第五节 对面积的曲面积分
第五节 对面积的曲面积分
概念的引入 实例若曲配是光滑的,它的面密度为连 续函数p(x,y,z),求它的质量 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动 20
一、概念的引入 若曲面 是光滑的, 它的面密度为连 续函数(x, y,z), 求它的质量. 实例 所谓曲面光滑 即曲面上各点处都 有切平面,且当点在 曲面上连续移动时, 切平面也连续转动
、对面积的曲面积分的定义 1.定义设曲面Σ是光滑的,函数f(x,y,z)在 上有界,把Σ分成小块△S;(S;同时也表示 第小块曲面的面积),设点(5,;,5为△S上 任意取定的点作乘积(5,,5)△S 并作和∑∫(5,m,9)AS,如果当各小块曲面 i=1 的直径的最大值九→>0时,这和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x,y,z)在曲配上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分
二、对面积的曲面积分的定义 设曲面 是光滑的, 函数 f (x, y,z)在 上有界, 把 分成n 小块Si （Si 同时也表示 第i 小块曲面的面积）,设点( , , ) i i i 为Si 上 任意取定的点,作乘积 ( , , ) i i i f Si , 并作和= n i i i i f 1 ( , , ) Si , 如果当各小块曲面 的直径的最大值 → 0时, 这和式的极限存在, 则称此极限为函数 f ( x, y,z)在曲面 上对面积 的曲面积分或第一类曲面积分. 1.定义
记为Jf(x,y,)△ 即』(x,=lm∑/(5,n,5A 其中f(x,y,z叫被积函数,∑叫积分曲面 2.对面积的曲面积分的性质 若Σ可分为分片光滑的曲面Σ及∑2,则 f(x,y,a)ds=f(x, y, z)dS+ fo x,y,)dS
即 f (x, y,z)dS i i i n i = f i S = → lim ( , , ) 1 0 记为 f (x, y,z)dS. f (x, y,z)dS = + 1 2 f (x, y,z)dS f (x, y,z)dS. 2.对面积的曲面积分的性质 若可分为分片光滑的曲面1及2 , 则 其 中 f (x, y,z)叫被积函数，叫积分曲面
三、计算法 按照曲面的不同情况分为以下三种: 若曲面∑:z=z(x,y 则f(x,y,Z)S SIX,,2(x,D)/1+21+zy dxdy;
三、计算法 [ , , ( , )] 1 ; 2 2 f x y z x y z z dxdy Dxy x y + + = f (x, y,z)dS 1. 若曲面 : z = z(x, y) 则 按照曲面的不同情况分为以下三种：
5某甲里E:1.=1(x) 则∫∫(x,y,)S= fLx,y(x, ),4k 1+y+y dxda 3.若曲面∑:x=x(y,z) 则∫f(x,y,)S= ∫x(y,z),y,Z1+ 2 r+x
[ , ( , ), ] 1 ; 2 2 f x y x z z y y dxdz Dxz x z + + = f (x, y,z)dS 2. 若曲面 : y = y(x,z) 则 [ ( , ), , ] 1 . 2 2 f x y z y z x x dydz Dyz y z + + = f (x, y,z)dS 3. 若曲面 ： x = x( y,z) 则
例1计算∫(x+y+z)ds,其忸为平面 y+z=5被柱面x2+y2=25所截得的部分 解积分曲面 Σ:z=5-y 投影域: Dy={(x,y)|x2+y2≤25}
计算 (x + y + z)ds, 其中 为平面 y + z = 5被柱面 25 2 2 x + y = 所截得的部分. 例 1 积分曲面 ：z = 5 − y , 解 投影域 ： {( , ) | 25} 2 2 Dxy = x y x + y
dS=\1+x+zy dxdy =√1+0+(-1)2c=√2d, 故[(x+y+z)s 2(x+y+5-p)dd=2(5+x) v2 def (5+r cos O) rdr =125V2T
故 (x + y + z)ds = + + − Dxy 2 (x y 5 y)dxdy = + Dxy 2 (5 x)dxdy d r rdr = + 5 0 2 0 2 (5 cos ) = 125 2. dS z z dxdy x y 2 2 = 1+ + dxdy 2 = 1+ 0 + (−1) = 2dxdy
例2计算「xyz|ds, 其中∑为抛物面z=x2+y2(0≤x≤1) 解依对称性知: 抛物面z=x2+y2 关于z轴对称, 被积函数xyz|关于 xOz、yOz坐标面对称 0.5 有=4成立,(21为第一卦限部分曲面) ∑
例 2 计算 xyz dS | | , 其中 为抛物面 2 2 z = x + y （0 z 1）. 解 依对称性知： 被积函数| xyz |关于 xoz、 yoz 坐标面对称 关于 轴对称， 抛物面 z z x y 2 2 = + 有 = 1 4 成立，(1为第一卦限部分曲面) x y z
1+x+2 2 y dxdy =1+(2x)2+(2y)2tp 原式=xyz|ds=4 xyz ds ∑ =4xu(x2+y)1+(2x)2+(2y) 其中Dy={(x,y)|x2+y≤1,x≥0,y≥0}
dS z z dxdy x y 2 2 = 1+ + x y dxdy 2 2 = 1+ (2 ) + (2 ) 原式 xyz dS = | | xyz dS = 1 4 xy x y x y dxdy Dxy 2 2 2 2 = 4 ( + ) 1+ (2 ) + (2 ) 其中 {( , )| 1 2 2 D xy = x y x + y , x 0, y 0}