第十章 微分方程
第十章 微分方程
、问题的提出 一例1一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M(x,y)处的切线的斜率为2x,求这曲线的方程 解设所求曲线为y=y(x) 其中x=1时,y=2 y=2xtc即y=x2+C,求得C=1, 所求曲线方程为y=x2+1
例 1 一曲线通过点(1,2),且在该曲线上任一点 M( x, y)处的切线的斜率为2x ,求这曲线的方程. 解 设所求曲线为 y = y(x) x dx dy = 2 y = 2xdx 其中 x = 1时, y = 2 , 2 即 y = x + C 求得C = 1, 1 . 2 所求曲线方程为 y = x + 一、问题的提出
例2列车在平直的线路上以20米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度-0.4米/秒2,问开始制动 后多少时间列车才能停住?以及列车在这段时间内 行驶了多少路程? 解设制动t秒钟后列车才能仃住,在此期间列车又行驶了 s=s(t)米,因此有 ds 0.t+C1 dt 3=-0.2+C1t+C2 t=0时,s=0.p= 20
例 2 列车在平直的线路上以 2 0 米/秒的速度行驶, 当制动时列车获得加速度− 0.4米/秒 2 ,问开始制动 后多少时间列车才能停住？以及列车在这段时间内 行驶了多少路程？ 解 0.4 2 2 = − dt d s = 0 , = 0, = = 20, dt ds t 时 s v 4 1 0. t C dt ds v = = − + 1 2 2 s = −0.2t + C t + C 设制动t秒钟后列车才能仃住，在此期间列车又行驶了 s=s(t)米, 因此有：
代入条件后知C1=20,C2=0 ds 0.4t+20 dt 故s=-022+20,由v=0可知, 开始制动到列车完全停住共需t= 20 50(秒), 0.4 列车在这段时间内行驶了 s=-0.2×502+20×50=500米)
代入条件后知 C1 = 20, C2 = 0 0.2 20 , 2 s = − t + t = = −0.4t + 20, dt ds v 故 50( ), 0.4 20 t = = 秒 列车在这段时间内行驶了 0.2 50 20 50 500( ). s = − 2 + = 米 开始制动到列车完全停住共需 由v=0可知
二、微分方程的定义 微分方程: 凡含有未知函数的导数或未知函数的微分的方程 叫微分方程 例y'=xy,y"+2y-3y=e, x)dt+、A=0,O =x+y, 联系自变量,未知函数以及 未知函数的导数(或微分)之间的关系式 分类1:常微分方程,偏微分方程
微分方程: 凡含有未知函数的导数或未知函数的微分的方程 叫微分方程. 例 y = xy, ( ) 0, 2 t + x dt + xdx = 2 3 , x y + y − y = e x y, x z = + 因此微分方程是联系自变量,未知函数以及 未知函数的导数(或微分)之间的关系式. 二、微分方程的定义 分类1: 常微分方程, 偏微分方程
散分方程的阶:微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶 一阶微分方程F(x,y,y)=0,y=f(x,y); 高阶微分方程F(xyy,,y)=0 yn)=f(x,y,y,…,y)
微分方程的阶: 微分方程中出现的未知函数的最 高阶导数的阶数称为微分方程的阶. 一阶微分方程 F(x, y, y) = 0, y = f (x, y); 高阶(n)微分方程 ( , , , , ) 0, ( ) = n F x y y y ( , , , , ). ( ) ( −1) = n n y f x y y y 分类2:
分类3:线性与非线性微分方程 形如y+a1(x)y++an1(x)y+an(x)y=f(x) 的微分方程,称为线性微分方程。否则,称为非线性微分方程。 末知函数及末知函数的导数都是自变量x的一次函数是线性微 分方程的必要条件(但不是充分条件) 线性微分方程:y+P(x)y=Q(x +A=sin xy+2y+x y=0 非线性微分方程:x(y)2-2yy+x=0 y+xsin y=x+1, vy+x=l
分类3: 线性与非线性微分方程. y + P(x) y = Q(x), ( ) 2 0; 2 x y − yy + x = 末知函数及末知函数的导数都是自变量x的一次函数是线性微 分方程的必要条件（但不是充分条件）. 形如 的微分方程，称为线性微分方程。否则，称为非线性微分方程。 ( ) ... ( ) ( ) ( ) 1 ( 1) 1 ( ) y a x y a x y a x y f x n n n n + + + − + = − 2 + = sin d d 2 0 2 xy + y + x y = 线性微分方程： sin 1, 2 y + x y = x + 非线性微分方程： yy + x =1
类4:微分方程与微分方程组 微分方程:x(y)-2y+x=0 微分方程组: y 3y-2z, dx da 2 y-2 dx
分类4: 微分方程与微分方程组. = − = − 2 , 3 2 , y z dx dz y z dx 微分方程组 dy : 微分方程: ( ) 2 0; 2 x y − yy + x =
、关于微分方程的解 微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微 设y=q(x)在区间I上有n阶导数, F(9(x)(x)…p(x)=0 因此,产(x)是微分方程F(xyyy)0的解。 nDE (1)通解:微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同
微分方程的解: 代入微分方程能使方程成为恒等式的函数称为微 分方程的解. 设y = (x)在区间 I 上有 n阶导数, ( , ( ), ( ), , ( )) 0. ( ) F x x x x = n 微分方程的解的分类： 三、关于微分方程的解 (1)通解: 微分方程的解中含有任意常数,且任 意常数的个数与微分方程的阶数相同. 因此， y = (x) 是微分方程 ( , , , ) =0 的解。 (n) F x y y y
例y'=y,通解y=Ce y"+y=0,通解y= C sinx+C2cosx; (2)特解:确定了通解中任意常数以后的解 微分方程的积分曲线 积分曲线族 用来确定任意常数的条件
(2)特解: 确定了通解中任意常数以后的解. 例 y = y, ; x 通解 y = Ce y + y = 0, sin cos ; 通解 y = C1 x +C2 x 解的图象: 微分方程的积分曲线. 通解的图象: 积分曲线族. 初始条件: 用来确定任意常数的条件