第三章条的液碧 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 第一节中值定理、洛必达法则 指 后退 出 第1页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 1 页 第一节 中值定理、洛必达法则 第三章 导数的应用 后退 目录 主 页 退 出 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导
中值定、洛必达则 拉格朗日 Lagrange)中值定理 本节 知识 引入 本节 拉格朗日( Lagrange)中值定理如果函数(x)在 闭区间a,b上连续在开区间a,b内可导那末在 (a,b)内至少有一点(a<<b),使等式 与难 点 本节 ∫(b)-f(a)=∫(2)(b-a)成立 指导 结论亦可写成f(b)-fam) b-a =∫(ξ2) 后退 第2页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 2 页 拉格朗日(Lagrange)中值定理 拉格朗日（Lagrange）中值定理 如果函数 f(x)在 闭区间[a,b]上连续,在开区间(a,b)内可导,那末在 (a,b)内至少有一点(a b)，使等式 ( ) ( ) ( )( ) ' f b − f a = f b − a 成立. (1) (2) ( ). ( ) ( ) = − − f b a f b f a 结论亦可写成 第一节 中值定理、洛必达法则 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
中值定、洛必达则 几何解释 本节 在曲线弧AB上至 M y=∫(x) B 少有一点M,在该 f(b)f(a) 点处的切线平行于 本节 与弦AB o a 5 abx 点 本节 指导 即f(2)= f(b)-f( (b-a) 后退 第3页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 3 页 o a 2 b x y y = f (x) A M B 几何解释: . , AB M AB 弦 点处的切线平行于 少有一点 在该 在曲线弧 上至 ( ). ( ) ( ) ( ) b a f b f a f − − 即 = 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 f (b) − f (a) 第一节 中值定理、洛必达法则
中值定、洛必达则 本节 知识 推论1:如果函数f(x)在区间/上的导数恒为零, 本节 曾那末f(x)在区间上是一个常数 本节 重点 与难 点 本节 指导 后退 第4页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 4 页 推论1： ( ) . ( ) , 那末 在区间 上是一个常数 如果函数 在区间 上的导数恒为零 f x I f x I 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第一节 中值定理、洛必达法则
中值定、洛必达则 推论2:如果函数(x)和g(x)在(a,b)内 本节 数可导,且f(x)=g(x),则()和g()相差 本节 一个常数,即 求 本节 重点 f (x)=g(x)=c 与难 点 本节 指导 其中C为任意常数 后退 第5页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 5 页 推论2 ： 如果函数 和 在（a，b）内 可导，且 ，则 和 相差 一个常数，即 f (x) g(x) ( ) ( ) f (x) g(x) ' ' f x = g x f (x) − g(x) = c 其中C为任意常数 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第一节 中值定理、洛必达法则
中值定、洛必达则 例1、验证函数f(x)=x3-3x 3x在区间0,2上 本节 级是否满足拉格朗日定理的条件。 本节 如果满足,求出使定理成立的的值。 本节 重点 黑解:因为f(x)=x2-x在区间0,2上连续, 本节 且在区间(0,2)内可导,故满足定理条件 于是有以下等式: 后退 士页下页返回 第6页
上页 下页 返回 第 6 页 例1、 验证函数 f (x) x 3x 3 = − 在区间[0，2]上 是否满足拉格朗日定理的条件。 如果满足，求出使定理成立的ξ的值。 解：因为 f x = x − x 3 ( ) 在区间[0，2]上连续， 且在区间（0，2）内可导，故满足定理条件 于是有以下等式： 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第一节 中值定理、洛必达法则
中值定、洛必达则 f(2)-f(0 =f(5) 本节 2-0 知识 引入 本节 目的 又f(x)=3x2-3,f(2)=2,f(0)=0 求 精代入上式得332-3=1 与难 点 本节 指导 3 后退 士页下页返回 第7页
上页 下页 返回 第 7 页 ( ) 2 0 (2) (0) ' f f f = − − 又 ( ) 3 3, (2) 2, (0) 0 ' 2 f x = x − f = f = 代入上式得 3 3 1 2 − = 3 2 = 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第一节 中值定理、洛必达法则
中值定、洛必达则 例2证明 arcsin+ arccos= (-1≤x≤1 2 本节 飘证设∫(x)= arcsin.+ arccos x,xe|-1,l 本节 目的 ∫(x)= )=0 求 √1-x 本节 重点 与难 f(x)≡C,x∈|-1,1 点 asX. f(0=arcsin+arccos=0+ 指导 22 即C 2 的 arcsin x+ arccos JC 2 第8页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 8 页 例2 ( 1 1). 2 arcsin arccos − 证明 x + x = x 证 设 f (x) = arcsin x + arccos x, x [−1,1] ) 1 1 ( 1 1 ( ) 2 2 x x f x − + − − = = 0. f (x) C, x [−1,1] 又 f (0) = arcsin0 + arccos0 2 0 = + , 2 = . 2 即C = . 2 arcsin arccos 后退 目录 x + x = 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第一节 中值定理、洛必达法则
中值定、洛必达则 洛必达法则 本节知识 引入 本节目的 与要求 未定式及其解法 本节重点 与难点 本节复习 指 其它未定式 后退 页出 上页
9 洛必达法则 一、 未定式及其解法 二、 其它未定式 后退 目录 主 页 退 出 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导 第一节 中值定理、洛必达法则
中值定、洛必达则 0. 型及·型未定式解法:洛必达法则 本节 知识 0 引入 定义如果当x→a(或x→∞时两个函数 案|f(x)与F(x)都趋于零或都趋于无穷大那末 本节 x ● 点极限lmn 称为或—型未定式 点 xa、F(x) (x→>∞) 本节 指导 tanx 0 Inin ax∞o 例如,im lim x→>0x 0 x-0 In sin bx oo 上圆国[回
10 一 、型 及 型未定式解法:洛必达法则 0 0 定义 . 0 0 ( ) ( ) lim ( ) ( ) , ( ) , ( ) 极限 称为 或 型未定式 与 都趋于零或都趋于无穷大 那末 如果当 或 时 两个函数 → → → → F x f x f x F x x a x x x a 例如, , tan lim 0 x x x→ , lnsin lnsin lim 0 bx ax x→ ) 0 0 ( ( ) 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 第一节 中值定理、洛必达法则