第八章 第一节 二重积分的概念与性质
第八章 第一节 二重积分的概念与性质
、问题的提出 曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积×高 ∫(x,y 柱体体积=? 特点:曲顶 D 曲顶柱体
柱体体积=底面积×高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶. z = f (x, y) D １．曲顶柱体的体积 一、问题的提出
步骤如下: 先分割曲顶柱体的底, 并取典型小区域, z=f(x y) 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 y (512n) 顶柱体的体积, 曲顶柱体的体积=m/(51m)a ->0
步骤如下： 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 顶柱体的体积， x z y o D z = f (x, y) i • ( , ) i i 先分割曲顶柱体的底， 并取典型小区域， lim ( , ) . 1 0 i i n i i V f = = → 曲顶柱体的体积
2.求平面薄片的质量 设有一平面薄片,占有xOy面上的闭区域 D,在点(x,y)处的面密度为p(x,y),假定 p(x,y)在D上连续,平面薄片的质量为多少? 将薄片分割成若干小块, 取典型小块,将其近似 看作均匀薄片, △o 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量M=m>P(5,m)A -0
设有一平面薄片，占有xoy面上的闭区域 D，在点(x, y)处的面密度为( x, y)，假定 ( x, y)在D上连续，平面薄片的质量为多少？ ２．求平面薄片的质量 i • ( , ) i i 将薄片分割成若干小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量 lim ( , ) . 1 0 i i n i M i = = → x y o
二、二重积分的概念 定义设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函 数,将闭区域D任意分成n个小闭区域△ △a2,…,△on,其中△G1表示第i个小闭区域, 也表示它的面积,在每个A2上任取一点 (5,n), 作乘积f(4,m1)△G1 (i=1,2,,n), 并作和∑f(5,m)△o1
定 义 设 f ( x, y)是有界闭区域D 上的有界函 数，将闭区域D 任意分成n个小闭区域 1 ， 2 , ， n，其中 i 表示第i个小闭区域， 也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点 ( , ) i i ， 作乘积 ( , ) i i f i， (i = 1,2,,n)， 并作和 i i n i i f = ( , ) 1 ， 二、二重积分的概念
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零 时,这和式的极限存在,则称此极限为函数 f(x,y)在闭区域D上的二重积分, 记为f(x,y)dl, 即川/(,=lm(5,m)△a 积被积 被 分积分 积积积 区 变 表元分 域 达式 和
积分区域 如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 f ( x, y)在闭区域 D 上的二重积分， 记为D f (x, y)d ， 即D f (x, y)d i i ni i f = = → lim ( , ) 1 0 . 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素
对二重积分定义的说明: (1)在二重积分的定义中,对闭区域的划分是 任意的 (2)当f(x,y)在闭区域上连续时,定义中和式 的极限必存在,即二重积分必存在 当被积函数大于零时,二重积分是柱体的体积 当被积函数小于零时,二重积分是柱体的体积的 负值
(1)在二重积分的定义中，对闭区域的划分是 任意的. (2)当 f (x, y)在闭区域上连续时，定义中和式 的极限必存在，即二重积分必存在. 对二重积分定义的说明： 二重积分的几何意义 当被积函数大于零时，二重积分是柱体的体积． 当被积函数小于零时，二重积分是柱体的体积的 负值．
在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D, 则面积元素为 故二重积分可写为 I/(,y)do=//(,)dxdy
在直角坐标系下用平 行于坐标轴的直线网来划 分区域D， = D D f (x, y)d f (x, y)dxdy d = dxdy 故二重积分可写为 x y o D 则面积元素为
三、二重积分的性质 (二重积分与定积分有类似的性质) 性质1当为常数时, ∫(xydt=(x;y)da 性质2f(x,y)±g(x,y)d f(x,y)do±‖g(x,y)do
性质１ 当 k 为常数时， ( , ) ( , ) . = D D kf x y d k f x y d 性质２ D [ f (x, y) g(x, y)]d ( , ) ( , ) . = D D f x y d g x y d （二重积分与定积分有类似的性质） 三、二重积分的性质
性质3对区域具有可加性(D=D+D2) f(x,ydo=lf(x, y)do +lf(x,y)do. 性质4若a为D的面积,=1do=da 性质5若在D上f(xy)≤g(x,y) 则有f(xy)dasg(x,y)do 特殊地(xy)do≤f(x,y)do
性质３ 对区域具有可加性 ( , ) ( , ) ( , ) . 1 2 = + D D D f x y d f x y d f x y d 性质４ 若 为D的面积， 1 . = = D D d d 性质５ 若在D上 f (x, y) g(x, y), ( , ) ( , ) . D D f x y d g x y d 特殊地 ( , ) ( , ) . D D f x y d f x y d ( ) D = D1 + D2 则有
