第7节 高斯公式通量与散度
第7节 高斯公式 通量与散度
高斯公式 设空间闭区域Q由分片光滑的闭曲面Σ围成 函数P(x,y,z)、Q(x,y,z)、R(x,y,z)在2上具有 阶连续偏导数,则有公式 (++12)m=的h+Qh+R 或OPa,aR,x +odv ox ay a Pesa+ Acos+ ROSY)dS(证略 这里∑是的整个边界曲面的外侧, c0sa,cOsB,c0sy是∑上点(x,y,z)处的法向 量的方向余弦.如果∑是Ω的内侧,左端要加负号
设空间闭区域由分片光滑的闭曲面Σ围成, 函数P( x, y,z)、Q( x, y,z)、R( x, y,z)在 上具有 一阶连续偏导数, 则有公式 = + + + + dv Pdydz Qdzdx Rdxdy z R y Q x P ( ) 一、高 斯 公 式 P Q R dS dv z R y Q x P ( cos cos cos ) ( ) = + + + + 或 这里是的整个边界曲面的外侧， cos,cos ,cos 是上点(x, y,z)处的法向 量的方向余弦. 如果 是的内侧，左端要加负号。 （证略）
Gauss公式的实质 OP a0 OR s art a +o)dy=H Pdyd=+Od=dx+Rdxdy (P cos a +O cos B+Rcos y)ds. 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系 从而可将曲面积分转化成三重积分来计算
Gauss公式的实质 表达了空间闭区域上的三重积分与其边界 曲面上的曲面积分之间的关系. ( cos cos cos ) . ( ) = + + + + P Q R dS dv z R y Q x P = Pdydz +Qdzdx + Rdxdy 从而可将曲面积分转化成三重积分来计算
简单的应用 例1计算曲面积分 ∫e (x-y)dxdy+(y-z)xdydz E 其中∑为柱面x2+y2=1及平 面名=0,乙=3所围成的空间闭 区域2的整个边界曲面的外侧 解:P=(y-2)x,Q=0,x R=x-y
二、简单的应用 例1 计算曲面积分 (x − y)dxdy + ( y − z)xdydz 其中Σ为柱面 1 2 2 x + y = 及平 面z = 0,z = 3所围成的空间闭 区域的整个边界曲面的外侧. x o z y 1 1 3 解： , ( ) , 0, R x y P y z x Q = − = − =
aP a J-3 Qv=o, Op 0 z 原式=(y-)dcd 利用柱面坐标得) dxdvdz do rdr zdz 9
, 0, = 0, = = − z R y Q y z x P 原式 = ( y − z)dxdydz . 2 9 = − (利用柱面坐标得) x o z y 1 1 3 = − zdxdydz = − 2 0 1 0 3 0 d rdr zdz
使用Guas公式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.∑是取闭曲面的外侧
使用Guass公式时应注意: 1.P,Q,R是对什么变量求偏导数; 2.是否满足高斯公式的条件; 3.Σ是取闭曲面的外侧
例2计算曲面积分 ∫(x2c0sa+y2c0sB+2c0sm,其中2为 锥面x2+y2=x介于平面 三0及x=h(h>0) h 间的部分的下侧, cos a, cos B, cos y 是Σ在(x,y,z)处 的法向量的方向余弦
x y z o 例 2 计算曲面积分 (x cos y cos z cos )ds 2 2 2 + + ,其中Σ为 锥面 2 2 2 x + y = z 介于平面 z = 0及z = h(h 0) 之间的部分的下侧, cos,cos,cos 是Σ在(x, y,z)处 的法向量的方向余弦. h
解:空间曲面在xy面上的投影域为Dy 曲面∑不是封闭曲面,为利用 高斯公式 补充1:z=h(x2+y2≤h2E1·h ∑取上侧, ∑ 构成封闭曲面, 2+x围成空间区域92 在Ω上使用高斯公式
Dxy x y z o 1 h 解：空间曲面在 xoy 面上的投影域为 Dxy : ( ) 2 2 2 补充 1 z = h x + y h 曲面不是封闭曲面, 为利用 高斯公式 1取上侧， + 1构成封闭曲面，. + 1围成空间区域 在上使用高斯公式
(x cos a+y cos B+2- cos n)ds ∑+∑ x dydz + y dzdx +z dxdy ∑+21 =2(x +v+z)dv 2dy=2 2兀1a drI zd (x cos a+y cos B+z cos n)ds ∑+∑ (h'-x'-y)dxdy h24 2
= − − + + + Dxy h x y dxdy x y z dS ( ) ( cos cos cos ) 2 2 2 2 2 2 1 . 2 1 4 = h + = + + 1 2 2 2 x dydz y dzdx z dxdy + + + 1 ( cos cos cos ) 2 2 2 x y z ds = 2 (x + y + z)dv = 2 zdxdy 4 0 2 0 2 2 d rdr zdz h h h r = =
I(x cosa+y cos B+z cos r )ds =llx dydz+y dzdx+zdxdy=l) =‖h2 dxdy=h x2+y2≤h 故所求积分为 cos a+y cos B+z cos y)ds ∑ Thch 2
. 4 = h 故所求积分为 (x cos + y cos + z cos )dS 2 2 2 4 2 1 = h 4 − h . 2 1 4 = − h = + + = + + 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 ( cos cos cos ) x dydz y dzdx z dxdy z dxdy x y z ds + = 2 2 2 2 x y h h dxdy
