第七章实数的完备性 习题 §1关于实数集完备性的基本定理 1.证数集{(-1)+}有且只有两个聚点51=-1和52=1 2.证明:任何有限数集都没有聚点 3.设{(anbn)是一个严格开区间套,满足 a1<a2<…<an<b<…<b2<b1, 且m(bn-an)=0.证明:存在唯一的一点,使得 <5<bn,n=1,2, 4.试举例说明:在有理数集内,确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般 都不成立 5.设H ,=12…}.问 n+2 (1)H能否覆盖()? 2能语从中选出有限个开区间覆盖(0号(m) 6.证明:闭区间[a,b]的全体聚点的集合是[ab]本身 7.设{xn}为单调数列证明:若{xn}存在聚点,则必是唯一的,且为{xn}的确界 8.试用有限覆盖定理证明聚点定理 9.试用聚点定理证明柯西收敛准则 §2闭区间上连续函数性质的证明 1.设∫为R上连续的周期函数证明:∫为R上有最大值与最小值 2.设为有限区间证明:若∫在/上一致连续,则∫在上有界举例说明此结论当/为 无限区间时不一定成立 3.证明:f(x)=51x在(0+)上一致连续 4.试用有限覆盖定理证明根的存在定理 5.证明:在(ab)上的连续函数∫为一致连续的冲要条件是f(a+0)/(b-0)都存在
1 第七章 实数的完备性 习题 §1 关于实数集完备性的基本定理 1． 证数集 ( ) − + n n 1 1 有且只有两个聚点 1 = −1 和 2 =1. 2． 证明：任何有限数集都没有聚点. 3． 设 (an ,bn ) 是一个严格开区间套，满足 a1 a2 an bn b2 b1， 且 lim ( − ) = 0 → n n n b a .证明：存在唯一的一点 ，使得 an bn ,n =1,2, 4． 试举例说明：在有理数集内，确界原理、单调有界定理、聚点定理和柯西收敛准则一般 都不成立. 5． 设 = + = 1,2, 1 , 2 1 n n n H .问： （1） H 能否覆盖 (0,1) ？ （2）能否从 H 中选出有限个开区间覆盖 ( ) ( ) ,1 100 1 , 2 1 i 0, ii ？ 6． 证明：闭区间 a,b 的全体聚点的集合是 a,b 本身. 7． 设 xn 为单调数列.证明：若 xn 存在聚点，则必是唯一的，且为 xn 的确界. 8． 试用有限覆盖定理证明聚点定理. 9． 试用聚点定理证明柯西收敛准则. §2 闭区间上连续函数性质的证明 1．设 f 为 R 上连续的周期函数.证明： f 为 R 上有最大值与最小值. 2．设 I 为有限区间.证明：若 f 在 I 上一致连续，则 f 在 I 上有界.举例说明此结论当 I 为 无限区间时不一定成立. 3．证明： ( ) x x f x sin = 在 (0,+) 上一致连续. 4．试用有限覆盖定理证明根的存在定理. 5．证明：在 (a,b) 上的连续函数 f 为一致连续的冲要条件是 f (a + 0), f (b − 0) 都存在
§3上极限和下极限 求以下数列的上、下极限 (1)+(-y} (2){(-) 2n+1 (3)2 l (5) (6) 2.设{an}伪n}为有界数列,证明: (1)man=-m(-an); (2)皿man+mb≤皿m(an+bn) → (3)设an>0,bn>0(n=12…),则 皿 m a lim b≤皿 m a b, lima lim b≥ lim a b; (4)若an>0,lman>0,则lm 3.证明:若{n}为递增数列,则皿man= lim a 4.证明:若an>On=2,…)且man·m-=1,则数列{an}收敛 nI-o a 5.证明定理7.8 6.证明定理7.9 总练习题 1.证明:{xn}为有界数列的充要条件是{xn}的任一子列都存在其收敛子列 2.设∫在(anb)内连续,且m∫(x)=lm∫(x)=0.证明:∫在(ab)内有最大值或最 小值 3.设∫在[ab]上连续,又{xn}c[b],使得lmnf(xn)=A.证明:存在xo∈[ab],使 得∫(x)=A 4.设∫和g都在区间/上一致连续 (1)若为有限区间,证明:f·g在上一致连续;
2 §3 上极限和下极限 1． 求以下数列的上、下极限： （1） ( ) n 1+ −1 ； （2） ( ) + − 2 1 1 n n n ； （3） 2n +1 ； （4） + 4 sin 1 2 n n n ； （5） + n n n sin 1 2 ； （6） n n 3 cos . 2． 设 an ,bn 为有界数列，证明： （1） ( ) n n n n a = − − a → → lim lim ； （2） ( ) n n n n n n n a + b a + b → → → lim lim lim (3)设 a 0,b 0(n =1,2, ) n n ，则 n b n n n n n n n n n n n n a b a b a b a b → → → → → → lim lim lim ,lim lim lim ； （4）若 0,lim 0 → n n an a ，则 n n n n a a → → = lim 1 1 lim . 3． 证明：若 an 为递增数列，则 n n n n a a → → lim = lim . 4． 证明：若 a 0(n =1,2, ) n 且 1 1 lim • lim = → → n n n n a a ，则数列 an 收敛. 5． 证明定理 7.8 6． 证明定理 7.9 总练习题 1． 证明： xn 为有界数列的充要条件是 xn 的任一子列都存在其收敛子列. 2． 设 f 在 (a,b) 内连续，且 lim ( ) = lim ( ) = 0 → + → − f x f x x a x b .证明： f 在 (a,b) 内有最大值或最 小值. 3． 设 f 在 a,b 上连续，又 x a b n , ，使得 f (xn ) A n = → lim .证明：存在 x a,b 0 ，使 得 f (x0 ) = A . 4． 设 f 和 g 都在区间 I 上一致连续. （1）若 I 为有限区间，证明： f • g 在 I 上一致连续；
(2)若Ⅰ为无限区间,举例说明∫·g在/上不一定一致连续 5.设∫定义在(ab)上证明:若对(ab)内任一收敛数列{xn},极限m∫(x)都存在, 则∫在(ab)上一致连续 6.函数∫在{a+∞)上连续,且有斜渐近线,即有数bc,使得 证明:f在[a+∞)上一致连续 习题答案 §1关于实数集完备性的基本定理 5.(1)能;(2)()不能,(i)能. §3上极限和下极限 1.(1)2,0;(2) ;(3)+∞,+∞;(4)2,-2;(5)x,丌;(6)1,1 典型习题解答 1.(§1第7题)设{xn}为单调数列证明:若{xn}存在聚点,则必是唯一的,且为{xn}的 确界. 证明:设{xn}为递增数列,设占为{xn}的聚点下证=sup{xn} 1)5是{xn}的上界若不然,3xN∈{xn},使50,使得Sc[M,M]假设[M,M 中的任意点都不是S的聚点,则x∈[-M,M彐δ>0,使得U(x,o,)中只有S中的有
3 （2）若 I 为无限区间，举例说明 f • g 在 I 上不一定一致连续. 5．设 f 定义在 (a,b) 上.证明：若对 (a,b) 内任一收敛数列 xn ，极限 ( ) n n f x → lim 都存在， 则 f 在 (a,b) 上一致连续. 6．函数 f 在 a,+) 上连续，且有斜渐近线，即有数 b,c ，使得 lim ( )− − = 0 → f x bx c x 证明： f 在 a,+) 上一致连续. 习题答案 §1 关于实数集完备性的基本定理 5．（1）能；（2）(i)不能，(ii)能. §3 上极限和下极限 1．（1）2，0；（2） 2 1 ， 2 1 − ；（3） +,+ ；（4）2，-2；（5） , ；（6）1，1. 典型习题解答 1．（§1 第 7 题）设 xn 为单调数列.证明：若 xn 存在聚点，则必是唯一的，且为 xn 的 确界. 证明：设 xn 为递增数列，设 为 xn 的聚点.下证 = supxn 1） 是 xn 的上界.若不然， xN xn ，使 N x ，取 0 = xN − ，由 xn 的递增性， ( ) 0 , 内只含有 xn 中的有限项 1 2 1 , , , N− x x x .这与 是 xn 的聚点矛盾.从而 是 xn 的上界. 2） a ，取 2 0 − a = ，则 xN (, 0 )xn ，使得 N a x . 所以 = supxn .由确界的唯一性，聚点是唯一的. 2．（§1 第 8 题）试用有限覆盖定理证明聚点定理. 证明：设 S 是实轴上的一个有界无限点集，则 M 0 ，使得 S − M,M.假设 − M,M 中的任意点都不是 S 的聚点，则 x − M,M, x 0 ，使得 ( ) x x; 中只有 S 中的有
限多个点 令H=(x6,)x∈[M,M小,它是闭区间[M,M的一个无限开覆盖由有限覆盖 定理,存在[M,M门的一个有限开覆盖H1,从而H1覆盖S.所以S是有限集,矛盾 3.〔§2第4题)试用有限覆盖定理证明根的存在定理 证明:假设x∈[ab],有∫(x)≠0.由连续函数的保号性,存在∪(x:6,)使得f(x)在 Uxo,)~[b上同号记H={U(x:,)∈[q],显然它覆盖[a6],从而存在[b]的 有限子覆盖:H1={x;。8,)=12…,因为f(x)在Ur;5)nb上同号 (=12,…),且H1又覆盖[b],故f(x)在b]上同号但∫(a)/(b)0,36>0,vx,x"∈(a,b)只要 2-xy|0,对δ>0,总存在x,x"∈(ab),尽管 -x1<,但有/()()≥6 令=,与它相应的两点记为x,x∈(ab),尽管-x<,但有
4 限多个点. 令 H = (x; x ) x− M,M ，它是闭区间 − M,M 的一个无限开覆盖.由有限覆盖 定理，存在 − M,M 的一个有限开覆盖 H1 ，从而 H1 覆盖 S .所以 S 是有限集，矛盾. 3．（§2 第 4 题）试用有限覆盖定理证明根的存在定理. 证明：假设 xa,b ，有 f (x) 0 .由连续函数的保号性，存在 ( ) x x; 使得 f (x) 在 (x ) a b x ; , 上同号.记 H = (x; x ) xa,a ，显然它覆盖 a,b ，从而存在 a,b 的 有限子覆盖： H1 = (x ; )i =1,2, i i x . 因 为 f (x) 在 (x ) a b i i x ; , 上同号 (i =1,2, ) ，且 H1 又覆盖 a,b ，故 f (x) 在 a,b 上同号.但 f (a)f (b) 0 ，矛盾. 4.（§2 第 5 题）证明：在 (a,b) 上的连续函数 f 为一致连续的冲要条件是 f (a + 0), f (b − 0) 都存在. 证明：（必要性）设 f 在 (a,b) 上一致连续，则 0, 0, x , x (a,b) / // 只要 − / // x x ，就有 ( )− ( ) / // f x f x （1） 取 2 1 = ，则 x , x (a,a ) (a,b) 1 / // + ，有（1）式成立.由柯西准则， f (a + 0) 存在. 同理 f (b − 0) 也存在. （充分性）令 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) − = + = = f b x b f x x a b f a x a F x 0 , , , 0 , ，则 F(x) 在 a,b 上连续.从而 F(x) 在 a,b 上一致 连续，所以 f 在 (a,b) 上一致连续. 5．（总练习题 第 5 题）设 f 定义在 (a,b) 上.证明：若对 (a,b) 内任一收敛数列 xn ，极限 ( ) n n f x → lim 都存在，则 f 在 (a,b) 上一致连续. 证明：假设 f 在 (a,b) 上不一致连续，则 0 0 ，对 0 ，总存在 x , x (a,b) / // ，尽管 − / // x x ，但有 ( ) ( ) 0 / // f x − f x . 令 n 1 = ，与它相应的两点记为 x x (a b) n n , , / // ，尽管 − / // n n x x ，但有 ( ) ( ) 0 / // − n n f x f x （1）
当n取遍所有正整数时,得数列}xm}(ab),由致密性定理,存在{}的收敛 子列气,设mx=x,又 即lmxn.=x 由(1)式有/(n)-()≥0,令k→叨得 0=m/()m/(x)≥6 这与60>0相矛盾所以∫在(ab)上一致连续 6.(总练习题第6题)函数∫在[口+∞)上连续,且有斜渐近线,即有数b,c,使得 m[/(x)-bx-c]=0 证明:f在[a+∞)上一致连续 证明:令F(x)=f(x)-bx-c,则F在[a+∞)上连续又因为lmnF(x)=0,所以F在 a+∞)上一致连续又G(x)=bx+c在[口+∞)上一致连续,因此∫在[a+∞)上一致连续
5 当 n 取遍所有正整数时，得数列 x x (a b) n n , , / // ，由致密性定理，存在 / n x 的收敛 子列 / nk x ，设 0 / lim x x nk k = → .又 − x − x x − x + x − x → (k → ) n x x k k nk nk nk nk k n n 0 1 0 / / / / 0 / / / / / 即 0 // lim x x nk k = → 由（1）式有 ( ) ( ) 0 / // − nk nk f x f x ，令 k → ，得 ( ) ( ) 0 / // 0 = lim − lim → k → nk k n k f x f x 这与 0 0 相矛盾.所以 f 在 (a,b) 上一致连续. 6．（总练习题 第 6 题）函数 f 在 a,+) 上连续，且有斜渐近线，即有数 b,c ，使得 lim ( )− − = 0 → f x bx c x 证明： f 在 a,+) 上一致连续. 证明：令 F(x) = f (x)−bx − c ，则 F 在 a,+) 上连续.又因为 lim ( ) = 0 → F x x ，所以 F 在 a,+) 上一致连续.又 G(x) = bx + c 在 a,+) 上一致连续，因此 f 在 a,+) 上一致连续