第九节 二阶常糸数线性微分方程
第九节 二阶常糸数线性微分方程
、定义 n阶常系数线性微分方程的标准形式 y()+Py++Py+Py=f(x) 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 +py+qy=0 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式 y+py+gy=f(r)
一、定义 ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y P y Pn y Pn y f x n n + + + − + = − n阶常系数线性微分方程的标准形式 y + py + qy = 0 二阶常系数齐次线性方程的标准形式 y + py + qy = f (x) 二阶常系数非齐次线性方程的标准形式
二阶常系数齐次线性方程解法 y+py+ay=0 特征方程法 设y=c,将其代入上方程得 (r2+pr+q)e"=0 ≠0 故有r2+p+g=0—特征方程 特征根2=P±、D2-44 2
二、二阶常系数齐次线性方程解法 -----特征方程法 , rx 设 y = e 将其代入上方程, 得 ( ) 0 2 + + = rx r pr q e 0, rx e 故有 0 2 r + pr + q = 特征方程 , 2 4 2 1,2 p p q r − − 特征根 = y + py + qy = 0
有两个不相等的实根△>0) 特征根为=-P+P2-4 P 4 9 2 2 两个线性无关的特解 r. y2 得齐次方程的通解为y=C1e+C2e;
有两个不相等的实根 , 2 4 2 1 p p q r − + − = , 2 4 2 2 p p q r − − − = , 1 1 r x y = e , 2 2 r x y = e 两个线性无关的特解 得齐次方程的通解为 ; 1 2 1 2 r x r x y = C e + C e ( 0) 特征根为
有两个相等的实根(△=0) 特征根为=1=-,一特解为y1=cn, 2 设另一特解为y2=u(x)ex 将y 代入原方程并化简 "+(2r1+p)u2+(r12+pr1+q)u=0, 知"=0,取m(x)=x,则y2=xe, 得齐次方程的通解为y=(C1+C2x)e F1
有两个相等的实根 , 1 1 r x , y = e 2 1 2 p r = r = − ( = 0) 一特解为 得齐次方程的通解为 ( ) ; 1 1 2 r x y = C + C x e 将 y2 ，y2 ，y2 代入原方程并化简， (2 ) ( ) 0, 1 2 u + r1 + p u + r1 + pr + q u = 知 u = 0, 取 u(x) = x, , 1 2 r x 则 y = xe ( ) , 1 2 r x 设另一特解为 y = u x e 特征根为
有一对共轭复根(△<0) 特征根为=+B,=a-j, (a+iB)x (a-jB J1= 9 y2 重新组合y1=(y1+y2)= e cos x, 2 V2=n (v1-y2)=e sin Bx, 得齐次方程的通解为 y=e(C cos Bx+C2 sin Bx)
有一对共轭复根 , r1 = + j , r2 = − j , ( ) 1 j x y e + = , ( ) 2 j x y e − = ( 0) 重新组合 ( ) 2 1 1 1 2 y = y + y e cos x, x = ( ) 2 1 2 1 2 y y j y = − e sin x, x = 得齐次方程的通解为 ( cos sin ). y e C1 x C2 x x = + 特征根为
定义由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法 例1求方程y+4y+4y=0的通解 解特征方程为r2+4r+4=0, 解得r=r2=-2, 故所求通解为y=(C+C2x)e2x
定义 由常系数齐次线性方程的特征方程的根 确定其通解的方法称为特征方程法. 求方程 y + 4 y + 4 y = 0的通解. 解 特征方程为 4 4 0 , 2 r + r + = 解得 2 , r1 = r2 = − 故所求通解为 ( ) . 2 1 2 x y C C x e − = + 例1
例2求方程y"+2y+5y=0的通解 解特征方程为r2+2r+5=0, 解得r12=-1±2j 故所求通解为 y=e(C cos 2x+C, sin 2x)
求方程 y + 2 y + 5 y = 0的通解. 解 特征方程为 2 5 0 , 2 r + r + = 解得 1 2 , 1 2 r ， = − j 故所求通解为 ( cos 2 sin 2 ). y e C1 x C2 x x = + − 例2
、m阶常系数齐次线性方程解法 +P +…+P1y+Py=0 特征方程为r"+Pr+…+P=r+Pn=0 特征方程的根通解中的对应项 若是k重根r(C0+C1x+…+Ck1x2)e 若是k重共轭(C+C1x+…+Ck1x) )cos Bx 复根α±j +(Do+Dx+.+ Dkx)sin Bxle
三、n阶常系数齐次线性方程解法 1 0 ( 1) 1 ( ) + + + − + = − y P y P y P y n n n n 特征方程为 0 1 1 + 1 + + − + = − n n n n r P r P r P 特征方程的根 通解中的对应项 若是k重根r k rx k (C C x C x )e 1 0 1 1 − + ++ − j k 复根 若是 重共轭 k x k k k D D x D x x e C C x C x x − − − − + + + + + + + ( )sin ] [( )cos 1 0 1 1 1 0 1 1
注意 n次代数方程有n个根,而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项,且每一项各一个 任意常数 y=C1y1+C2y2+…+Cnyn 例3求方程 y+y4)+2y()+2y"+y2+y=0的通解 解特征方程为r+r4+2r3+2r2+r+1=0, (r+1)(r2+1)2=0, 特征根为=-1,==j,==- 故所求通解为 y=Ce+C2+C3)cosx+(C4+Csx)sinx
注意 n次代数方程有n个根, 而特征方程的每一个 根都对应着通解中的一项, 且每一项各一个 任意常数. n n y = C y + C y ++ C y 1 1 2 2 特征根为 1, , , 1 2 3 4 5 r = − r = r = j r = r = − j 故所求通解为 ( )cos ( )sin . y C1 e C2 C3 x x C4 C5 x x x = + + + + − 解 2 2 1 0, 5 4 3 2 特征方程为 r + r + r + r + r + = ( 1)( 1) 0, 2 2 r + r + = 2 2 0 . (5) (4) (3) 的通解 求方程 y + y + y + y + y + y = 例3