数分课外习题(应用题) 1.英国曾经发行一种“统一公债”,每年支付给债券持有人或它的继承人固定的金额直至 永远。设其中一张债券是需要每年支付10英镑,那么为了支付第n年时需要支付的10 英镑,英国需要在银行中存入多少钱,使这笔本金连利息在第n年后刚好可以支付这10 英镑?记这笔金额为xn英镑,称为第n年时需要支付的10英镑的现值.假设利率每年 保持4%,以年复利计算 2.对于上题中的债券,求前n年一共需要支付的10n英镑的现值S,并求出这张债券的 总现值S 3.放射性同位素锶-90呈指数衰减,即其含量Q与时间t之间的关系为Q=Qe”,Q0为 t=0时的含量,k为某正常数,其半衰期为29年,即29年后的含量只剩下初始值的 半.在60年代初,核武器的大气实验释放出锶-90,并进入当时活在世上的人的骨骼中 那么1960年所吸收的的锶一90在2005年的人的骨骼中还剩百分之几? 4.最著名的放射性物质是碳-14,它常用于确定有机物的年代,在生命体中它的含量保持 不变,而一但有机体死亡,将不可再获得碳-14而慢慢放射衰减.已知碳-14的半衰期 大约是5730年.假如在一块古生物尸体上发现碳-14的含量为原来的1/8,请问尸体的 年代 5.已知人口是呈指数增长的,即人口Q与时间t之间的关系为Q=Qe“,根据《全球200 年报告》,世界人口在1975年为41亿,并以2%的年增长率增长,请求出全球人口的倍 增期,即人口增加一倍所需要的时间 6.请自行寻找实际数据,写出我国当前的人口增长函数,并据此估计我国何时人口可达20 亿? 7.海滩上有一堆桃子,是5只猴子的公共财产.第一只猴子先到,看到别的猴子没有到, 它就把所有桃子均分为5份,余下一只.它取走其中的一份,把余下的那一只桃子扔到 海里.第二只猴子来到海滩,看到别的猴子没有到,也把看到的桃子均分为5份,也余 下一只.它取走其中的一份,把余下的那一只桃子也扔到海里.第三,第四只猴子也是 同样来做.问:(1)海滩上最初至少有几只桃子? (2)5只猴子都走了之后,海滩上至少还剩下几只桃子? 1000000 8.假定某种疾病流行t天后,感染的人数N满足:N 1+5000e-0 m,问何时将有25万 50万,100万人染病? 9.某滑板的销售量q取决于销售价格p,即q=∫(p).若此时p=140, ∫(140)=15000,∫(140)=-100,那么为了提高总收入,是应该提高价格还是降低 价格呢? 设f(v)①L/km)表示汽车以速度v(km/h)行驶时的耗油量.已知f(80)=005
1 数分课外习题（应用题） 1． 英国曾经发行一种“统一公债”，每年支付给债券持有人或它的继承人固定的金额直至 永远。设其中一张债券是需要每年支付 10 英镑，那么为了支付第 n 年时需要支付的 10 英镑，英国需要在银行中存入多少钱，使这笔本金连利息在第 n 年后刚好可以支付这 10 英镑？记这笔金额为 n x 英镑，称为第 n 年时需要支付的 10 英镑的现值. 假设利率每年 保持 4% ，以年复利计算 . 2． 对于上题中的债券，求前 n 年一共需要支付的 10 n 英镑的现值 n S ，并求出这张债券的 总现值 S . 3． 放射性同位素锶－90 呈指数衰减，即其含量 Q 与时间 t 之间的关系为 kt Q Q e − = 0 ，Q0 为 t = 0 时的含量， k 为某正常数，其半衰期为 29 年，即 29 年后的含量只剩下初始值的一 半. 在 60 年代初，核武器的大气实验释放出锶－90，并进入当时活在世上的人的骨骼中， 那么 1960 年所吸收的的锶－90 在 2005 年的人的骨骼中还剩百分之几？ 4． 最著名的放射性物质是碳－14，它常用于确定有机物的年代，在生命体中它的含量保持 不变，而一但有机体死亡，将不可再获得碳－14 而慢慢放射衰减. 已知碳－14 的半衰期 大约是 5730 年. 假如在一块古生物尸体上发现碳－14 的含量为原来的 1/8，请问尸体的 年代？ 5． 已知人口是呈指数增长的，即人口 Q 与时间 t 之间的关系为 kt Q Q e = 0 . 根据《全球 2000 年报告》，世界人口在 1975 年为 41 亿，并以 2％的年增长率增长，请求出全球人口的倍 增期，即人口增加一倍所需要的时间 . 6． 请自行寻找实际数据，写出我国当前的人口增长函数，并据此估计我国何时人口可达 20 亿？ 7． 海滩上有一堆桃子，是 5 只猴子的公共财产. 第一只猴子先到，看到别的猴子没有到， 它就把所有桃子均分为 5 份，余下一只. 它取走其中的一份，把余下的那一只桃子扔到 海里. 第二只猴子来到海滩，看到别的猴子没有到，也把看到的桃子均分为 5 份，也余 下一只. 它取走其中的一份，把余下的那一只桃子也扔到海里. 第三，第四只猴子也是 同样来做. 问：（1）海滩上最初至少有几只桃子？ （2）5 只猴子都走了之后，海滩上至少还剩下几只桃子？ 8． 假定某种疾病流行 t 天后，感染的人数 N 满足： t e N 0.1 1 5000 1000000 − + = ，问何时将有 25 万， 50 万，100 万人染病？ 9． 某滑板的销售量 q 取决于销售价格 p ， 即 q = f ( p). 若此时 p = 140 ， f (140) = 15000 ， f '(140) = −100 ，那么为了提高总收入，是应该提高价格还是降低 价格呢？ 10． 设 f (v) (L/km)表示汽车以速度 v (km/h)行驶时的耗油量. 已知 f (80) = 0.05
f(80)=0.0005 (1)设g(v)表示汽车以速度ν行驶时每升油可行驶的距离,求g(80),g"(80); (2)设h(v)表示汽车以速度v行驶时每小时的耗油量,求h(80),h(80); (3)假如你正以80km/h的速度行驶,为了尽可能省油地行驶更长的路程,你应当加 速还是减速? 根据相对论,一个静止时质量为m0的物体,当以接近光速c的速度v运动时,其 质量m满足m= 求 并解释一的意义 (v2/c2)h 某种条件下,当空气膨胀时,其气压p和体积v满足关系p14=常数,假定某 时刻气压为30N/cm3,体积为500cm3,并以60cm3/s速率减少,问在该时刻气压的变 化率是多少? 13.在时刻T=0开始放电的某电容器,其电荷量Q由下式给出 Ce 其中R,C为由电路决定的正常数,电流/ (1)求t>0及【<0时的电流I;(2)t=0时O可导吗?I应如何定义? 14.为了比较不同液体的酸性,化学家利用了PH值PH值由液体中氢离子的浓度x决 定:PH=-x.求当PH=2时,PH关于氢离子浓度的变化率 15.为了取悦顾客,有些购物中心的电梯装在大楼的外面.假定某商厦高100m,你站 在正对电梯50m开外,50m高处电梯正以10m/s匀速下降,记电梯在100m高处的时 刻为t=0,O为你的水平视线与看到电梯的视线之间的夹角.假如以b的变化率体现电 梯相对于你的运动快慢程度,问电梯处于何种高度时你看上去它运动得最快? 当你咳嗽时,气管就收缩.气流出来的速度与气管的半径r满足以下关系: v=a(r-r) 其中a为正常数,R为气管的正常半径,0<r≤R.问r为何值时,气流速度最快? 服用一剂药时,药量D与因此而产生的病人体温的变化T的关系如下 C D T=1-21D2,其中C为正常数则称为身体对药物的敏感度问 (1)多大剂量的药使体温变化最大?
2 f '(80) = 0.0005. （1）设 g(v) 表示汽车以速度 v 行驶时每升油可行驶的距离，求 g(80), g'(80) ； （2）设 h(v) 表示汽车以速度 v 行驶时每小时的耗油量，求 h(80), h'(80) ； （3）假如你正以 80 km/h 的速度行驶，为了尽可能省油地行驶更长的路程，你应当加 速还是减速？ 11． 根据相对论，一个静止时质量为 m0 的物体，当以接近光速 c 的速度 v 运动时，其 质量 m 满足 . 1 ( / ) 2 2 0 v c m m − = 求 dv dm ，并解释 dv dm 的意义 . 12． 某种条件下，当空气膨胀时，其气压 p 和体积 v 满足关系 = 1.4 pv 常数，假定某一 时刻气压为 30N/cm 3 ，体积为 500 cm 3 ，并以 60 cm 3 /s 速率减少，问在该时刻气压的变 化率是多少？ 13． 在时刻 T = 0 开始放电的某电容器，其电荷量 Q 由下式给出： = − , 0 , 0 / Ce t C t Q t R ， 其中 R, C 为由电路决定的正常数，电流 . dt dQ I = （1）求 t 0 及 t 0 时的电流 I ；（2） t = 0 时 Q 可导吗？ I 应如何定义？ 14． 为了比较不同液体的酸性，化学家利用了 PH 值. PH 值由液体中氢离子的浓度 x 决 定：PH = −lg x. 求当 PH=2 时，PH 关于氢离子浓度的变化率 . 15． 为了取悦顾客，有些购物中心的电梯装在大楼的外面. 假定某商厦高 100m，你站 在正对电梯 50m 开外，50m 高处. 电梯正以 10m/s 匀速下降，记电梯在 100m 高处的时 刻为 t = 0， 为你的水平视线与看到电梯的视线之间的夹角. 假如以 的变化率体现电 梯相对于你的运动快慢程度，问电梯处于何种高度时你看上去它运动得最快？ 16． 当你咳嗽时，气管就收缩. 气流出来的速度 v 与气管的半径 r 满足以下关系： 2 v = a(R − r)r ， 其中 a 为正常数， R 为气管的正常半径， 0 r R. 问 r 为何值时，气流速度最快？ 17． 服用一剂药时，药量 D 与因此而产生的病人体温的变化 T 的关系如下： 2 2 3 D C D T = − ，其中 C 为正常数. 则 dD dT 称为身体对药物的敏感度. 问： （1） 多大剂量的药使体温变化最大？
(2)多大剂量的药使身体敏感度最大? 18.落在地面某处的一座烟囱的烟尘,其浓度反比于该处至烟囱距离的平方.在两座相 距20km的烟囱的连线上,距其中一座烟囱xkm处的混合烟尘浓度由下式给出: S x(20-),其中k,k2是正常数,取决于每座烟囱喷出的烟尘量.如果 k1=7k2,求两烟囱连线上一点,使该点烟尘浓度最小 19.放学后,小明希望尽快从学校走到汽车站.汽车站位于学校以西1000m,以北200m 需要穿过一片大草地.小明可以沿草地边小路往西走后穿过草地,在草地外行走速度为 2m/s,在草地上行走速度为1.5m/s.请问小明应当选择哪条路径可以最省时间? 比亚一天的活动如下:上午在华盛顿大学上课,下午在东圣路易斯工作,晚上在酒 吧做兼职,再回家睡觉.假设华盛顿大学,东圣路易斯,酒吧都在同一条公路边,酒吧 在华盛顿大学与东圣路易斯之间,距离分别是8km与12km.问比亚应当在这条路上的 何处租一间公寓,可以使得每天往返的路程最短? 21.假设你独立经营一个小家具厂,你的助手与客户签了一份协议.无论客户定购多少 椅子都保证供货.定购1到300把椅子的单价是90美元,整个订单超过300把时,每增 加1至100把,每把椅子降价0.25美元.在这份协议下,你公司在每把椅子上得到的最 大收入和最少收入各是多少? 为了求可导函数f(x)=0的根,牛顿给出了一个方法:令x0为定义域中任一点, 对任意n≥1,只要f(x)≠0,令xm=x∫(x,则当n充分大时,xn可看作 f(x)=0的近似根试以f(x)=1+x2为例,说明牛顿法并非总是有效的理由 利用计算机,用牛顿法求snx--x=0的根,其中分别取以下初始值: x=0.904,x0=0.905,x0=0906.以上实验说明了牛顿法对初始值非常敏感 24 如果油罐中的油以r=∫(ω)的泄漏率从破裂的油罐中向外泄漏,求一小时内从油 罐泄漏的油的总量 种丝纱罗灯,它的价格Ⅴ在1965年是225美元在1965年后的t年,它的价格 为V=225·1.15′,求从1965年到2005年的时间段内灯的平均价格 在马德里( Madrid),某一日白昼的小时数H是该日的函数,它近似地由以下公式 给出:H=12+24sn[0.01721(t-80,其中t为从元旦开始算起的天数.分别在下 面三个时间段计算马德里日照时间的平均值:(1)1月份,(2)7月份,(3)一年内 根金属棒,从1000℃的高温冷却到室温20℃.温度T与冷却时间t的关系为 T=20+980e1.(1)计算1小时后棒的温度;(2)计算一小时内棒的平均温度 (3)与在一小时的开始与结束时的两温度值的平均相比,(2)的结果是大还是小?试
3 （2） 多大剂量的药使身体敏感度最大？ 18． 落在地面某处的一座烟囱的烟尘，其浓度反比于该处至烟囱距离的平方. 在两座相 距 20km 的烟囱的连线上，距其中一座烟囱 x km 处的混合烟尘浓度由下式给出： 2 2 2 1 (20 x) k x k S − = + ，其中 1 2 k , k 是正常数，取决于每座烟囱喷出的烟尘量. 如果 1 7 2 k = k ，求两烟囱连线上一点，使该点烟尘浓度最小. 19． 放学后，小明希望尽快从学校走到汽车站. 汽车站位于学校以西 1000m，以北 200m. 需要穿过一片大草地. 小明可以沿草地边小路往西走后穿过草地，在草地外行走速度为 2m/s，在草地上行走速度为 1.5m/s. 请问小明应当选择哪条路径可以最省时间？ 20． 比亚一天的活动如下：上午在华盛顿大学上课，下午在东圣路易斯工作，晚上在酒 吧做兼职，再回家睡觉. 假设华盛顿大学，东圣路易斯，酒吧都在同一条公路边，酒吧 在华盛顿大学与东圣路易斯之间，距离分别是 8km 与 12km. 问比亚应当在这条路上的 何处租一间公寓，可以使得每天往返的路程最短？ 21． 假设你独立经营一个小家具厂，你的助手与客户签了一份协议. 无论客户定购多少 椅子都保证供货. 定购 1 到 300 把椅子的单价是 90 美元，整个订单超过 300 把时，每增 加 1 至 100 把，每把椅子降价 0.25 美元. 在这份协议下，你公司在每把椅子上得到的最 大收入和最少收入各是多少？ 22． 为了求可导函数 f (x) = 0 的根，牛顿给出了一个方法：令 0 x 为定义域中任一点， 对任意 n 1 ，只要 f '(xn ) 0 ，令 '( ) ( ) 1 n n n n f x f x x + = x − ，则当 n 充分大时， n x 可看作 f (x) = 0 的近似根. 试以 2 f (x) = 1+ x 为例，说明牛顿法并非总是有效的理由 . 23． 利用计算机，用牛顿法求 0 3 2 sin x − x = 的根，其中分别取以下初始值： 0.904, 0.905, 0.906. x0 = x0 = x0 = 以上实验说明了牛顿法对初始值非常敏感 . 24． 如果油罐中的油以 r = f (t) 的泄漏率从破裂的油罐中向外泄漏，求一小时内从油 罐泄漏的油的总量 . 25． 一种丝纱罗灯，它的价格 V 在 1965 年是 225 美元. 在 1965 年后的 t 年，它的价格 为 t V = 2251.15 ，求从 1965 年到 2005 年的时间段内灯的平均价格 . 26． 在马德里（Madrid），某一日白昼的小时数 H 是该日的函数，它近似地由以下公式 给出： H = 12 + 2.4sin[ 0.01721(t − 80)] ，其中 t 为从元旦开始算起的天数. 分别在下 面三个时间段计算马德里日照时间的平均值：(1)1 月份，（2）7 月份，（3）一年内 . 27． 一根金属棒，从 1000℃的高温冷却到室温 20℃. 温度 T 与冷却时间 t 的关系为： t T e 0.1 20 980 − = + . （1）计算 1 小时后棒的温度；（2）计算一小时内棒的平均温度； （3）与在一小时的开始与结束时的两温度值的平均相比，（2）的结果是大还是小？试
以图像的凸性来解释原因 在t时刻,细菌数目以2(百万个/单位时间)的速率增长,求在时间t=0到t=1 时的细菌总增长数目 世界石油消费的增长率与消费量成正比.已知,1900年的消费量为32(十亿桶) 1920年的消费量为32e(十亿桶),问2005年石油的消费量是多少?而在2000年到2005 年的总消费量是多少? 30.海洋表面上有一圆形油膜,其距离中心rm处的油的密度由 p(r)=[50/1+r)kg/m3给出.如果油膜是由0m扩展到1000,求出油膜的总质量, 及油膜质量为总质量一半时的r值 池塘结冰速度由 dy kV给出,其中y为时刻的冰的厚度,k为正常数,求出y 的表达式 架波音727喷气客机起飞时速度为320km/h.如果它匀加速地在30s内速度从0 加速到320km/h,跑道应有多长?
4 以图像的凸性来解释原因 . 28． 在 t 时刻，细菌数目以 t 2 （百万个/单位时间）的速率增长，求在时间 t = 0 到 t =1 时的细菌总增长数目 . 29． 世界石油消费的增长率与消费量成正比. 已知，1900 年的消费量为 32（十亿桶）， 1920 年的消费量为 32e （十亿桶）,问 2005 年石油的消费量是多少？而在 2000 年到 2005 年的总消费量是多少？ 30． 海 洋 表 面 上 有 一 圆 形 油 膜 ， 其 距 离 中 心 r m 处 的 油 的 密 度 由 (r) = [50 /(1+ r)] kg/m 3 给出. 如果油膜是由 0m 扩展到 10000m，求出油膜的总质量， 及油膜质量为总质量一半时的 r 值 . 31． 池塘结冰速度由 k t dt dy = 给出，其中 y 为 t 时刻的冰的厚度， k 为正常数，求出 y 的表达式 . 32． 一架波音 727 喷气客机起飞时速度为 320km/h. 如果它匀加速地在 30s 内速度从 0 加速到 320km/h，跑道应有多长？