第四节 阶线性微分方程
第四节 一阶线性微分方程
、线性方程 阶线性微分方程的标准形式 dh <t+P(x)y=o(x)g 当Q(x)=0,上方程称为齐次的 当Q(x)主0,上方程称为非齐次的 例如 d r+r 一血 = saint+t2,线性的 yy2-2xy=3,y-cosy=1,非线性的
P(x) y Q(x) dx dy + = 一阶线性微分方程的标准形式: 当Q(x) 0, 上方程称为齐次的. 当Q(x) 0, 上方程称为非齐次的. 一、线性方程 例如 , 2 y x dx dy = + sin , 2 x t t dt dx = + yy − 2xy = 3, y − cos y = 1, 线性的; 非线性的
阶线性微分方程的解法 y 步骤1先解线性齐次方程xP(x)y=0 (使用分离变量法) y -P(x)dx y P(x)dx, Iny=- P(x)dx+InC, 齐次方程的通解为y= Ce Ply
+ P(x) y = 0. dx dy P(x)dx, y dy = − ( ) , = − P x dx y dy ln y = − P(x)dx + lnC, 齐次方程的通解为 . ( ) = − P x dx y Ce 步骤1 先解线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 (使用分离变量法)
步骤2讨论线性非齐次方程的解与线性齐次方程的 解之间的关系: 4+P(x)y=Q(x)-)小_「Q(x) y P(x)dx. 两边积分co、S-JPe(x)d, 设/(x 为(x,:lmy=x)-P(x) 即 (x)。-「P(x)ax p(xdx y=e'e =(x)e 因此,非齐次方程通解形式与齐次方程通解 J=C。P(相比,就是将:C→(x)
步骤2 讨论线性非齐次方程的解与线性齐次方程的 解之间的关系： P(x) y Q(x). dx dy + = ( ) , ( ) P x dx y Q x y dy = − 两边积分 ( ) , ( ) ln = dx − P x dx y Q x y ( ), ( ) dx v x y Q x 设 为 ln ( ) ( ) , y = v x − P x dx . ( ) − ( ) = v x P x dx 即 y e e 因此，非齐次方程通解形式与齐次方程通解 相比，就是将：C u(x) = − p x dx u x e ( ) ( ) . ( ) = − P x dx y Ce →
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称 常数变易 现在是将齐次方程的通解y=CeJ 变易成y=(x)e P(x)dx 步骤3求y,并将yy代入线性非齐次方程 P(x)du P(x)dx y'=u(xe +u(x)l-p(xle
常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法称 常数变易法. = − P x dx y u x e ( ) ( ) ( ) ( )[ ( )] , ( ) ( ) + − = − P x d x − P x d x y u x e u x P x e . ( ) = − P x dx 现在是将齐次方程的通解 y Ce 变易成 步骤3 求 y , 并将 y, y 代入线性非齐次方程
将y和y代入原方程得u(x)e)=g(x) P(r)dx 积分得()=Q(x dx+C 因此,一阶线性非齐次微分方程的通解为: y=fe(xe/ P()d dx+Cle) 对应齐次 非齐次方程特 对于一阶线性非齐次微分方程的求解,有两种常用的方法: 种是在求出相应齐次方程解的基础上再用参数变易法求解; 另一种是直接记住用参数变易法导出的计算公式,将给定的 p(x),Q(x)代入公式,得到微分方程的通解yx)
将y和y代入原方程得 ( ) ( ) , ( ) u x Q x e dx C P x d x + = ( ) ( ), ( ) u x e Q x P x dx = − 积分得 因此，一阶线性非齐次微分方程的通解为: + = − P x d x P x d x y Q x e dx C e ( ) ( ) [ ( ) ] Ce e Q x e dx P x d x P x d x P x d x + = − ( ) − ( ) ( ) ( ) 对应齐次 方程通解 非齐次方程特解 对于一阶线性非齐次微分方程的求解，有两种常用的方法： 一种是在求出相应齐次方程解的基础上再用参数变易法求解； 另一种是直接记住用参数变易法导出的计算公式，将给定的 p(x),Q(x)代入公式，得到微分方程的通解y(x)
例1求方程y+-y sInx 的通解 sIn 解P(x) e(r) -f-ax[ sinx/-dx J e'x dx+C sl.eln+c =1(smxt+c)=1( cosx+C r
. 1 sin 求方程 的通解 x x y x y + = , 1 ( ) x P x = , sin ( ) x x Q x = = + − e dx C x x y e d x x d x x1 1 sin = + − e dx C x x e ln x sin ln x = ( xdx + C ) x sin 1 ( cos ). 1 x C x = − + 解例 1
例2如图所示,平行与y轴的动直线被曲 线y=f(x)与y=x(x≥0)截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积,求曲线f(x) 解「nf(x)=(x3-y) y=x ydx -x-y 两边求导得y+y=3x2 =f(x) 解此微分方程
例2 如图所示，平行与 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之 长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . y y = f (x) ( 0) 3 y = x x f (x) ( ) ( ) , 3 2 0 f x dx x y x = − = − x ydx x y 0 3 , 两边求导得 3 , 2 y + y = x 解 解此微分方程 x y o x P Q 3 y = x y = f (x)
3 Dsdc+j3x'edx Cex+3x2-6x+6, 由yl=0=0,得C=-6, 所求曲线为y=3(-2c+x2-2x+2)
+ = − y e C x e dx dx dx 2 3 3 6 6, 2 = + − + − Ce x x x | 0, 由 y x=0= 得 C = −6, 所求曲线为 3( 2 2 2). 2 = − + − + − y e x x x 2 y + y = 3x
P.3413.设曲线方程为y=f(x),按题意有 f(dt--xf(x)=x 两边求导,得:f(x)-f(x)f(x)=2x 2 经整理,得: dy y dx x 对应齐次方程的通解为:y=cx 非齐次方程的通解为:y=x(-4lnx+k,代入初始条件y(1)=1,得k=1, 因此,曲线弧方程为:y=x(1-4mx)
P.341 3. 设曲线方程为y=f(x),按题意有： ( ) , 2 1 ( ) 2 0 f t dt x f x x x − = 两边求导，得： ( ) 2 , 2 1 ( ) 2 1 f (x) − f x − xf x = x − = −4, x y dx dy 经整理，得： 对应齐次方程的通解为：y=cx 非齐次方程的通解为：y=x(-4lnx+k)，代入初始条件y(1)=1,得k=1， 因此，曲线弧方程为：y=x(1-4lnx)