荆州职业技术学院：《高职高专应用数学》课程教学资源（PPT课件讲稿）第六章 空间解析几何与向量代数（6.4）数量积和向量积

第四节 数量积和向量积

第四节 数量积和向量积

、两向量的数量积 物体在常力F作用下沿直线从点M1移动 到点M2,以表示位移,则力F所作的功为 W=|F|s|cos(其中为F与的夹角) 向量a与b的数量积为a·b bco0(其中6为与b的夹角) 由定义可知,两向量的数量积是一个数量

一物体在常力F  作用下沿直线从点M1 移动 到点M2，以s 表示位移，则力F  所作的功为 W | F || s | cos   = (其中 为F  与s 的夹角) 向量a 与b  的数量积为a b    a b | a || b | cos      = (其中 为a  与b  的夹角) 实例 定义 一、两向量的数量积 由定义可知，两向量的数量积是一个数量

·b=lb|cosb 1blcos0=Prib, lal 0=Pr jba, :ab=6 Prja=lalprjb 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积 数量积也称为“点

a  b   a b | a || b | cos      = | b | cos Pr j b, a     = | a | cos Pr j a, b    = a b b j ba       =| | Pr | a | Pr j b. a   = 数量积也称为“点积”、“内积”. 结论 两向量的数量积等于其中一个向量的 模和另一个向量在这向量的方向上的投影的 乘积

a·a=a (2)a·b=0a⊥b (1)交换律:ab=b; (2)分配律:(d+b)c=d+bc; (3)若为数:()b=a(b)=2(a.b) 若、为数:(n)、(b)=A(a·b

关于数量积的说明： (2) a  b = 0    a b.   (1) | | . ⊥ 2 a a a     = 数量积符合下列运算规律： （1）交换律： a b b a;      =  （2）分配律： (a b) c a c b c;        +  =  +  （3）若  为数： ( a) b a ( b) (a b),         =   =   若  、  为数： ( a) ( b) (a b).        =  

wa=aita.+ak, b=bi+bi+b, k ab=(ai+a,j+,k)( i +b,j+bk) ∵i⊥k,∵i·=j·k=k·i=0, LiEjEkE1, ∴i·i=j·j=k·k=1 b=++ b 数量积的坐标表达式

a a i a j a k, x y z     = + + b bx i by j bzk     设 = + + a  b =   (a i a j a k) x y z    + + (b i b j b k) x y z     + + i j k,     ⊥ ⊥ i  j = j  k = k  i = 0,       | i |=| j |=| k |= 1,     i  i = j  j = k  k = 1.       x x y y z z a  b = a b + a b + a b   数量积的坐标表达式

ab00C088→0a.b a‖!b 两向量夹角余弦的坐标表示式 由此可知两向量垂直的充要条件为 a⊥b→2b2+a,b12+a2b2=0

a b | a || b | cos      = , | || | cos a b a b        = 2 2 2 2 2 2 cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = 两向量夹角余弦的坐标表示式 a⊥b    axbx + ayby + azbz = 0 由此可知两向量垂直的充要条件为

例1已知a={1,1,-4},b={1,-2,2},求(1) a·b;(2)a与b的夹角;(3)a在b上的投影 解(1)a.b=1-1+1·(-2)+(-4)·2=-9 a btab+a b (2)cos6= a.2+a2+a2b2+b2+b2 3兀 2 d·b (3)a.b=b|Pri2∴Pri 3 b

例 1 已知a = {1,1,−4}  ，b = {1,−2,2}  ，求（1） a b    ；（2）a  与b  的夹角；（3）a  在b  上的投影. 解 a b   (1)  = 11+1(−2) + (−4) 2 = −9. 2 2 2 2 2 2 (2) cos x y z x y z x x y y z z a a a b b b a b a b a b + + + + + +  = , 2 1 = − a b b j ba     (3)  =| | Pr 3. | | Pr = −   = b a b j ba      = . 4 3

例2证明向量乙与向量(a·d)b-(b·)d垂直 证(a·C)b-(b-)l乙 =[(a·c)b·-(b·c)·dl (·b)la·c-a·l 0 (a·c)b-(b·d)dc

例 2 证明向量c 与向量 a c b b c a       (  ) − (  ) 垂直. 证 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ] [(a c)b c (b c)a c]         =   −   (c b)[a c a c]       =   −  = 0 a c b b c a c        [(  ) − (  ) ]⊥

二、两向量的向量积 设O为一根杠杆L的支点,有一力F作用 于这杠杆上P点处.力F与OP的夹角为,力 F对支点O的力矩是一向量M,它的模 IMEOOIFI 6 L =OP‖Fsin Q M的方向垂直于OP与F所决 定的平面,指向符合右手系

设O为一根杠杆L 的支点，有一力F  作用 于这杠杆上P 点处．力F  与OP 的夹角为 ， 力 F  对支点O的力矩是一向量M  ，它的模 | M | | OQ || F |   = | OP || F |sin  = M  的方向垂直于OP 与F  所决 定的平面, 指向符合右手系. 实例 二、两向量的向量积 L F  P Q O 

向量a与b的向量积为c=d×b ca b sin6(其中6为与b的夹角) c的方向既垂直于,又垂直,指向符合 右手系 因此,两向量的向量积是一个向量。 向量积也称为“” 积

向量a 与b  的向量积为 c a b    =  | c | | a || b |sin    = (其中 为a  与b  的夹角) 定义 c 的方向既垂直于a  ，又垂直于b  ，指向符合 右手系. 向量积也称为“叉积”、“外积”. 因此，两向量的向量积是一个向量