(a,b)内一致收敛于f(x),x∈(a,b)且 lim f,(x)=a,,(n=1, 2,
i) x l l −[ , ], ii) x − + ( , ) 2．设 ( ) n f x ( 1,2, ) n = 在 [ , ] a b 上有界，并且 { ( )} n f x 在 [ , ] a b 上一致收敛， 求证： ( ) n f x 在 [ , ] a b 上一致有界. 3．设 f x( ) 定义于 ( , ) a b ，令 [ ( )] ( ) n nf x f x n = ( 1,2, ) n = . 求证： { ( )} n f x 在 ( , ) a b 上一致收敛于 f x( ) . 4．设 f x( ) 在 ( , ) a b 内有连续的导数 f x ( ) ，且 1 ( ) [ ( ) ( )], n f x n f x f x n = + − 求证：在闭区间 [ , ] ( ) a b 上， { ( )} n f x 一致收敛于 f x ( ). 5．设 1 f x( ) 在 [ , ] a b 上黎曼可积，定义函数序列 1 ( ) ( ) x n n a f x f t dt + = ( 1,2, ) n = 求证： { ( )} n f x 在 [ , ] a b 上一致收敛于零. 6． 参数 取什么值时， ( ) , nx n f x n xe − = n = 1,2,3, 在闭区间 [0,1] 收敛？在闭区间 [0,1] 一致收敛？使 1 0 lim ( ) n n f x dx − 可在积分号下取极限？ 7．证明序列 2 ( ) nx n f x nxe− = ( 1,2, ) n = 在闭区间 [0,1] 上收敛，但 1 1 0 0 lim ( ) lim ( ) . n n n n f x dx f x dx − − 8．设 ( ) n f x ( 1,2, ) n = 在 ( , ) − + 一致连续，且 { ( )} n f x 在 ( , ) − + 一致收敛于 f x( ) . 求证： f x( ) 在 ( , ) − + 上一致连续. 9．设 { ( )} n f x 是 [ , ] a b 上的连续函数列，且 { ( )} n f x 在 [ , ] a b 一致收敛于 f x( ) ； 又 [ , ] n x a b ( 1,2, ) n = ，满足 0 lim n n x x − = ，求证 0 lim ( ) ( ). n n n f x f x − = 10．设 { ( )} n f x 在 ( , ) a b 内一致收敛于 f x( ) ， 0 x a b ( , ) 且 0 lim ( ) , n n x x f x a − = ( 1,2, ) n =
证明: lim a和limf(x)存在且相等,即 lim lim f(x)=lim lim f(x) 1l.设fn(x)(n=1,2,…)在[a,b]黎曼可积,且{f(x)在[a,b]一致收敛于f(x), 证明:f(x)在[a,b]黎曼可积 §2函数项级数的一致收敛性及其判别法 1.求出下列函数项级数的收敛区域(绝对的和条件的 (1) 1+x n+1(2x+1 1) 1+anxi 2.按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性 )∑(1-x)x",x∈[0,l (1+x)y,x∈(-∞+∞) 3.讨论下列函数项级数的一致收敛性 sInn x∈(-∞,+) Vn+ x∈(-∞,+ ) nal I+nx (-1)(1-e) sin nx mr+2,x∈(-2,+∞)
证明： lim n n a − 和 0 lim ( ) x x f x − 存在且相等，即 0 0 lim lim ( ) lim lim ( ) n n n x x x x n f x f x − − − − = . 11．设 ( ) n f x ( 1,2, ) n = 在 [ , ] a b 黎曼可积，且 { ( )} n f x 在 [ , ] a b 一致收敛于 f x( ) ， 证明： f x( ) 在 [ , ] a b 黎曼可积. §2 函数项级数的一致收敛性及其判别法 1．求出下列函数项级数的收敛区域（绝对的和条件的）： ⑴ 2 1 ; 1 n n n x x = + ⑵ 1 ; 1 2 1 n n n x n x = + + ⑶ 1 ( 1) 1 ; 2 1 1 n n n x n x = − − − + ⑷ 2 2 1 1 1 . 1 n n n a x = + 2．按定义讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 0 (1 ) , [0,1]; n n x x x = − ⑵ 1 2 2 1 ( 1) , ( , ) (1 ) n n n x x x − = − − + + . 3．讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 3 4 4 1 sin , ( , ); n nx x n x = − + + ⑵ 4 2 1 , ( , ); n 1 x x n x = − + + ⑶ 2 2 1 ( 1) (1 ) , [0, ); n nx n e x n x − = − − + + ⑷ 1 sin , ( 2, ); 2 n n nx x x = − + +
x∈(-∞,+∞); n1+ ),≤|x|≤2; x∈[0,+∞); x∈[0,1; 1)2 x∈(-∞,+∞) ,|xr>1, 0∑l(+mx) ,x∈la,+∞),a>1 4.讨论下列函数项级数的一致收敛性: 2n丌 x∈(-∞,+o +x sinxsin nx x∈[0,2x] n+x nx+x∈(-1,+∞ m=n+Six∈(-∞,+∞); (5)2"sin x∈(0.+ xsa V,xe-10;
⑸ 5 2 1 , ( , ); n 1 nx x n x = − + + ⑹ 2 1 1 ( ), | | 2; ! 2 n n n n x x x n − = + ⑺ 2 1 , [0, ); nx n x e x − = + ⑻ 1 ln , [0,1]; ! n n n x x x n = ⑼ 2 2 2 2 2 1 1 , ( , ); n ( 1) x x x n n = + − + − + − ⑽ 1 , | | 1; n n n x r x = ⑾ 1 ln(1 ) , [ , ), 1. n n nx x a a nx = + + 4．讨论下列函数项级数的一致收敛性： ⑴ 2 2 1 2 cos 3 , ( , ); n n x n x = − + + ⑵ 1 sin sin , [0, 2 ]; n x nx x n x = + ⑶ 1 ( 1) , ( 1, ); n n x x n = − − + + ⑷ 1 ( 1) , ( , ); sin n n x n x = − − + + ⑸ 1 1 2 sin , (0, ); 3 n n n x x = + ⑹ ( 1) 2 3 2 1 ( 1) , | | ; n n x n x a n e − = − + ⑺ 1 , [ 1,0]; n n x x n = −
5.证明级数S(,,/关于x在(-0,+)上为一致收敛,但对任何x并非绝对 n+x 收敛:而级数 m(1+x3)少虽在x∈(a+)上绝对收敛,但并不一致收敛 6设每一项(x)都是ab]上的单调函数,如果∑q(x)在a小]的端点为绝对收敛, 那么这级数在{a,b]上一致收敛 7.若∑u(x)的一般项|un(x)kc(x,x∈X,并且∑cn(x)在X上一致收敛,证明 气(x)在X上也一致收敛且绝对收敛 §3和函数的分析性质 1.研究下列级数所表示的函数在指定区间上的连续性 ()∑x,-1<x<1 1≤x<l; ∑_,|xl≤l 0<x<+∞ n=i(x+n(x+n+1 ∑ xO 1+n sinx mV,<∞; n
⑻ 2 1 1 ( 1) , [ 1,1]. 2 1 n n n x x n + = − − + 5．证明级数 1 2 1 1 ( 1)n n n x − = − + 关于 x 在 ( , ) − + 上为一致收敛，但对任何 x 并非绝对 收敛；而级数 2 2 1 (1 )n n x x = + 虽在 x − + ( , ) 上绝对收敛，但并不一致收敛. 6．设每一项 ( ) n x 都是 [ , ] a b 上的单调函数，如果 ( ) n x 在 [ , ] a b 的端点为绝对收敛， 那么这级数在 [ , ] a b 上一致收敛. 7．若 1 ( ) n n u x = 的一般项 | ( ) | ( ), , n n u x c x x X 并且 1 ( ) n n c x = 在 X 上一致收敛，证明 1 ( ) n n u x = 在 X 上也一致收敛且绝对收敛. §3 和函数的分析性质 1． 研究下列级数所表示的函数在指定区间上的连续性： ⑴ 0 , 1 1; n n x x = − ⑵ 1 , 1 1; n n x x n = − ⑶ 2 1 , | | 1; n n x x n = ⑷ 1 1 , 0 ; n ( )( 1) x x n x n = + + + + ⑸ 2 2 1 1 , | |>0; n 1 x n x = + ⑹ 1 sin , | | ; n nx x n n = ⑺ 4 2 1 , | |>0; n 1 nx x n x = +
0内无穷次可微 4.证明∑m在(+∞)内连续 5.设∑u1(x)在(ab)内一致收敛,un(x)(n=12,…)在[ab]上连续 求证 )∑un(x)在b上一致收敛 (2)Ss(x)=∑u1(x)在[ab]上连续 6.设级数∑an收敛,证明 lim a an 7.证明 1+2>r"cosnx 1-2rcosx+r 当|rk<1时成立,从而证明 dx=2 (rk1 1-2rcos x+ 8.用有限覆盖定理证明迪尼定理 9.设{x”}是(0,1)内的一个数列,即0<x<1,且x≠x(≠八试讨论函数
⑻ 2 2 1 , | | . (1 )n n x x x = + 2．求证 3 1 sin ( ) n nx f x n = = 在 ( , ) − + 内连续，并有连续导函数. 3．设 2 1 ( ) , 1 nx n e f x n − = = + 求证： ⑴ f x( ) 在 x 0 上连续； ⑵ f x( ) 在 x 0 内无穷次可微. 4．证明 1 nx n ne − = 在 (0, ) + 内连续. 5．设 1 ( ) n n u x = 在 ( , ) a b 内一致收敛， ( ) n u x ( 1,2, ) n = 在 [ , ] a b 上连续， 求证： ⑴ 1 ( ) n n u x = 在 [ , ] a b 上一致收敛； ⑵ 1 ( ) ( ) n n S x u x = = 在 [ , ] a b 上连续. 6．设级数 1 n n a = 收敛，证明 0 1 1 lim n x n x n n a a n + − = = = . 7． 证明 2 2 1 1 1 2 cos 1 2 cos n n r r nx r x r = − = + − + 当 | | 1 r 时成立，从而证明 2 2 1 2 (| | 1) 1 2 cos r dx r r x r − − = − + . 8． 用有限覆盖定理证明迪尼定理. 9．设 { }n x 是 (0,1) 内的一个数列，即 0 1 n x ，且 ( ). i j x x i j 试讨论函数
f(x)=>sgn(x-xn) 在(0,1)中的连续性
1 sgn( ) ( ) 2 n n n x x f x = − = 在 (0,1) 中的连续性