极限与连续当中常见问题与解答 2003级数学与应用数学班 任课教师:阿其拉图 辅导老师:木仁 一关于极限 (I)用定义证明极限存在性 先考虑数列极限 用数列极限的定义证明数A是数列的极限:首先,把要证明的命题用定义的形式给 limx= a 出:m一当且仅当VE>0,丑N>0,当n>N时,有 x-AkE。其次,在假设 不等式aA0,要找一个正整数N,使得当n>N时,都有 1|= (其次,用分析法解上述不等式,确定n与E的关系,从而找出正整数N。) 由不等式n解得”VE。于是,取 ,则当n>N时,就 Ika (最后,把上面的过程逆推一遍,即证明了极限问题。) 由此,对任意给定的VE>0,存在 当n>N时,总有n 2 由极限的定义,即n→n 2)(放大法),由 xn-AHo(n)0,只要 从n中解出n与E的关系就可定出N 3n2+n+2 例2:设 4n2+5n-9,证明: Rn 3(3n-3n+1A切-9444-9)为去掉绝对值,并将其放 Ix,- 3n-33 证明:因为 (4n-9)(n+1)
极限与连续当中常见问题与解答 2003 级数学与应用数学班 任课教师：阿其拉图 辅导老师：木仁 一.关于极限 （I）用定义证明极限存在性 先考虑数列极限 用数列极限的定义证明数 A 是数列 n x 的极限：首先，把要证明的命题用定义的形式给 出： lim n n x A → = 当且仅当 0， N 0 ，当 n N 时，有 | | n x A − 。其次，在假设 不等式 n |x -A|< 成立时，用分析法解出 n ，以确定 n 与 的关系，从而找出正整数 N 。因 此一般方法是： (1)直接解不等式 | | n x A − ，求出 n 与 的关系。 例 1： 求证： 2 2 2 lim 1 n n → n + = 证明（首先要把证明的命题用定义形式写出。） 对任意给定的 0 ，要找一个正整数 N ，使得当 n N 时，都有 2 2 2 2 2 | 1| n n n + − = （其次，用分析法解上述不等式，确定 n 与 的关系，从而找出正整数 N 。） 由不等式 2 2 n 解 得 2 n 。于是，取 2 N [ ] 1 = + ，则当 n N 时，就 2 2 2 | 1| n n + − （最后，把上面的过程逆推一遍，即证明了极限问题。） 由此，对任意给定的 0 ，存在 2 N [ ] 1 = + ，当 n N 时，总有 2 2 2 | 1| n n + − 由极限的定义，即 2 2 2 lim 1 n n → n + = (2)（放大法），由 | | | ( ) | n x A n − = 直接解不等式，往往十分困难，通常先限制 n 足 够大，再适当放大 | | n x A − ，使得 | | n x A n − （ 1 是某常数）。这时， 0 ，只要 从 n 中解出 n 与 的关系就可定出 N 。 例 2：设 2 2 3 2 4 5 9 n n n x n n + + = + − ，证明： 3 lim 4 n n x → = 证明：因为 3 (3 3)( 1) 3 3 3 19 | | | | | | | | 4 (4 9)( 1) 4 9 4 4(4 9) n n n n x n n n n − + − − = = − = − + − − 为去掉绝对值，并将其放
大为n的形式,可限制n>9,则当n>9时有 x 44(4n-9)4(4n-n)12nn 于是,VE>0,解不等式n N=max{9,[-]} 得 E”,当n>N时,有 xn-4kE a lmx,4 (3)(分步法)有时,证明一个较为复杂的极限需要先根据已知条件确定出某个o,然 后将xn-4的表达式放大为两部分,其中的一部分可小于事先任意给定的正数,另一部分 则由定义可求出某个N1,使当n>N1时也可以很小。于是令N=max{N0N},当n>N时, x-4即可小于事先任意给定的正数。 例3知2xn=A、imx+x+…+x=A 试证 证明:当A为有限数时, 1十x+“+工一A区x-41+1x2-41+…+1xn=4 据定义,VE>0,到N>0当mNa1x一4k5 2。从而 1x1-4|+1x2-A|+…+1|x1-A1n-N,E 上式 注意这里|x-4|+x2-14|+…+x-4已为定数,因而 N2>0当n>N2时 lx-A|+|x2-A|+…+|xN-A n 于是令N=max(N,N2},则n>N时 五+十+-4|k5+n=N.50是某个常数),再适当放大 If(x)-Ak B 1f(x)-A|,使得 x1,(B>0是某个常数),然后,6>0,解不等式/下 X=maxa,[B E,则当xX时,有|f(x)-AkE lim f(x) 例4:设 f(x)=2x2+x-1,证明 证明:因为 (x)-22+x2kx+1 2(2x-(x+1)2(2x-1)限制|x卜
大为 n 的形式，可限制 n 9 ，则当 n 9 时有 3 19 19 19 2 | | 4 4(4 9) 4(4 ) 12 n x n n n n n − = = − − 于是， 0 ，解不等式 2 n ，得 2 n ，取 2 N=max{9,[ ]} ，当 n N 时，有 3 | | 4 n x − 。即 3 lim 4 n n x → = 。 (3)（分步法）有时，证明一个较为复杂的极限需要先根据已知条件确定出某个 N0 ，然 后将 | | n x A − 的表达式放大为两部分，其中的一部分可小于事先任意给定的正数，另一部分 则由定义可求出某个 N1 ，使当 1 n N 时也可以很小。于是令 N=max{N ,N } 0 1 ，当 n N 时， | | n x A − 即可小于事先任意给定的正数。 例 3: 已知 lim n n x A → = 试证 1 2 lim n n x x x A → n + + + = 证明：当 A 为有限数时， 1 2 1 2 | | | | | | | | n n x x x x A x A x A A n n + + + − + − + + − − 据定义， 0， N >0 1 当 1 n>N 时 | | 2 n x A − 。从而 上式 1 1 2 1 | | | | | | 2 N x A x A x A n N n n − + − + + − − + 注意这里 1 1 2 | | | | | | N x A x A x A − + − + + − 已为定数，因而 2 N 0 ，当 2 n N 时 1 1 2 | | | | | | 2 N x A x A x A n − + − + + − 于是令 N=max{N ,N } 1 2 ，则 n N 时 1 2 1 | | 2 2 2 2 n x x x n N A n n + + + − − + + = A = 的情况，同理可证明。 再考虑函数极限 （1）用定义证明 A 是函数 f x( ) 当 x x x → → + → − ( , ) 时的极限思路。以 lim ( ) x f x A → = 为例，通常的办法是，先适当限制 | | ( 0 x 是某个常数），再适当放大 | ( ) | f x A − ，使得 | ( ) | | | f x A x − ，（ 0 是某个常数），然后， 0 ，解不等式 | | x ， 得 | | x ，取 X max{ ,[ ]} = ，则当 | | x X 时，有 | ( ) | f x A − 。 例 4：设 2 2 1 ( ) 2 1 x f x x x − = + − ，证明 1 lim ( ) x 2 f x → = 证明：因为 2 2 1 1 1 1 1 | ( ) | | | | | | | 2 2 1 2 2(2 1)( 1) 2(2 1) x x f x x x x x x − + − = − = = + − − + − 限制 | | 1 x
则2x-12|x-1>2|x1-|xHx1。因此,当|x>1时,有 22|2 现在,VE>0,解不等式21-E|x max lx卜>X f(x)-K lim f(x) 这就证明了x (2)用定义证明A是函数f(x)当x→x(x→xx→x)时的极限的思路。以 lim f(x)=A 为例,通常的办法是,先将x限制到x附近,比如|x-xk1,然后适当放 大|∫(x)-A,使得(x)-4a|x-x,(a>0是某个常数)。这时,vE>0,解不 等式a1x-xk6,得x00,4心=mn E a,则当00,解不等式5x+1,1+1k 6=mm1s3,当04x+1|k6 时,有1f(x)-2kE。即证明了m/(x)=2 2 f(x) lim f(x) 例6:设 证明 证明:因为 32x2+x-133(2x-1)(x+1)3|x+1,注意多文为 f(x)- 2x-12_(2x-1) 04x-2 0,取=mine},当 0dx--k1 If(x)--ka 。即证明了 lim f(x)= (I)求极限值的若干方法 用定义证明极限存在,有一先决条件,即事先知道极限的猜测值A。但通常只给定了 数列xn},对它的极限A不得而知。那么,如何根据x的表达式,求出极限A呢?此问题
则 | 2 1| 2 | | 1 2 | | | | | | x x x x x − − − = 。因此，当 | | 1 x 时，有 1 1 1 | ( ) | 2 2 | 2 1| 2 | | f x x x − = − 现在， 0 ，解不等式 1 2 | | x ，得 1 | | 2 x 。取 1 max{1, } 2 X = ，当 | | x X 时，有 1 | ( ) | 2 f x − 这就证明了 1 lim ( ) x 2 f x → = 。 （2）用定义证明 A 是函数 f x( ) 当 0 0 0 x x x x x x ( , ) → → → + − 时的极限的思路。以 0 lim ( ) x x f x A → = 为例，通常的办法是，先将 x 限制到 0 x 附近，比如 0 | | 1 x x − ，然后适当放 大 | ( ) | f x A − ，使得 0 | ( ) | | | f x A x x − − ，（ 0 是某个常数）。这时， 0 ，解不 等式 0 | | x x − ，得 0 | | x x − ，取 min{1, } = ，则当 0 0 | | − x x 时，有 | ( ) | f x A − 例 5: 设 2 f x x x ( ) 2 1 = + + ，证明 1 lim ( ) 2 x f x →− = 证明：因为 2 | ( ) 2 | | 2 1| | 2 1|| 1| f x x x x x − = + − = − + ，注意到 x →−1 ，可限制 0 | 1| 1 + x ，于是 − 2 0 x 。因此，当 0 | 1| 1 + x 时有 | ( ) 2 | | 2 1|| 1| (1 2 ) | 1| 5 | 1| f x x x x x x − = − + = − + + 现在， 0 ，解不等式 5 | 1| x + ，得 | 1| 5 x + 。取 min{1, } 5 = ，当 0 | 1| + x 时，有 | ( ) 2 | f x − 。即证明了 1 lim ( ) 2 x f x →− = 。 例 6： 设 2 2 1 ( ) 2 1 x f x x x − = + − ，证明 1 2 2 lim ( ) x 3 f x → = 证明：因为 2 2 2 2 1 2 (2 1) | 2 1| | ( ) | | | | | 3 2 1 3 3(2 1)( 1) 3| 1| x x x f x x x x x x − − − − = − = = + − − + + ，注意到 1 2 x → ， 可限制 1 0 | | 1 2 − x ，于是 1 3 2 2 x 。因此，当 1 0 | | 1 2 − x 时有 2 | 2 1| | 2 1| 4 1 1 | ( ) | | | | | 3 3| 1| 9 2 2 1 3( 1) 2 x x f x x x x − − − = = − − + + 现在， 0 ，取 = min{1, } ，当 1 0 | | 1 2 − x 时，有 2 | ( ) | 3 f x − 。即证明了 1 2 2 lim ( ) x 3 f x → = （II）求极限值的若干方法 用定义证明极限存在，有一先决条件，即事先知道极限的猜测值 A 。但通常只给定了 数列 { }n x ，对它的极限 A 不得而知。那么，如何根据 n x 的表达式，求出极限 A 呢？此问题
般来说没有统一的方法。只能根据具体情况进行具体的分析和处理。在这里我们例举了几 个常用的方法。 初等变形求极限用初等数学的方法将x变形,然后求极限 nx 例7:求极限 其中 √h 解 √h+2+…+ (1+2+…+1)2 i(i+1) 7+)=201- →2(n→∞) n+1 二利用变量替换求极限--为了将未知的极限化简,或转化为已知的极限,可根据极 限式的特点,适当引入新变量,以替换原有的变量,使原来的极限过程,转化为新的极限过 程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。 +x +…+x lim y,=b 例8:已知 试证 证明:令x=a+any=b+B,则n→∞时,an,B→0。于是 Bn)+(a+a2)b+Bn-)+…+(a+an)(b+B1) n B+B2+…+Bna1 +a 1Bn+a2B n 根据例3易知当n→∞时第二、三项趋于零。现证第四项极限亦为零。事实上,因an→0 (当n→O时,故{n有界,即丑M>0,使得|anM(∈N)。故 a, Bn+a2B B1MA+|Bn-1|+…+|A⊥ 三两边夹逼法则-当极限不易直接求出时,可考虑将求极限的变量,作适当的放大 和缩小,使放大,缩小所得的新变量,易于求极限,且二者的极限值相同。则原极限存在, 且等于此公共值 例9:求极限 10时, x<x-]≤1 ,当x<0时, x[-]≥1 lim x[=1 无论哪种情况我们都有 注:当使用两边夹逼法则时,若放大缩小所得之量的极限值不相等,但二者只相差一个 任意小量,则两边夹逼法则仍然有效 四极限四则运算法则--根据已知变量的极限,利用极限四则运算,计算新变量的极 限 例10:求极限nn-
一般来说没有统一的方法。只能根据具体情况进行具体的分析和处理。在这里我们例举了几 个常用的方法。 一.初等变形求极限------用初等数学的方法将 n x 变形，然后求极限。 例 7：求极限 lim n n x → 其中 3 3 3 1 1 1 2 n n i x = i = + + + 解： 3 3 3 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 (1 2 ) ( 1) 2 n n n n i i i x i i i i = = = = = = + + + + + + + 1 1 1 1 2 ( ) 2(1 ) 2( ) 1 1 n i n = i i n = − = − → → + + 二.利用变量替换求极限------为了将未知的极限化简，或转化为已知的极限，可根据极 限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来的极限过程，转化为新的极限过 程。最常用的方法就是等价无穷小的代换。 例 8： 已知 lim ,lim n n n n x a y b → → = = 试证 1 2 1 1 lim n n n n x y x y x y ab n − → + + + = 证明：令 , n n n n x a y b = + = + ，则 n → 时， , 0 n n → 。于是 1 2 1 1 1 2 1 1 ( )( ) ( )( ) ( )( ) n n n n n n x y x y x y a b a b a b n n + + + + + + + + + + + + − − = 1 2 1 2 1 2 1 1 n n n n n ab a b n n n + + + + + + + + − = + + + 根据例 3 易知当 n → 时第二、三项趋于零。现证第四项极限亦为零。事实上，因 0 n → （当 n → 时），故 { } n 有界，即 M 0 ，使得 | | n M （ n N ）。故 1 2 1 1 1 1 | | | | | | 0 | | 0 n n n n n M n n + + + + + − − → 三.两边夹逼法则------当极限不易直接求出时，可考虑将求极限的变量，作适当的放大 和缩小，使放大，缩小所得的新变量，易于求极限，且二者的极限值相同。则原极限存在， 且等于此公共值。 例 9：求极限 0 1 lim [ ] x x → x 解： 由于 1 1 1 1 [ ] x x x − （ x 0 时）因此当 x 0 时， 1 1 [ ] 1 x x x − ，当 x 0 时， 1 1 [ ] 1 x x x − ，无论哪种情况我们都有 0 1 lim [ ] 1 x x → x = 。 注：当使用两边夹逼法则时，若放大缩小所得之量的极限值不相等，但二者只相差一个 任意小量，则两边夹逼法则仍然有效。 四.极限四则运算法则------根据已知变量的极限，利用极限四则运算，计算新变量的极 限。 例 10：求极限 3 1 lim n 1 n → n + −
3+ =lim-=3 解 n 五利用单调有界原理 例1n求极限如mx其中x=√=2…x=√x 00,30>0,当x-x0k6时,有f(x)-f(x)kE 2)利用左右极限证明.f(x+0)=f(x、=-0) 3)利用序列语言证明:VE>0,有f(x)→f(x) 4)利用邻域的语言证明:VE>O,3>0,使得 f(x-8,x+)c(f(x)-E,f(x0)+E) 5)利用连续函数的运算性质:连续函数与连续函数经过有限次加减乘除(除法要求除数 不为零),复合(内层函数的值域在外层函数的定义域内),仍然是连续的。 2讨论函数在区间/上的连续性以及确定函数的连续区间。要证明一个函数在某区间 1上连续,只要在区间里任意取定一点∈,证明x imf(x)=f(x)p可 3用连续概念确定函数式中的待定常数 例13:确定常数ab,timn√2x2+4x-1-a-b=0 解:这是∞-∞型待定式,化成分式。原式左端等于 (2-a2)x2+(4-2ab)x-(1+b2) +4x-1+ax+b
解： 1 3 3 1 lim lim 3 1 1 1 n n n n n n → → + + = = − − 五.利用单调有界原理。 例 11：求极限 lim n n x → 其中 1 2 1 2, 2 2, 2 n n x x x x = = = − 解：易知， 1 1 1 1 2 4 1 1 1 1 2 2 0 2 2, 1 n n n n n n n x x x x x x + + + + − − − − = = = 故原数列单调递增且有 界，在利用极限的进一步性质知 1 2 1 1 2 lim 2 2 n n x − → = = 。 六.利用洛比达法则或泰勒公式。 例 12：求极限 2 0 1 cos lim x x → x − 解：利用洛比达法则我们有 2 0 0 1 cos sin 1 lim lim x x 2 2 x x → → x x − = = 利用台勒公式我们有 2 2 2 2 0 0 1 (1 ( )) 1 cos 1 2 lim lim x x 2 x o x x → → x x − − + − = = 二.函数连续与间断概念 （I）函数连续与间断 有关函数连续与间断概念，主要涉及以下四个方面的问题： 1．函数 f x( ) 在某点 0 x 的连续性。 在一点 0 x 连续常用以下几种方法来判断： 1)利用定义证明：对 0, 0 ，当 0 | | x x − 时，有 0 | ( ) ( ) | f x f x − 。 2)利用左右极限证明： 0 0 0 f x f x f x ( 0) ( ) ( 0) + = = − 3)利用序列语言证明： 0 ，有 0 ( ) ( ) n f x f x → 4)利用邻域的语言证明： 0, 0 ，使得 0 0 0 0 f x x f x f x [( , )] ( ( ) , ( ) ) − + − + 5)利用连续函数的运算性质：连续函数与连续函数经过有限次加减乘除（除法要求除数 不为零），复合（内层函数的值域在外层函数的定义域内），仍然是连续的。 2.讨论函数在区间 I 上的连续性以及确定函数的连续区间。要证明一个函数 f 在某区间 I 上连续，只要在区间里任意取定一点 0 x I ，证明 0 0 lim ( ) ( ) x x f x f x → = 即可。 3.用连续概念确定函数式中的待定常数。 例 13： 确定常数 ab, ，使 2 lim 2 4 1 0 x x x ax b →+ + − − − = 。 解：这是 − 型待定式，化成分式。原式左端等于 2 2 2 2 (2 ) (4 2 ) (1 ) lim 0 2 4 1 x a x ab x b x x ax b →+ − + − − + = + − + +
由此知2-a2=04-2b=0。故a=2,b=√(a=-√,b=-√2不符合题设,舍去 4确定函数f(x)的间断点,并判别其类型 函数f(x)的间断点的分类,见下表 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 左右极限存在但不相等 左右极限当中至 左右极限存在且相等但它不 少有一个不存在 等于该点的函数值或函数在 点没有定义 y=cos 例14:判断 x不连续点的性质。 解:由于函数在x=0点没有定义,且左右极限都不存在,故x=0是原函数的第二类 不连续点 (I)一致连续 设函数f(x)在区间l上有定义(为开、闭、半开半闭,有限或无限区间)。所谓f(x) 在上一致连续,意指:VE>0,36>0,当x,xX∈1,且|x-xkδ时,有 f(x)-f(x)kE。由此知,f(x)在区间1上非一致连续分30>0使得 v。>0.3x,x∈满足x-xk。,但|f(x)-f(x)60。分3>0使得 V->0,3xn,x∈I 满足1xn-xk,但l∫(x)-f(x)50。 特别,若30>0.x,x∈,(m=12…),满足 lim(,-xn)=aLf(x')-f(n)P 可判定∫在l上非一致连续。 用定义证明∫在l上一致连续,通常的方法是设法证明厂在I上满足 Lipschitz条件 If(x-f(x)ksLix-xlVx,xEI L为某一常数。此条件成立必一致连续 特别,若在上有有界导函数,则在上 Lipschitz条件成立。 例15证明x在(c,c>0)是一致连续的,而在0D1J sin x非一致连续 证明:当C<xx<1时 x+x Mo x-x If(x)-f(xo)sin --sin-ks2 sin- coss 2 故只要取CE作为一致连续定义中的7即可 由于 (n→时),但nn+1故∫在(0,1)内非一致连续。 (I一致连续与连续的关系 我们知道,在区间上一致连续,自然∫(x)在上连续,反之不一定。例如: f(x)=-,x∈(0,1) 若为有限闭区间,据Caor定理,∫在[ab上连续等价于∫在 ab上一致连续
由此知 2 2 0,4 2 0 − = − = a ab 。故 a b = = 2, 2 （ a b = − = − 2, 2 不符合题设，舍去）。 4.确定函数 f x( ) 的间断点，并判别其类型 函数 f x( ) 的间断点的分类，见下表： 第一类间断点 第二类间断点 可去间断点 左右极限存在但不相等 左右极限当中至 少有一个不存在 左右极限存在且相等但它不 等于该点的函数值或函数在 该点没有定义 例 14：判断 2 1 y cos x = 不连续点的性质。 解：由于函数在 x = 0 点没有定义，且左右极限都不存在，故 x = 0 是原函数的第二类 不连续点。 （II）一致连续 设函数 f x( ) 在区间 I 上有定义（ I 为开、闭、半开半闭，有限或无限区间）。所谓 f x( ) 在 I 上 一 致 连 续 ， 意 指 ： 0, 0 ， 当 ' '' x x I , ， 且 ' '' | | x x − 时，有 ' '' | ( ) ( ) | f x f x − 。 由 此 知 ， f x( ) 在区间 I 上非一致连续 0 0 使 得 ' '' 0, , x x I 满 足 ' '' | | x x − ， 但 ' '' 0 | ( ) ( ) | f x f x − 。 0 0 使 得 1 ' '' 0, , n n x x I n 满足 ' '' | | n n x x − ，但 ' '' 0 | ( ) ( ) | n n f x f x − 。 特别，若 ' '' 0 0, , ,( 1,2, ) n n = x x I n ，满足 ' '' lim( ) n n n x x a → − = 但 ' '' 0 | ( ) ( ) | n n f x f x − 则 可判定 f 在 I 上非一致连续。 用定义证明 f 在 I 上一致连续，通常的方法是设法证明 f 在 I 上满足 Lipschitz 条件： ' '' ' '' ' '' | ( ) ( ) | | |, , f x f x L x x x x I − − L 为某一常数。此条件成立必一致连续。 特别，若 f 在 I 上有有界导函数，则 f 在 I 上 Lipschitz 条件成立。 例 15： 证明 1 sin x 在 ( ,1)( 0) c c 是一致连续的，而在 (0,1) 上 1 f x( ) x = 非一致连续。 证明：当 0 c x x , 1 时 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 1 | | | | | ( ) ( ) | | sin sin | 2 | sin || cos | 2 2 x x x x x x x x f x f x x x xx xx xx c − + − − − = − 故只要取 2 c 作为一致连续定义中的 即可。 由于 1 1 | | 0 n n 1 − → + （ n → 时），但 1 1 | | 0 1 1 n n 1 − → + 故 f 在 (0,1) 内非一致连续。 (III)一致连续与连续的关系 我们知道，在区间 I 上一致连续，自然 f x( ) 在 I 上连续，反之不一定。例如： 1 f x x ( ) , (0,1) x = 。若 I 为有限闭区间，据 Cantor 定理， f 在 [ , ] a b 上连续等价于 f 在 [ , ] a b 上一致连续
