浙江大学：《数值分析》课程PPT教学课件（双语版）第九章 常微分方程数值解 Numerical Methods for Ordinary Differential Equations §5 微分方程组与高阶方程 Systems of Differential Equations and Higher-Order Equations §6 边值问题的数值解 Boundary-Value Problems

§5微分方程组与高阶方程 / Systems of Differential Equations and Higher-Order Equations * 阶微分方程组 y1(x)=f(x,y1(x),…,ymn(x) IVP的一般形式为: (x)=fm(x,y,(x),,ym(x) 初值y1(x0)=y,y2(xn)=y2,…,yn(xn)=ym yI 将问题记作向量形式,令:j f=|:5 ∫(x)=f(x, 1(x)= 前述所有公式皆 适用于向量形式

§5 微分方程组与高阶方程 /* Systems of Differential Equations and Higher-Order Equations */ ➢ 一阶微分方程组 IVP的一般形式为：  =  = ( ) ( , ( ), ... , ( )) ... ... ... ( ) ( , ( ), ... , ( )) 1 1 1 1 y x f x y x y x y x f x y x y x m m m m 初值 0 0 0 2 0 2 0 y1 (x0 ) y1 , y (x ) y , ... , ym (x ) ym = = = 将问题记作向量形式，令：             =             =             = 0 0 1 0 1 1 . . . , . . . , . . . m m m y y y f f f y y y    =  = 0 0 ( ) ( ) ( , ) y x y y x f x y 前述所有公式皆 适用于向量形式

85 Systems of DE's and Higher-Order equations >高阶微分方程 (n) (n-1) J f(x,y,y,…,y y(x0)=a0,y(x0) (n-1) 化作一阶微分方程组求解。 引入新变量y=y,y2=y,…,yn=ym 初值条件为: y1(x0)=a yn=f(x,y1,…,yn) 0

➢ 高阶微分方程 §5 Systems of DE’s and Higher-Order Equations =  = = =  - - - 0 1 ( 1) 0 0 0 1 ( ) ( 1) ( ) , ( ) , ... , ( ) ( , , , ... , ) n n n n y x a y x a y x a y f x y y y 化作一阶微分方程组求解。 引入新变量 ( 1) 1 2 , , ... , - = =  = n n y y y y y y         =  =  = - ( , , ... , ) . . . 1 1 1 2 n n n n y f x y y y y y y 初值条件为： 0 1 2 0 1 1 0 0 ( ) ... ( ) ( ) = - = = n x an y y x a y x a

§6边值问题的数值解 /* Boundary- Value problems 2阶常微分方程边值问题 ∫y”=f(x,y,y)x∈(a,b) y(a)=a, y(b)=B 打靶法/ shooting methodη 每计算一个g(s) 都必须解一个ODE 先猜测一个初始斜率 1(S0) y'(a)=s,通过解初值 问题 f(x, y,y) 斜率=s y(a)=a →y(b)=p(s) P(s y(a 找出使得6)=B,即把问 题转化为求方程(s)-B=0 的根。 0

§6 边值问题的数值解 /* Boundary-Value Problems */ 2 阶常微分方程边值问题    = =  =   ( ) , ( )  ( , , ) ( , ) y a y b y f x y y x a b ➢ 打靶法 /* shooting method */ 先猜测一个初始斜率 y (a) = s，通过解初值 问题       = =  =  y a s y a a y f x y y ( ) ( ) ( , , ) y(b) = (s) 找出s*使得(s*) = ，即把问 题转化为求方程 (s) -  = 0 的根。 y 0 a b x y(x)  斜率 = s0  (s ) 0 斜率 = s1  (s )1 每计算一个(s) 都必须解一个ODE

86 Boundary-Value Problems >有限差分法/ finite difference method 将求解区间,b等分为N份,取节点x;=a+i =0,…,N),在每一个节点处将y和y离散化。 4泰勒展开 y(x+h)-y(x) y(x)-y(x-h) NLr)=- h h () y(x+h)-2y(x)+y(x-h) +O(h2) h p(x)=(x+h)-y(x-1 +O(h2) 2h +y=f(x,y,以 )i=1,…,N-1 h 2h yo=a, yN=B

➢ 有限差分法 /* finite difference method */ §6 Boundary -Value Problems 将求解区间[a, b] 等分为N 份，取节点 xi = a + ih (i = 0, …, N )，在每一个节点处将 y  和 y 离散化。 ( ) 12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (4) 2 y  h h h y x y x h h y x h y x y x - - - - + -  = 泰勒展开 ( ) ( ) 2 ( ) ( ) 2 2 O h h y x h y x y x h + + - + - = ( ) 2 ( ) ( ) ( ) 2 O h h y x h y x h y x + + - -  =     = = = - - = + - + - + -  N  i i i i i i i y y i N h y y f x y h y y y , ) 1, ... , 1 2 ( , , 2 0 1 1 2 1 1