实验三用 Mathematica软件计算导数与微分 实验目的 掌握用 Mathematica软件计算导数与微分的语句和方法。 实验准备 数学概念 1.导数 2.微分 实验过程与要求 教师利用多媒体组织教学边讲边操作示范 实验的内容 1、求函数的导数 在 Mathematica系统中用D函数求函数的导数,基本格式为: Lflx, x, n] 其中fx是以x为自变量的函数或表达式,n为求导的阶数,若省略则系统 默认为一阶 实验求y=x3-4snx+2 arctan x-9的导数 AR In[]: =D[x3-4Sin[x]+2ArcTan[x-9, x] 实验求y=5x的二阶导数 解In[2]:=D[Sin[x]/x,{x,2}] 实验求y=emm/的导数 A In[3]: =D [Exp [ArcTan [Sgrt[x]]], x 实验设y= 求f() [+ sin t A In[4]: = ftt ]=(t-Sin[t])/(t+Sin[t]) In[5]:=D[f[t],t In[6]: =fft= (*定义新函数f/) In[7]: =Simplify[ff[Pi/2J 0 其中%代表上一计算结果. Simplify表达式]为化简表达式函数,注意括号 内的内容为注释内容,上机时不需输入 2、求函数的微分 在 Mathematica系统中用D函数求函数的微分,基本格式为: Dtlftxll 实验求y=sin2x的微分
实验三 用 Mathematica 软件计算导数与微分 实验目的: 掌握用 Mathematica 软件计算导数与微分的语句和方法。 实验准备 数学概念 1. 导数 2. 微分 实验过程与要求: 教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。 实验的内容: 1、求函数的导数 在 Mathematica 系统中用 D 函数求函数的导数，基本格式为： D[f[x],{x,n}] 其中 f[x]是以 x 为自变量的函数或表达式，n 为求导的阶数，若省略则系统 默认为一阶. 实验 求 4sin 2arctan 9 3 y = x − x + x − 的导数. 解 In[1]:=D[x^3-4Sin[x]+2ArcTan[x]-9,x] 实验 求 x x y sin = 的二阶导数. 解 In[2]:=D[Sin[x]/x,{x,2}] 实验 求 x y e arctan = 的导数. 解 In[3]:=D[Exp[ArcTan[Sqrt[x]]],x] 实验 设 ) 2 , ( sin sin f t t t t y + − = 求 . 解 In[4]:=f[t_]=(t-Sin[t])/(t+Sin[t]) In[5]:=D[f[t],t] In[6]:=ff[t_]=% （*定义新函数 ff*） In[7]:=Simplify[ff[Pi/2]] O 其中%代表上一计算结果. Simplify[表达式]为化简表达式函数，注意括号 内的内容为注释内容，上机时不需输入. 2、求函数的微分 在 Mathematica 系统中用 Dt 函数求函数的微分，基本格式为： Dt[f[x]] 实验 求 y = sin 2x 的微分
解n[8]:=Dt[Sin[2x]] 实验求y=e2x-5sinx的微分 A In[9]: Dt [Exp [2x]-5Sin[x]] 3.应用实验 本实验研究咳嗽问题。 人体的肺内压力增加可以引起咳嗽,通常肺内压力增加伴随着人体气管半径 的缩小,那么较小半径是促进了还是阻碍了空气在人体气管里的流动? 1)问题分析 査找有关流体在圆柱形管子中流动的资料,获得如下物理学的结果: 在单位时间内流体流过管子的体积 = (2-1) 这里r表示管子半径,s表示管子长度,p表示管子两端的压力差,q表示流体的 粘滞度。 实验结果表明:当压力差p增加,且在[0内,半径r按照方程 r=o-ap减小其中r为无压力差时的管子半径,a为正的常数 我们将人体气管看作一个圆柱形的管子。并用r表示气管半径,s表示气管 长度,p表示气管两端的压力差,q表示流体的粘滞度。于是我们可以使用如上 的结果。 由于人在咳嗽时气管的压力差增加,因此由实验结果,有 在 [0,]时成立。从r=ro-ap解出p,则有 [0, 于是可以得到 →≤r≤ 把得到关系:
解 In[8]:=Dt[Sin[2x]] 实验 求 5 2 = − x y e sinx 的微分. 解 In[9]:= Dt[Exp[2x]-5Sin[x]] 3. 应用实验 本实验研究咳嗽问题。 人体的肺内压力增加可以引起咳嗽，通常肺内压力增加伴随着人体气管半径 的缩小，那么较小半径是促进了还是阻碍了空气在人体气管里的流动？ 1）问题分析 查找有关流体在圆柱形管子中流动的资料，获得如下物理学的结果： 在单位时间内流体流过管子的体积 qs pr V 8 4 = （2-1） 这里 r 表示管子半径，s 表示管子长度，p 表示管子两端的压力差，q 表示流体的 粘滞度。 实验结果表明： 当压力差 p 增加，且在 ] 2 [0, 0 a r 内，半径 r 按照方程 r=r0-ap 减小,其中 r 为无压力差时的管子半径，a 为正的常数。 我们将人体气管看作一个圆柱形的管子。并用 r 表示气管半径，s 表示气管 长度，p 表示气管两端的压力差，q 表示流体的粘滞度。于是我们可以使用如上 的结果。 由于人在咳嗽时气管的压力差增加，因此由实验结果，有 r=r0-ap 在 p ] 2 [0, 0 a r 时成立。从 r=r0-ap 解出 p，则有 ] 2 [0, 0 0 a r a r r p − = 于是可以得到 0 0 0 0 2 2 0 r r r a r a r r − 把得到关系：
Fo-r 代入(2-1)式,有 丌(r-r) k(r-r)r, k ≤P≤ 由于s和q在咳嗽过程中通常不发生变化,因此上式中的k是常数。于是在咳嗽 过程中单位时间内流体流过气管的体积Ⅴ只是r的函数,即Ⅴ=V(r)。为解决本 题问题,从考虑ⅴ(r)取最大值时r的取值情况着手。由 V'(r)=kr3(4ro-5r=0 得到驻点r1=0(舍去)和n2=4n V"(r=4kr2(-5r+3mo) (r2) kr30},{r→>0},{r In[4]: =v2=Dvrlr, 2) Ou4}=-8kr3+12kP2(-r+r0)
a r r p − = 0 , 0 0 2 r r r 代入(2-1)式，有： 0 4 0 0 4 0 2 , 8 ( ) , 8 ( ) r r r aqs k r r r k aqs r r r V = − = − = ， 由于 s 和 q 在咳嗽过程中通常不发生变化，因此上式中的 k 是常数。于是在咳嗽 过程中单位时间内流体流过气管的体积 V 只是 r 的函数，即 V=V(r)。为解决本 题问题，从考虑 V(r)取最大值时 r 的取值情况着手。由 V(r)= kr3 (4r0-5r)=0 得到驻点 r1=0（舍去）和 2 0 5 4 r = r 。 V(r)=4 k r 2 (-5 r + 3 r0) 0 25 64 ( ) 3 V r2 = − kr0＜ 因此由极值的充分条件，V(r)在 r=r2 时取得极大值，由于本题在考虑的范围内有 唯一极值点，因此 V(r)在 r=r2 也取得最大值。于是有在半径 r= 2 0 5 4 r = r 时单位时 间内流体流过气管的体积最大。由于 2 0 0 0 5 4 2 ＜r r＜r r = 说明气管半径缩小可以在 单位时间内流体流过的体积最大，从而有利于空气在气管里的流动。因此我们说， 咳嗽时气管在一定范围内收缩有助于咳嗽，可以促进气管内空气的流动与气管中 异物的快速排出。 2)实验步骤 In[1]:= Clear[v,r] v[r_]:=k*(r0-r)*r^4 In[2]:= v1=D[v[r],r] Out[2]= -(k r 4 ) + 4 k r3 (-r + r0) In[3]:= Simplify[v1] Out[3]= k r 3 (-5r + 4r0) In[3]:= Solve[v1==0,r] Out[3]= {{r -> 0}, {r -> 0}, {r -> 0}, } 5 4 { 0 r r− } In[4]:= v2=D[v[r],{r，2}] Out[4]= -8 k r 3 + 12 k r2 (- r + r0)
In[5]:=Simplifylv2 Ou54kr2(-5r+3r0) in6]=%/r->4/5*r0 Ot6=-043 实验 1.求y=x3-5sn2x+2 arccos x-9hx+h2的导数 求y=sin(5x-1)的导数 3.求y SX 的导数 4.求y=xhx的二阶导数 5.求y=cos2x的微分
In[5]:= Simplify[v2] Out[5]= 4 k r2 (-5r+ 3r0) In[6]:= %/.r->4/5*r0 Out[6]= 3 0 64 25 kr − 实验 1. 求 5sin 2 2arccos 9ln ln 2 5 y = x − x + x − x + 的导数. 2. 求 y = sin( 5x −1) 的导数. 3 . 求 x x y + − = 1 5 1 的导数. 4. 求 y = x ln x 的二阶导数. 5. 求 y = cos 2x 的微分