第二讲线性子空间 一、线性子空间的定义及其性质 1.定义:设是数域K上的线性空间V的一个非空子集合,且对V已有的线 性运算满足以下条件 (1)如果Xy∈M,则X+ye (2)如果κ∈Ⅵ,k∈k,则k∈Ⅵ, 则称Ⅵ是V的一个线性子空间或子空间。 2.性质:(1)线性子空间Ⅵ与线性空间V享有共同的零元素; (2)Ⅵ中元素的负元素仍在Ⅵ中。 E证明(1)0x=0 ∵x∈V1∈p v中的零元素也在Ⅵ中,Ⅵ与V享有共同的零元素。 (2)Vx∈H1 (-1)=(-为∈V1封闭性 中元素的负元素仍在ⅵ中 3.分类:子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间 平凡子空间:{0和V本身 非平凡子空间:除以上两类子空间 4.生成子空间:设XX:Mm为V中的元素,它们的所有线性组合的集合 kx|k∈K,i=1,2…m 也是V的线性子空间,称为由X、:‰m生(张)成的子空间,记
第二讲 线性子空间 一、线性子空间的定义及其性质 1. 定义：设 V1是数域 K 上的线性空间 V 的一个非空子集合，且对 V 已有的线 性运算满足以下条件 （1） 如果 x、y V1，则 x＋y V1； （2） 如果 x V1，k K，则 kx V1， 则称 V1是 V 的一个线性子空间或子空间。 2. 性质：（1）线性子空间 V1与线性空间 V 享有共同的零元素； （2）V1中元素的负元素仍在 V1中。 [证明]（1） 0x = 0 1 x V V V 中的零元素也在 V1中，V1与 V 享有共同的零元素。 （2） 1 x V （－1）x=(－x) V1 封闭性 V1中元素的负元素仍在 V1中 3. 分类：子空间可分为平凡子空间和非平凡子空间 平凡子空间：{0}和 V 本身 非平凡子空间：除以上两类子空间 4. 生成子空间：设 x1、x2、·、xm为 V 中的元素，它们的所有线性组合的集合 1 | , 1,2 m i i i i k x k K i m = = 也是 V 的线性子空间，称为由 x1、x2、·、xm生（张）成的子空间，记
为∠(X、:m或者SamⅪ、X2:Mm)。 若X、2:Mm线性无关,则 dm(kn、X2.:Xm)=m 5.基扩定理:设Ⅵ是数域K上的线性空间的一个m维子空间,X、X 始是Ⅵ1的一个基,则这m个基向量必可扩充为Ⅵ的一个基;换 言之,在Ⅵ中必可找到m个元素m+1、m+:,使得X X2:始成为W的一个基。这n-m个元素必不在Ⅵ中。 二、子空间的交与和 1定义:设Ⅵ、V是线性空间∨的两个子空间,则 nn2={x|x∈V1,x∈V2 V+V2={x+ylx∈V1,y∈l2} 分别称为Ⅵ和的交与和。 2定理:若和M是线性空间V的两个子空间,则∩2,收+收均为v的 子空间 证明(1)Vx,y∈h∩V2 +y∈v1x+y∈V2 V∩v2 vx∈∩V2k∈K kx∈V, 2 v∩v2 V∩v2是v的一个线性子空间 (2)Vx,x2∈H1Vy1,y2∈V2 (x1+y)∈V1+V2(x2+y2)∈V1+V2(x1+x2)∈V1(y1+y2)∈2
为 L(x1、x2、·、xm)或者 Span(x1、x2、·、xm)。 若 x1、x2、·、xm线性无关，则 dim{L(x1、x2、·、xm)}=m 5. 基扩定理：设 V1是数域 K 上的线性空间 Vn 的一个 m 维子空间，x1、x2、·、 xm 是 V1的一个基，则这 m 个基向量必可扩充为 Vn 的一个基；换 言之，在 Vn 中必可找到 n-m 个元素 xm+1、xm+2、·、xn，使得 x1、 x2、·、xn 成为 Vn 的一个基。这 n-m 个元素必不在 V1中。 二、子空间的交与和 1.定义：设 V1、V2是线性空间 V 的两个子空间，则 V V x x V x V 1 2 1 2 = | , V V x y x V y V 1 2 1 2 + = + | , 分别称为 V1和 V2的交与和。 2.定理：若 V1和 V2是线性空间 V 的两个子空间，则 V V 1 2，V1＋V2均为 V 的 子空间 [证明]（1） 1 2 x y V V , 1 x y V + 2 x y V + 1 2 + x y V V 1 2 x V V k K 1 kx V 2 kx V 1 2 kx V V V V 1 2 是 V 的一个线性子空间。 （2） 1 2 1 x x V , 1 2 2 y y V , 1 1 ( ) x y + + V V 1 2 2 2 ( ) x y + + V V 1 2 1 2 ( ) x x + V1 1 2 ( ) y y + V2
(x1+y)+(x2+y2)=(x1+x2)+(y+y2)∈H1+2 Vk∈Kkx1∈Vk1∈H2 k(x, +y)=k,+ky Ek+v V+V2是V的子空间。 4.维数公式:若Ⅵ、是线性空间V的子空间,则有 dim(Vi+Ve)+ dim(Vin Va)= dim+ dimv2 证明设am= nz dime=1n2 dim(Vin vi=m 需要证明dim+Vy=n1+n2-m 设Ⅺ、:期m是v∩v的一个基,根据基扩定理 存在1)y、y:m-m∈,使Ⅺ、炤:m、y、y:m1-m成为的 个基; 2)z1、2;zmn2-m∈v,使Ⅺ、、;‰m、z1、z2;zm2-m 成为的一个基; 考察焖:期my、y:‰n1-mz、z2:Zn2-m 若能证明它为Ⅵ+的一个基,则有dim(v+V)=n+n2-m 成为基的两个条件 1)它可以线性表示M+V中的任意元素 2)线性无关 显然条件1)是满足的,现在证明条件2),采用反证法。 假定上述元素组线性相关,则存在一组不全为0的数k、k2:km卩2、p2 pn-m、q、q2:qn2-m使 ∑kx+∑p+∑q=1=0
1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) ( ) x y x y x x y y V V + + + = + + + + k K 1 1 kx V 1 2 ky V 1 1 1 1 1 2 k x y kx ky V V ( ) + = + + + V V 1 2 是 V 的子空间。 4. 维数公式：若 V1、V2是线性空间 V 的子空间，则有 dim(V1+V2)+ dim(V1 V2)= dimV1+ dimV2 [证明] 设 dimV1=n1, dimV2=n2, dim(V1 V2)=m 需要证明 dim(V1+V2)＝n1＋n2－m 设 x1、x2、·、xm是 V1 V2的一个基，根据基扩定理 存在 1）y1、y2、·、yn1－m V1，使 x1、x2、·、xm、y1、y2、·、yn1－m成为 V1的一 个基； 2）z1、z2、·、zn2－m V2，使 x1、x2、·、xm、z1、z2、·、zn2－m 成为 V2的一个基； 考察 x1、x2、·、xm、y1、y2、·、yn1－m、z1、z2、·、zn2－m， 若能证明它为 V1+V2的一个基，则有 dim(V1+V2)＝n1＋n2－m。 成为基的两个条件： 1） 它可以线性表示 V1+V2中的任意元素 2） 线性无关 显然条件 1）是满足的，现在证明条件 2），采用反证法。 假定上述元素组线性相关，则存在一组不全为 0 的数 k1、k2、·、km、p1、p2、·、 pn1－m、q1、q2、·、qn2－m使 0 i i i i i i k x p y q z + + =
令=∑q=∈V2,则 ∑kx+∑Py=-∈V2但EH∩V2 根据基扩定理∑kx∈H∩V2yEn2,;期y、2 yn-m成为Ⅵ的一个基 同理:q1=0k=0 这与假设矛盾,所以上述元素线性无关,可作为M+V的一个基。 dim(viVa)=ni+ n2-m 子空间的直和 1.定义:设V、V是线性空间V的子空间,若其和空间Ⅵ+V中的任一元素 只能唯一的表示为Ⅵ的一个元素与v的一个元素之和,即 vx∈V1+V2,存在唯一的y∈、z∈V2,使x=y+,则称V+V2 为佐与的直和,记为V⊕V2 子空间的直和并不是一种特殊的和,仍然是 VI+V2=x+ylxEV, yEV2) 反映的是两个子空间的关系特殊。 2.定理:如下四种表述等价 (1)V+V2成为直和VH2 (2)V∩v2=0} (3)dim(Vi+V2)=dimWit dimv2 (4)、2:X为Ⅵ的基,yy:y为的基,则X、X2:X
令 i i 2 z q z V = ，则 i i i i 2 k x p y z V + = − 但 V V 1 2 根据基扩定理 i i k x V V 1 2 i y V V 1 2 ， x1、x2、·、xm、y1、y2、·、 yn1－m成为 V1的一个基 0 i = p 同理： 0 i q = 0 i k = 这与假设矛盾，所以上述元素线性无关，可作为 V1+V2的一个基。 dim(V1+V2)＝n1＋n2－m 三、子空间的直和 1. 定义：设 V1、V2是线性空间 V 的子空间，若其和空间 V1+V2中的任一元素 只 能 唯一 的表 示为 V1 的一 个 元素 与 V2 的 一个 元素 之和 ， 即 1 2 + x V V ，存在唯一的 1 y V 、 2 z V ，使 x y z = + ，则称 V V 1 2 + 为 V1与 V2的直和，记为 V V 1 2 子空间的直和并不是一种特殊的和，仍然是 V V x y x V y V 1 2 1 2 + = + | , ， 反映的是两个子空间的关系特殊。 2. 定理：如下四种表述等价 （1） V V 1 2 + 成为直和 V V 1 2 （2） V V 1 2 =0 （3）dim(V1+V2)=dimV1+ dimV2 （4）x1、x2、·、xs为 V1的基，y1、y2、·、yt为 V2的基，则 x1、x2、·、xs
y、y2:y为V+V2的基 证明(2)和(3)的等价性显然 采用循环证法:(1)→(2)→(4)→(1) (1)→(2):已知V+V2=H⊕V2 假定x≠0且x∈V1∩V2,则 0=0+0=x+(-x) 0∈1+V2,0∈V1,0∈V,,x∈V1,-x∈V 说明对0元素存在两种分解这与直和的定义矛盾所以假定不成立 在V∩v2中只能存在0元素,即nv2={0} (2)→(4):已知H∩V2=0 成为基的两个条件 1)可以线性表示+v中的任意元素 2)线性无关 x∈V、y∈H2,存在如下坐标表示式 sx ∑ x+y可表示v+v中的任元素, X、X:Xy地:y可表示v+v中的任意元素。 假设X、Ⅺ、X、y、y、y线性相关,即存在不全为0的 52…,3,n22,…,n1使 5x+∑my
y1、y2、·、yt为 V V 1 2 + 的基 [证明]（2）和（3）的等价性显然 采用循环证法：（1） → （2） → （4） → （1） （1） → （2）：已知 V V 1 2 + ＝V V 1 2 假定 x 0 且 1 2 x V V ，则 0 0 0 ( ) = + = + − x x 1 2 0 + V V ， 1 0V ， 2 0V ， 1 x V ， 2 − x V 说明对 0 元素存在两种分解，这与直和的定义矛盾，所以假定不成立， 在 V V 1 2 中只能存在 0 元素，即 V V 1 2 =0 （2） → （4）：已知 0 1 2 V V = 成为基的两个条件： 1） 可以线性表示 V1+V2中的任意元素 2）线性无关 1 x V 、 2 y V ，存在如下坐标表示式 1 s i i i x x = = 1 t i i i y y = = x y + 可表示 V1+V2中的任一元素， x1、x2、·、xs、y1、y2、·、yt可表示 V1+V2中的任意元素。 假设 x1、x2、···、xs、y1、y2、···、yt 线性相关，即存在不全为 0 的 1 2 1 2 , , , , , , , s t 使 1 s i i i x = 1 t i i i y = + ＝0
而x=25x∈Hy=∑ny∈V2 ∑5 x∈1∩V2 0 同理7=2=…==0 这与其线性相关性矛盾,X、X:Xy地:y线性无关 Ⅺ、:Xs、y、y2:y可作为V1+V2的基 (4)→(1):已知(4)成立 在Ⅺ、X2:X、y、y2:y这组基下 x∈V1+V2存在唯一的坐标5152,…,5,1,n2,…使 X=∑5x+∑ny xEH∑ny∈n2 V+V2成为直和 作业:P25-26,11、12、13
而 1 s i i i x x = = V1 1 t i i i y y = = V2 1 s i i i x = ＝－y V2 1 s i i i x = V V 1 2 1 s i i i x = ＝0 1 2 0 = = = = s 同理 1 2 0 = = = = t 这与其线性相关性矛盾，x1、x2、·、xs、y1、y2、·、yt线性无关 x1、x2、·、xs、y1、y2、·、yt可作为 V V 1 2 + 的基 （4） → （1）：已知（4）成立 在 x1、x2、·、xs、y1、y2、·、yt这组基下 1 2 + x V V 存在唯一的坐标 1 2 1 2 , , , , , , , s t 使 x＝ 1 s i i i x = 1 t i i i y = + 1 s i i i x = V1 2 1 t i i i y V = V V 1 2 + 成为直和 作业：P25－26，11、12、13