第三章条的液碧 第三章习题课 本章的 目的与 要求 本章的 一、主要内容 重点与 难点 本章的 二、典型例题 复习指 三、测验题 后退 出 第1页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 1 页 第三章 习题课 一、主要内容 二、典型例题 三、测 验 题 第三章 导数的应用 后退 目录 主 页 退 出 本章的 重点与 难点 本章的 目的与 要求 本章的 复习指 导
第三章条的液碧 1、拉格朗日中值定理 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数f(x) |在闭区间a上连续在开区间ab)内可导那 要求 末在(a,b)内至少有一点(a<ξ<b),使等式 的重 点与 难点 ∫(b)-f(a)=f(ξ)(b-a)成立. 有限增量公式 4y=∫(x+x)Ax(0<6<1 增量Ay的精确表达式 后退 第2页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 2 页 1、拉格朗日中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数f (x) 在闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那 末在(a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. ( ) (0 1). y = f x0 +x x 增量y的精确表达式. 有限增量公式. 后退 目录 主 页 退 出 第三章 导数的应用 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第三章条的液碧 推论 的目 如果函数f(x)在区间/上的导数恒为零 叫那末(x)在区间上是一个常数 本章 的重 点与 难点 的复 习指 后退 第3页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 3 页 推论： ( ) . ( ) , 那末 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I f x I 后退 目录 主 页 退 出 第三章 导数的应用 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第三章条的液碧 2、洛必达法则 1°.型及型未定式 0 ● 的目 定义这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 在求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则 点与 叫29.0.∞,∞-∞,0,1,0型未定式 的复 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型(0,(∞) 注意:洛必达法则的使用条件 后退 第4页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 4 页 2、洛必达法则 定义 这种在一定条件下通过分子分母分别求导再 求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则. 型及 型未定式 0 0 1 . 0 2 0 . 0 , − ,0 0 ,1 , 0型未定式 关键:将其它类型未定式化为洛必达法则可解决 的类型 ), . 0 0 ( ( ) 注意：洛必达法则的使用条件. 后退 目录 主 页 退 出 第三章 导数的应用 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第三章条的液碧 3、导数的应用 ()函数单调性的判定法 的目 定理设函数y=f(x)在ab上连续,在a,bi 可导 如果在(nbr(x)>0,那末函数=f(x在 1a,b上单调增加; 2如果在(a,b内f(x)<0,那末函数y=f(x)在 a,b上单调减少 后退 第5页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 5 页 3、导数的应用 定理 [ , ] . 2 ( , ) ( ) 0 ( ) [ , ] 1 ( , ) ( ) 0 ( ) . ( ) [ , ] ( , ) 0 0 上单调减少 如果在 内 ，那末函数 在 上单调增加； 如果在 内 ，那末函数 在 可 导 设函数 在 上连续，在 内 a b a b f x y f x a b a b f x y f x y f x a b a b = = = (1) 函数单调性的判定法 后退 目录 主 页 退 出 第三章 导数的应用 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第三章条的液碧 (2)函数的极值及其求法 定义设函数f(x)在区间(a,b内有定义,x是(a,b内 解的一个点 如果存在着点x的一个邻域对于这邻域内的 任何点x,除了点x外,f(x)f(x0)均成立,就称 f(x)是函数f(x)一个极小值 士页下页返回 第6页
上页 下页 返回 第 6 页 ( ) ( ) . , , ( ) ( ) , , ( ) ( ) ; , , ( ) ( ) , , , ( ) ( , ) , ( , ) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 是函数 的一个极小值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 是函数 的一个极大值 任何点 除了点 外 均成立 就称 如果存在着点 的一个邻域 对于这邻域内的 的一个点 设函数 在区间 内有定义 是 内 f x f x x x f x f x x f x f x x x f x f x x f x a b x a b 定义 (2) 函数的极值及其求法 后退 目录 主 页 退 出 第三章 导数的应用 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
章液 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 |值,极小值可能大于极大值 定理(必要条件)设f(x)在点x处具有导数,且 当在处取得极值那末必定f(x)=0. 盟定义使导数为零的点即方程/(x)=0的实根叫 做函数f(x)的驻点 驻点和不可导点统称为临界点 后退 士页下页返回 第7页
上页 下页 返回 第 7 页 设 f (x)在 点x0 处具有导数,且 在x0处取得极值,那末必定 ( 0 ) 0 ' f x = . 定理(必要条件) 定义 ( ) . ( ( ) 0 ) 做函数 的驻点 使导数为零的点 即方程 的实根 叫 f x f x = 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值的点称为极值点. 极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小 值,极小值可能大于极大值. 驻点和不可导点统称为临界点. 后退 目录 主 页 退 出 第三章 导数的应用 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第三章条的液碧 定理(第一充分条件) (1)如果x∈(xn-6,),有∫(x)>0;而x∈(x,x+6), 有f(x)0,则f(x)在x处取得极小值 細(3)如果当x∈(x-6,x)及x∈(x,x+6)时,∫(x)符 难点 号相同,则f(x)在x处无极值 的复 定理(第二充分条件)设f(x)在x处具有二阶导数, 且∫(x)=0,f(x)≠0,那末 1)当∫(x)0时,函数f(x)在x处取得极小值 第8页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 8 页 (1)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + , 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在 0 x 处取得极大值. (2)如果 ( , ), x x0 − x0 有 ( ) 0; ' f x 而 ( , ) x x0 x0 + 有 ( ) 0 ' f x ，则 f (x)在x0处取得极小值. (3)如果当 ( , ) x x0 − x0 及 ( , ) x x0 x0 + 时, ( ) ' f x 符 号相同,则 f ( x)在x0处无极值. 定理(第一充分条件) 设 f (x)在 0 x 处具有二阶导数, 且 ( ) 0 0 ' f x = , ( ) 0 0 '' f x , 那末 (1)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f (x)在x0 处取得极大值; (2)当 ( 0 ) 0 '' f x 时, 函数 f (x)在x0 处取得极小值. 定理(第二充分条件) 后退 目录 主 页 退 出 第三章 导数的应用 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
第三章条的液碧 求极值的步骤: (1)求导数f(x); 的与 要求 a(2)求驻点,即方程f(x)=0的根; 的重 (3)检查f(x)在驻点左右的正负号或f(x)在 翻该点的符号,判断极值点 习指 (4)求极值 后退 士页下页返回 第9页
上页 下页 返回 第 9 页 求极值的步骤: (1) 求导数 f (x); (2) 求驻点，即方程 f (x) = 0的根; , ; (3) ( ) ( ) 该点的符号 判断极值点 检查 f x 在驻点左右的正负号或 f x 在 (4) 求极值. 后退 目录 主 页 退 出 第三章 导数的应用 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导
章的液 (3)最大值、最小值问题 步骤: 的目 1求驻点和不可导点; 2求区间端点及驻点和不可导点的函数值比 较大小那个大那个就是最大值那个小那个就 是最小值; 的复 注意:如果区间内只有一个极值则这个极值就 是最值、最大值或最小值) 后退 第10页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 10 页 步骤: 1.求驻点和不可导点; 2.求区间端点及驻点和不可导点的函数值,比 较大小,那个大那个就是最大值,那个小那个就 是最小值; 注意:如果区间内只有一个极值,则这个极值就 是最值.(最大值或最小值) (3) 最大值、最小值问题 后退 目录 主 页 退 出 第三章 导数的应用 本章 的重 点与 难点 本章 的目 的与 要求 本章 的复 习指 导