第七节平面及其方程
第七节 平面及其方程
本节必须掌握的问题: 。平面方程←>三元一次方程Ax+B+Cx+D=0 二。平面方程常用的四种形式:点法式(重要), 般式(重要) 点式,截距式 三。如何表示特殊位置的平面方程? 四。两平面的位置关系:相交(包括垂直),平行 或重合;两平面的夹角公式;空间一点到平面的距 离公式。 五。在讨论平面的问题时,平面的法线向量是特别 重要的。平面的法线向量的表示形式不是唯一的, 通常用最简形式来表示。比如,XOY平面的法线 向量常表示成{0,0,1}
本节必须掌握的问题： 一。平面方程 三元一次方程 二。平面方程常用的四种形式：点法式（重要）， 一般式（重要）， 三点式，截距式。 三。如何表示特殊位置的平面方程？ 四。两平面的位置关系：相交（包括垂直），平行 或重合；两平面的夹角公式；空间一点到平面的距 离公式。 五。在讨论平面的问题时，平面的法线向量是特别 重要的。平面的法线向量的表示形式不是唯一的， 通常用最简形式来表示。比如，XOY平面的法线 向量常表示成{0，0，1}。 Ax + By +Cz + D = 0
、平面的点法式方程 如果一非零向量垂直 于一平面,这向量就叫做 该平面的法线向量 法线向量的:垂直于平面内的任一向量 已知={A,B,C},M0(x0yn,z) 设平面上的任一点为M(x,y,z) 必有MM⊥nM0Mn=0
x y z o M0 M 如果一非零向量垂直 于一平面，这向量就叫做 该平面的法线向量． 法线向量的特征： 垂直于平面内的任一向量． 已知 n = {A, B, C}, ( , , ), 0 0 0 0 M x y z 设平面上的任一点为 M(x, y, z) M M n 必有 0 ⊥ M0M n = 0 一、平面的点法式方程 n
MoM=x-xo,y-y0, z-z01 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-z0)=0 平面的点法式方程 其中法向量n={A,B,C},已知点(x0,y0,) 平面上的点都满足上列方程,不在平面上 的点都不满足上列方程
{ , , } 0 0 0 0 M M = x − x y − y z − z A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 平面的点法式方程 平面上的点都满足上列方程，不在平面上 的点都不满足上列方程。 其中法向量 n = {A,B,C}, 已知点 ( , , ). 0 0 0 x y z
二、平面的一般方程 由平面的点法式方程 A(x-x0)+B(y-y0)+C(z-0)=0 =Ax+By+Cz-(Axo+ Byo +Czo)=0 D 0平面的一般方程 法向量n={4BC 由此可以证明:平面 对应
由平面的点法式方程 A(x − x0 ) + B( y − y0 ) + C(z − z0 ) = 0 Ax + By + Cz − (Ax0 + By0 + Cz0 ) = 0 = D Ax + By + Cz + D = 0 平面的一般方程 法向量 n = {A,B,C}. 二、平面的一般方程 由此可以证明：平面与三元一次方程一一对应
平面一般方程的几种特殊情况: (1)D=0,平面通过坐标原点; D=0,平面通过x轴 (2)A=0 D≠0,平面平行于x轴; 类似地可讨论B=0,C=0情形 )A卡B=0,平面平行于y坐标面 类似地可讨论A=C=0,B=C=0情形
平面一般方程的几种特殊情况： (1) D = 0, 平面通过坐标原点； (2) A = 0, = 0, 0, D D 平面通过 x 轴； 平面平行于 x 轴； (3) A = B = 0, 平面平行于 xoy 坐标面； 类似地可讨论 A = C = 0, B = C = 0 情形. 类似地可讨论 B = 0, C = 0 情形
口答P4234 P。4238。 。平面的三点式方程 设M1(x12y2=1),M2(x2,y2,=2),M3(x3y32=3) 是平面上的已知三点,求平面方程。 解 a=x x2y2-y122-21} b={x3-x1,y3-n1,23-21 k n=a×b y2-y1 x1y3-y123
设 是平面上的已知三点，求平面方程。 { , , } { , , } 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 b x x y y z z a x x y y z z = − − − = − − − → 解： → 口答 P.423 4. P。423 8。 三。平面的三点式方程 → → → n = a b 3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 x x y y z z x x y y z z i j k − − − = − − − ( , , ), ( , , ), ( , , ) 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 M x y z M x y z M x y z
在平面上任取一点Px,y)由n⊥MP 得所求平面的方程 x-x y-y 0 4x-2y+1 1-23-(-1)-2-4=-34 0-22-(-1)3-4 23 =14(x-2)+9(y+1)-(2-4)=0
3 1 3 1 3 1 2 1 2 1 2 1 1 1 1 x x y y z z x x y y z z x x y y z z − − − − − − − − − = 得所求平面的方程 = 0 在平面上任取一点 P(x, y,z) 由 → → n ⊥ M1 P 2 3 1 3 4 6 2 1 4 0 2 2 ( 1) 3 4 1 2 3 ( 1) 2 4 2 1 4 − − − − − + − = − − − − − − − − − − x − y + z − x y z =14(x − 2) + 9( y +1) − (z − 4) = 0
四。平面的截距式方程 将(a00)(0b0)(00c)代入平面的一般方程, Ax+By+Cz+D=0得平面的截距式方程 × 五。两平面的位置关系 BB ≠重合,4B D 平行: A B C D 相交:A:B1:C1≠A:B2:C2垂直:A4+BB2+CC2=0
四。平面的截距式方程 将 (a,0,0),(0,b,0),(0,0,c) 代入平面的一般方程， Ax+By+Cz+D=0 得平面的截距式方程： + + =1 c z b y a x 五。两平面的位置关系 平行： 2 1 2 1 2 1 C C B B A A = = 2 1 D D = 2 1 2 1 2 1 C C B B A A 重合： = = 2 1 D D 相交： 1 1 1 2 2 2 A : B :C A : B :C 垂直： A1 A2 + B1 B2 +C1 C2 = 0
六。两平面的夹角(指锐角)cosO= 1A,A2+B,B2+CC2 √42+B2+C2√2+B2+C2 七。空间一点到平面的距离d= Axo+ Byo+Czo+D A2+B2+C2 3x-7y+52-4=0 2x+9y-62-121=0 y 3z-4=0 在讨论平 法线向量特别重要
六。两平面的夹角（指锐角） 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 2 cos A B C A B C A A B B C C + + + + + + = 七。空间一点到平面的距离 2 2 2 0 0 0 A B C Ax By Cz D d + + + + + = 3x − 7y + 5z − 4 = 0 2x + 9y − 6z −121= 0 x + y −3z − 4 = 0 在讨论平面问题时，平面的法线向量特别重要