第九节 周期为2的周期函数的傅时叶级数
第九节 周期为 2l 的周期函数的傅时叶级数
、以2为周期的傅氏级数 T=21,0=7=代入傅氏级数中 cosTon tb sin nox 定理设周期为的周期函数f(x)满足收敛 定理的条件则它的傅里叶级数展开式为 C(x)=0+2(an cos nux nTuC fO 2 tb n=1
一、以2L为周期的傅氏级数 T = 2l, . 2 T l = = 定理 定理的条件 则它的傅里叶级数展开式 为 设周期为 的周期函数 满足收敛 , 2l f (x) ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 l n x b l n x a a f x n n n + = + = ( cos sin ) 2 1 0 a n x b n x a n n + n + = 代入傅氏级数中
其中系数an,b为 x)cos =0 b (n=1,2,) (1)如果f(x)为奇函数则有 nTur b sin 2 其中系数b为b nu f( sin d,(n=1,2
其中系数an , bn为 ( )cos , ( 0,1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l a l l n ( )sin , ( 1,2, ) 1 = = − dx n l n x f x l b l l n (1)如果f (x)为奇函数, 则有 ( ) sin , 1 = = n n l n x f x b ( )sin , 2 0 dx l n x f x l b b l n n 其中系数 为 = (n = 1,2, )
(2)如果(x)为偶函数,则有 f(x) COS 其中系数a为a 2 nOr f(x)cos dx (n=0,1,2 证明令z=,-1≤x≤1→-元≤z≤元 设f(x)=f()=F(z)F(z)以2π为周期 F(x)= do+2(a, cos nz+b, sin nz 2
(2)如果f (x)为偶函数, 则有 cos , 2 ( ) 1 0 = = + n n l n x a a f x dx l n x f x l a a l n n = 0 ( )cos 2 其中系数 为 (n = 0,1,2, ) 证明 , l x z 令 = − l x l − z , ( ) ( ) F(z), lz f x f = 设 = F(z)以2为周期. ( cos sin ), 2 ( ) 1 0 a nz b nz a F z n n = + n + =
其中an F(z)cos nzdz, T=兀 F(sin nzdz T T = f(x) 2 +∑ cos x+b, sinx) n=1 其中an=,f(x)cos n70 xdx, nTC f(r)sin xdx
( cos sin ) 2 ( ) 1 0 x l n x b l n a a f x n n n + = + = ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = b F z nzdz a F z nzdz n 其中 n ( )sin . 1 ( )cos , 1 − − = = l l n l l n xdx l n f x l b xdx l n f x l 其中 a F(z) f (x) l x z = =
典型例题 例↑设∫(x)是周期为4的周期函数,它在-2,2) 0-2≤x<0 上的表达式为f(x) 将其展 k0≤x<2 成傅氏级数 解=2,满足狄氏充分条件 Todo+ kdx=k 2
二、典型例题 k − 2 x y − 4 0 2 4 例 1 设 f (x)是周期为 4 的周期函数,它在[−2,2) 上的表达式为 − = 0 2 0 2 0 ( ) k x x f x , 将其展 成傅氏级数. 解 l = 2, 满足狄氏充分条件. = + − 2 0 0 2 0 2 1 0 2 1 a dx kdx = k
a k- cos xdx =0,(n=1, 2,) 2 0 2 k k. sin-xdx (1-cosnπ) 2 nT 2k 当n=1,3,5, EnTt 0当n=2,4,6, k 2k T 3 5 f(x) (sin-+-sin +-sin 十 2兀 23 (-00<x<+oo;x≠0,+2,±4,…)
2 0 2 cos 2 1 xdx n k = 0, = 2 0 2 sin 2 1 xdx n bn k (1− cos ) = n n k , 0 2,4,6, 1,3,5, 2 = = = n n n k 当 当 ) 2 5 sin 5 1 2 3 sin 3 1 2 (sin 2 2 ( ) + + + = + k k x x x f x (− x +; x 0,2,4, ) an = (n = 1,2, )
例2将函数f(x)=10-x(5<x<15)展开成傅 氏级数 解作变量代换z=x-10, 5<x<15→-5<乙<5, f(x)=f(z+10)=-z=F(z)2 补充函数F(z)=-z(-5<z<5)的定义, 令F(-5)=5,然后将F(z)作周期延拓(=10) 这拓广的周期函数满足收敛定理的条件 展开式在(-5,5内收敛于F(z)
例 2 将函数 f (x) = 10 − x (5 x 15)展开成傅 氏级数. 解 作变量代换 z = x −10, 5 x 15 −5 z 5, f (x) = f (z + 10) = −z = F(z), 补充函数 F(z) = −z (−5 z 5)的定义, 令 F(−5) = 5, 然后将F(z)作周期延拓(T = 10) 这拓广的周期函数满足收敛定理的条件, 且展开式在(−5, 5)内收敛于F(z)
n=0,(n=0,1,2,…) F(z) b.=5「=xn2h 5 10 =(-1),(n=1,2,…) n7 F()10=(-195 nIck (-5<x<5) T 10-x10(-1)2 T SII (x-10) 5 10÷(-1)m smn—X (5<x<15) T n=1 5
x y F(z) − 5 0 5 10 15 a = 0, (n = 0,1,2, ) n = − 5 0 2 ( )sin 5 2 dz n z b z n , 10 ( 1) = − n n (n = 1,2, ) , 5 sin 10 ( 1) ( ) 1 = − = n n n z n F z (−5 z 5) = − − − = 1 ( 10)] 5 sin[ 10 ( 1) 10 n n x n n x . 5 sin 10 ( 1) 1 = − = n n x n n (5 x 15)
小结求傅氏级数的步骤 1。画图形,判断函数是否满足狄氏条件; 2。求出傅氏糸数 3。写出傅氏级数,并注明它在何处收敛于f(x); 值得注意的几点: 1.对于周期函数,奇函数的傅氏级数为正弦级数;偶函数 的傅氏级数为余弦级数 2。对于定义在(上的函数,展开前必须以2为周期拓 广函数的定义域; 3。对于定义在(0)上的函数,其拓广形式及傅里叶级数 的展开形式都不是唯一的。可以根据实际需要,将其展开成 正弦级数或余弦级数
小结 求傅氏级数的步骤： 1。画图形，判断函数是否满足狄氏条件； 2。求出傅氏糸数； 3。写出傅氏级数，并注明它在何处收敛于f(x); 1. 对于周期函数，奇函数的傅氏级数为正弦级数；偶函数 的傅氏级数为余弦级数。 2。对于定义在 上的函数，展开前必须以 为周期拓 广函数的定义域； (−l,l) 2l 3。对于定义在 上的函数，其拓广形式及傅里叶级数 的展开形式都不是唯一的。可以根据实际需要，将其展开成 正弦级数或余弦级数。 (0,l) 值得注意的几点：