第九章 无穷级数
第九章 无穷级数
本章用到有关数列极限的一些知识 1。单调有界数列必收敛; 如果一数列收敛于S,那么,其任一子数列均收敛于S。 lim lim 3。 S=S S,则 S=S n→00 n→00 4.设 lim lin n→∞0m=S 如果S≠S2,则数列Sn}发散;如果S1=S2,则数列Sn可能收 敛也可能发散。 lim x,=a>VE>0,N, n>N,Ix al< a
本章用到有关数列极限的一些知识 1。单调有界数列必收敛； 2。如果一数列收敛于S，那么，其任一子数列均收敛于S。 3。 n → lim , S2n = S n → lim , S2n+1 = S 则 n → lim Sn = S 4．设n → lim , Sn1 = S1 n → lim Sn2 = S2 如果 , S1 S2 则数列{ } Sn 发散；如果 , S1 = S2 则数列{ } Sn 可能收 敛也可能发散。 5. n → lim x = a N n N x − a n n 0, ,
、无穷级数的概念 无穷级数简称级数,它总是无穷项的和。 有限项之和不能称为级数 级数的定义 般项 ∑un=1+2+l3+…+u1n+ H-=1 如果级数中的每一项都是常数,称该级数为常 数项级数 级数的前n项的和称为级数的部分和: n 十L++L ∑ 其中 i=1 19 2=1+l2,S3=W1+W2+W3 Sn=W1+u2+…+L 2 152…5"n5 称为部分和数列,记作{sn}
一、无穷级数的概念 1. 级数的定义: = + + ++ + = n n un u1 u2 u3 u 1 一般项 其中 = = + + + = n i n u u un ui s 1 1 2 级数的前n项的和称为级数的部分和： , 1 u1 s = , 2 u1 u2 s = + , , s3 = u1 + u2 + u3 sn = u1 + u2 ++ un , 如果级数中的每一项都是常数，称该级数为常 数项级数 无穷级数简称级数,它总是无穷项的和。 有限项之和不能称为级数 称为部分和数列，记作 { }n , ,..., ,... s 1 2 n s s s
2.级数的收敛与发散 观察如下级数:1+++++ (1) 2 1)+(1-1)+…+(1-1) (2) 1+2+3+…+n+ (3) 1-1+1-1+…+1-1+ 级数(1),(2)有确定的值,分别为2和0,级数(3) (4)无确定的值。因此,称级数(1),(2)是收敛的,级 数(3),(4)是发散的。 对于给定的常数项级数,判定它是收敛还是发散?称为级数 收敛性的判定。判定级数的收敛性是研究级数的首要问题
2. 级数的收敛与发散: 对于给定的常数项级数，判定它是收敛还是发散？称为级数 收敛性的判定。判定级数的收敛性是研究级数的首要问题。 观察如下级数： + + + + + 2 −1 2 1 2 1 2 1 1 n (1−1) + (1−1) ++ (1−1) + 1+2+3++n+ 1−1+1−1++1−1+ （1） （2） （3） （4） 级数（1），（2）有确定的值，分别为2和0，级数（3）， （4）无确定的值。因此，称级数（1），（2）是收敛的，级 数（3），（4）是发散的
注意到: ∑ ∑ m n→00 因此,当n无限增大时,如果级数∑un的部分和 H-=1 数列sn有极限s,即 lim s=则称无穷级数 n→0 ∑un收敛,这时极限叫做级数∑un的和并 n-=1 写成S=1+l2+…+3+ 如果sn没有极限则称无穷级数∑n发散 1= 从而,常数项级数收敛(或发散)分mS存在或不存在
当n 无限增大时,如果级数 n=1 un 的部分和 数列 n s 有极限s , 即 s s n n = → lim 则称无穷级数 n=1 un 收 敛,这时极限s 叫做级数 n=1 un 的 和.并 写成s = u1 + u2 ++ u3 + 如果 n s 没有极限,则称无穷级数 n=1 un 发散. 从而，常数项级数收敛（或发散） n → lim 注意到： = n=1 n u n → lim n S 因此， n S 存在或不存在。 n → lim = n i i u 1 =
例1讨论等比级数(几何级数) ao ∑ag"=a+m+am2+…aqn+…(a≠0) 的收敛性 解 n=a+mg+ag+…+ag q q q
例 1 讨论等比级数(几何级数) = + + ++ + = n n n aq a aq aq aq 2 0 (a 0) 的收敛性. 解 如果q 1时 2 −1 = + + + + n sn a aq aq aq q a aqn − − = 1 , 1 1 q aq q a n − − − =
当当 1 时 img=o0∴. lim s=∞ 1→00 散 1→0 如果q=1时 当q=1时,s na→00 散 当q=-1时,级数变为 a-a+a-a+ ∴lims不存在 发散 n→)0 时,收 综上 等比级数是一个常 用的级数
当q 1时, lim = 0 → n n q q a sn n − = → 1 lim 当q 1时, = → n n limq = → n n lim s 收敛 发散 如果q = 1时 当q = 1时, 当q = −1时, sn = na → 发散 级数变为a − a + a − a + n不存在 n s → lim 发散 综上 = 当 时 发散 当 时 收敛 1 , 1 , 0 q q aq n n 等比级数是一个常 用的级数
例2判别无穷级数 +…的收敛性 1.33·5 (2n-1)·(2n+1) 解 L (2n-1)(2n+1)22n-12n+1 1 1.33.5 (2n-1)·(2n+1) 11 23235 22n-12n+1
例 2 判别无穷级数 + − + + + + (2 1) (2 1) 1 3 5 1 1 3 1 n n 的收敛性. 解 (2 1)(2 1) 1 − + = n n un ), 2 1 1 2 1 1 ( 2 1 + − − = n n (2 1) (2 1) 1 3 5 1 1 3 1 − + + + + = n n sn ) 2 1 1 2 1 1 ( 2 1 ) 5 1 3 1 ( 2 1 ) 3 1 (1 2 1 + − − = − + − + + n n
22n+1 ..lims,=lim(1 n→00 n->∞2 2n+12 级数收敛,和为 在用级数收敛的定义来判定级数的敛散性时, “拆项”是常用的方法之一
) 2 1 1 (1 2 1 lim lim + = − → → n s n n n ), 2 1 1 (1 2 1 + = − n , 2 1 = . 2 1 级数收敛, 和为 在用级数收敛的定义来判定级数的敛散性时， “拆项”是常用的方法之一
基本性质 性质1如果级数∑un收敛则∑kn,亦收敛 n=1 结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变 性质2设两收敛级数s=∑un=∑ n: =1 则级数∑(n±vn)收敛其和为s± n=1 结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减
三、基本性质 性质 1 如果级数 n=1 un 收敛,则 n=1 kun 亦收敛. 性质 2 设两收敛级数 = = n 1 un s , = = n 1 n v , 则级数 = 1 ( ) n n n u v 收敛,其和为s . 结论: 级数的每一项同乘一个不为零的常数, 敛散性不变. 结论: 收敛级数可以逐项相加与逐项相减
