《矩阵论》课程教学讲义：第三讲 线性变换及其矩阵

第三讲线性变换及其矩阵 线性变换及其运算 定义:设V是数域K上的线性空间,T是V到自身的一个映射,使得对于V中的任意元素x均存在唯一的 y∈V与之对应,则称T为V的一个变换或算子,记为 称y为x在变换T下的象,x为y的原象。 若变化T还满足 7(kx+=k(x)+ I(y Vxy∈kl∈K 称T为线性变换 例1二维实向量空间R2 5∈R},将其绕原点旋转O角的操作就是一个线性变换 y=Tx=m7 n,=5, cos 8+5, sin 8 72 n2=-5 sin+$, cos 7 cos sin e ∈R n sin e cose 可见该操作T为变换,下面证明其为线性变换 Xxx R R kx+e kx1「1「kx1+l1 kx +l cos0 sinek,+13 T(hr+1) - sine cose‖kx2+lz2 cos0 sing X1+1 os 8 sin e cos0x2-sin8 cos83 k(Tx)+l(7=) T是线性变换 例2]次数不超过n的全体实多项式P构成实数域上的一个n+1维的线性空间,其基可选为

第三讲 线性变换及其矩阵 一、线性变换及其运算 定义：设 V 是数域 K 上的线性空间，T 是 V 到自身的一个映射，使得对于 V 中的任意元素 x 均存在唯一的 y  V 与之对应，则称 T 为 V 的一个变换或算子，记为 Tx＝y 称 y 为 x 在变换 T 下的象，x 为 y 的原象。 若变化 T 还满足 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty)  x,y  V, k,l  K 称 T 为线性变换。 [例 1] 二维实向量空间 2 1 2 R R i        =          ，将其绕原点旋转  角的操作就是一个线性变换。 [证明] 1 2 x     =     1 2 y Tx     = =     1 1 2 2 1 2 cos sin sin cos            = +   = − + 1 1 2 2 cos sin sin cos               =             − 2 R  1 2 1  2 x y o 可见该操作 T 为变换，下面证明其为线性变换 1 2 x x x    =     1 2 z z z   =     2 R ，k，l R 1 1 1 1 2 2 2 2 = kx lz kx lz kx lz kx lz kx lz       + + + =             + 1 1 2 2 cos sin ( ) sin cos kx lz T kx lz kx lz        + + =      −   + 1 1 2 2 cos sin cos sin sin cos sin cos x z k l x z                 = +             − −     = + k Tx l Tz ( ) ( )  T 是线性变换。 [例 2] 次数 不超 过 n 的全体实 多项 式 P n 构成实数 域上 的一 个 n +1 维的线性 空间 ，其 基可选为

1,x,x2,…,x"},微分算子DdP上的一个线性变换 证明显然D对P而言是变换 要证明D满足线性变换的条件 J,g∈Pn,k,l∈R2 D(+g)=k(Df)+l(Dg) D是P上的线性变换 2.性质 (1)线性变换把零元素仍变为零元素 (2)负元素的象为原来元素的象的负元素 (3)线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明]线性变换Tkx+by=k1xy+ly (1)T0=T0x)=0x=0 (2)T(x)=(-1)(Tx)=(7x) (3)元素组x12x2…,xm线性相关,即存在一组不全为零的数k1,k2,…,km使 x1=0 7(∑kx)=∑k(Tx)=7()=0 Tx}线性相关 「得证 应该注意,线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的,变换后的情况与元素组和线 性变换有关。若线性变换T将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组,则称之为满秩的线性变换 其变换矩阵为满秩矩阵 3.线性变换的运算 (1)恒等变换T。:Vx∈V,Tx=x (2)零变换To:Vx∈,T0x=0 (3)变换的相等:T1、T2是V的两个线性变换,Vx∈,均有Tx=T2x,则称T1=T2 (4)线性变换的和T+T2:Vx∈,(71+72)x=T1x+T (5)线性变换的数乘kT:Vx∈F,()x=k(x)

  2 1, , , , n x x x ，微分算子 d D dx = 是 P n 上的一个线性变换。 [证明] 显然 D 对 P n 而言是变换， 要证明 D 满足线性变换的条件 , n   f g P ，k，l 2 R D kf lg k Df l Dg ( ) ( ) ( ) + = +  D 是 P n 上的线性变换。 2. 性质 （1） 线性变换把零元素仍变为零元素 （2） 负元素的象为原来元素的象的负元素 （3） 线性变换把线性相关的元素组仍变为线性相关的元素组 [证明] 线性变换 T(kx+ly)=k(Tx)+l(Ty) （1）T(0)=T(0x)=0(Tx)=0 （2）T(-x)=(-1)(Tx)=-(Tx) （3）元素组 1 2 , , , m x x x 线性相关，即存在一组不全为零的数 1 2 , , , m k k k 使 1 0 m i i i k x =  = 则 1 1 ( ) ( ) (0) 0 m m i i i i i i T k x k Tx T = =  = = =  Txi 线性相关。 [得证] 应该注意，线性无关的元素组经过线性变换不一定再是线性无关的，变换后的情况与元素组和线 性变换有关。若线性变换 T 将所有的元素组仍变换为线性无关的元素组，则称之为满秩的线性变换， 其变换矩阵为满秩矩阵。 3. 线性变换的运算 （1） 恒等变换 T e ： , e   = x V T x x （2） 零变换 T0 ： 0   = x V T x , 0 （3） 变换的相等： T1 、T2 是 V 的两个线性变换，  x V ，均有 T x T x 1 2 = ，则称 T1 ＝T2 （4） 线性变换的和 T1 + T2 ： x V ， 1 2 1 2 ( ) T T x T x Tx + = + （5） 线性变换的数乘 kT ： x V ， ( ) ( ) kT x k Tx =

负变换:(-7)x=-(7x) (6)线性变换的乘积772:x∈,(T72)x=7(T2x) (7)逆变换T:Vx∈V,若存在线性变换S使得(ST)x≡x,则称S为T的逆变换S (8)线性变换的多项式 T”=7T…T,并规定T=T f()=∑am”→f(T)x=∑aT"x 需要说明的是 1)T。也称为单位变换,它的矩阵表示为单位矩阵l: 2)T0对应的矩阵表示为零矩阵 3)和矩阵的乘积一样,线性变换的乘积不满足交换律: 4)不是所有的变换都具有逆变换,只有满秩变换才有逆变换,ST 5)恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换(若存在)均为线性变换 二、线性变换的矩阵表示 线性变换用矩阵表示,将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式 设T是线性空间”的一个线性变换,且{x,x2…xn}是V”的一个基,Vx∈V,存在唯 的坐标表示 x1+2x+…+nx 7x=7(51x+2x2+…+5nxn)

负变换： ( ) ( ) − = − T x Tx （6） 线性变换的乘积 TT1 2 ： x V ， 1 2 1 2 ( ) ( ) T T x T T x = （7） 逆变换 1 T − ： x V ，若存在线性变换 S 使得 ( ) ST x x  ，则称 S 为 T 的逆变换 S ＝ 1 T − （8） 线性变换的多项式： n n T T T T = 个 ，并规定 0 T T = e 0 ( ) N n n n f T a T = =  → 0 ( ) N n n n f T x a T x = =  需要说明的是： 1） T e 也称为单位变换，它的矩阵表示为单位矩阵 I ； 2） T0 对应的矩阵表示为零矩阵； 3）和矩阵的乘积一样，线性变换的乘积不满足交换律； 4）不是所有的变换都具有逆变换，只有满秩变换才有逆变换， e ST T = ； 5）恒等变换、零变换、线性变换的和、乘积多项式及逆变换（若存在）均为线性变换。 二、线性变换的矩阵表示 线性变换用矩阵表示，将抽象的线性变换转化为具体的矩阵形式。 设 T 是线性空间 n V 的一个线性变换，且 x x x 1 2 , , , n 是 n V 的一个基，  x V n，存在唯 一的坐标表示   1 2 1 2 , , , n n x x x x        =         ＝ 1 1 2 2 n n    x x x + + + 1 1 2 2 ( ) Tx T x x x = + + +    n n 1 2 1 2 ( ) n n Tx Tx Tx        =        

X, x 因此,要确定线性变换T”,只需确定基元素在该变换下的象就可以了 a 1222 对于任意元素X,在该基下,变换后Tx的坐标表示为 nu n2 n 同时 Tx=[7(x1x2…x?|= 对比可知: 71 72 n

  1 2 1 2 ( ) n n T x x x        =         因此，要确定线性变换 T ，只需确定基元素在该变换下的象就可以了。   1 2 1 2 , , , i i i n in a a Tx x x x a     =               11 21 1 12 22 2 1 2 1 2 1 2 1 2 , , , , , , , , , n n n n n n n nn a a a a a a T x x x x x x x x x A a a a     = =         对于任意元素 x ，在该基下，变换后 Tx 的坐标表示为   1 2 1 2 , , , n n Tx x x x        =         同时     1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) , , , n n n n Tx T x x x x x x A               = =                 对比可知： 1 2 n                ＝ 1 2 n A               

定义:把A称为T在基{x1,x2,…,x}下的矩阵。 2.定理:设{x1,x2,…,xn}是”的一个基,T1、T2在该基下的矩阵分别为A、B.则有 (T1+T2) ]A+B) (2)kT[x1x2…,x]=[x1,x2,…,x](k4) (3)(7T2)x,x2…,x]=[x,x2…x](AB) (4)T[x1,x2…,x]=[x2x2…,x 推论1设f(1)=∑a为纯量的m次多项式,T为线性空间V”的一个线性变换,且在 的基{x1x2,…,xn}下的矩阵为A,则 f(T)x,x2…,x]=[x,x2…,x]f(A 其中f(7)=a0T+a1T+a272+…+an7 f(A=ao/+aA+a,A+.+a,A 推论2.设线性变换T在”的基{x1,x2…,xn}下的矩阵为A,元素x在该基下的坐标为 (51252,…5n),则Tx在该基下的坐标(7h,72,…1n)满足 72 nu

即： 1 2 n x                 1 2 n Tx A                 1. 定义：把 A 称为 T 在基 x x x 1 2 , , , n 下的矩阵。 2. 定理：设 x x x 1 2 , , , n 是 n V 的一个基， T1 、T2 在该基下的矩阵分别为 A、 B 。则有 （1） ( ) , , , , , , ( ) T T x x x x x x A B 1 2 1 2 1 2 + = +  n n    （2） kT x x x x x x kA 1 1 2 1 2  , , , , , , ( ) n n  =   （3） ( ) , , , , , , ( ) T T x x x x x x AB 1 2 1 2 1 2  n n  =   （4）     1 1 1 1 2 1 2 , , , , , , T x x x x x x A n n − − = 推论 1. 设 0 ( ) m i i i f t a t = =  为纯量 t 的 m 次多项式， T 为线性空间 n V 的一个线性变换，且在 n V 的基 x x x 1 2 , , , n 下的矩阵为 A ，则 f T x x x x x x f A ( ) , , , , , , ( )  1 2 1 2 n n  =   其中 2 0 1 2 ( ) n e n f T a T a T a T a T = + + + + 2 0 1 2 ( ) n n f A a I a A a A a A = + + + + 推论 2. 设线性变换 T 在 n V 的基 x x x 1 2 , , , n 下的矩阵为 A ，元素 x 在该基下的坐标为 1 2 ( , , )    n ，则 Tx 在该基下的坐标 1 2 ( , , )   n 满足 1 2 n                ＝ 1 2 n A               

3.相似矩阵 设T在P”的两个基{x1,x,…,x}及{x,x,…,x的矩阵分别为A和B,且 x,x2,…,xC,则 B=C-IAC 即A和B为相似矩阵 B T[x1x2…,x]C=[x1,x2,…,x]CB x, AC CB AC=CB即B=C-AC 定理:n阶方阵A和B相似的充要条件是A和B为同一线性变换在不同基下的矩阵 证明]必要性:已知A和B相似,即存在可逆矩阵P使B=P1AP 选取一个基{x,x2…xn}定义T[x1,x2;…x]=[x,x2…,x]A 考虑[x,x,…x=[x,x2…x]P可作为基,且 x [x1,x2…x]AP x1,x2,…, xn ap B A和B为同一线性变换在不同基下的矩阵。 充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。 三、线性变换及矩阵的值域和核 定义:设T是线性空间V”的线性变换,称 R(T)={7x|x∈V"}为T的值域 I",Tx=0}称为T R(T)和N(T)均为”的子空间

3.相似矩阵 设 T 在 n V 的 两 个 基 x x x 1 2 , , , n 及   ' ' ' 1 2 , , , n x x x 的 矩 阵 分 别 为 A 和 B ， 且 ' ' ' 1 2 , , , n   x x x   ＝x x x 1 2 , , , n  C ，则 1 B C AC − = 即 A 和 B 为相似矩阵。 [证明] 1 2 1 2 , , , , , , T x x x x x x A n n         = ' ' ' ' ' ' 1 2 1 2 , , , , , , T x x x x x x B n n         = T x x x C x x x CB  1 2 1 2 , , , , , , n n  =   x x x AC x x x CB 1 2 1 2 , , , , , , n n  =    = AC CB 即 1 B C AC − = 定理： n 阶方阵 A 和 B 相似的充要条件是 A 和 B 为同一线性变换在不同基下的矩阵。 [证明] 必要性：已知 A 和 B 相似，即存在可逆矩阵 P 使 1 B P AP − = 选取一个基 x x x 1 2 , , , n ，定义 T x x x x x x A  1 2 1 2 , , , , , , n n  =   考虑 ' ' ' 1 2 1 2 , , , , , , n n     x x x x x x P =     可作为基，且   ' ' ' 1 2 1 2 , , , , , , T x x x T x x x P n n   =   = x x x AP 1 2 , , , n  ' ' ' 1 1 2 , , , n x x x P AP − =     ' ' ' 1 2 , , , n =   x x x B    A 和 B 为同一线性变换在不同基下的矩阵。 充分性的证明由相似矩阵定义的证明给出。 三、线性变换及矩阵的值域和核 1. 定义：设 T 是线性空间 n V 的线性变换，称 ( ) |   n R T Tx x V =  为 T 的值域； ( ) | , 0   n N T x x V Tx =  = 称为 T 的核。 R T( ) 和 N T( ) 均为 n V 的子空间

设A为m×n阶矩阵 R(A)={Ax|x∈R"orx∈C"}为矩阵A的值域 N(4)={x|x∈R'oreC",4x=0}为A的核 dmR(T)、dmN(1)称为T的秩和零度 dimR(A)、dimN(A)称为A的秩和零度。 定理:(1)dmR(T)+dimN(T)=dm (2)dim R(A)=rank(a) (3)dimR(A)+dimN(A)=n,n为A的列数 若A是线性变换T的矩阵,则 dim r(T)=dim R(A), dim N(T)=dim N(a) 作业:P77-78,1、26、7

设 A 为 m n  阶矩阵，称 ( ) |   n n R A Ax x R orx C =   为矩阵 A 的值域； ( ) | , 0   n n N A x x R orx C Ax =   = 为 A 的核。 dim ( ) R T 、 dim ( ) N T 称为 T 的秩和零度； dim ( ) R A 、 dim ( ) N A 称为 A 的秩和零度。 2. 定理：（1） dim ( ) dim ( ) dim n R T N T V + = （2） dim ( ) ( ) R A rank A = （3） dim ( ) dim ( ) R A N A n + = ， n 为 A 的列数。 若 A 是线性变换 T 的矩阵，则 dim ( ) R T = dim ( ) R A ， dim ( ) N T = dim ( ) N A 作业：P77－78，1、26、7