二重积分的概念及性质 前面我们已经知道了,定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重 积分的概念,在此我们不作详述,请大家参考有关书籍 二重积分的定义 设z=f(xy)为有界闭区域(o)上的有界函数: (1)把区域(G任意划分成n个子域(△a)k=12,3,n),其面积记作△ak(k=12,3…n); (2)在每一个子域(△0)上任取一点(5,m),作乘积f(9,m)△a f(k,7k)Δ (3把所有这些乘积相加即作出和数k- (4)记子域的最大直径d如果不论子域怎样划分以及(5k,n)怎样选取,上述和数当n→+且 d→0时的极限存在那末称此极限为函数f(xy)在区域(o)上的二重积分记作!口) a (,m 其中x与y称为积分变量,函数f(xy)称为被积函数,f(xy)do称为被积表达式o)称为积分区域 关于二重积分的问题 对于二重积分的定义我们并没有f(xy0的限容易看出当f(xy≥0时,二重积分() 在几何上就是以z=(xy)为曲顶,以()为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积 上述就是二重积分的几何意义 如果被积函数f(xy)在积分区域(o)上连续,那末二重积分(,p)d 必定存在。 二重积分的性质 (1)被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去 4(x,da=A∫f(xy)da (2)有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和 j[i(x,y)±f2(x,y)1=∫1(x,da』f2(x,yda (o (3)如果把积分区域(G)分成两个子域(G1)与(02),即(G)=(G1)+(2),那末 (4)如果在(G)上有f(xy)g(xy),那末 ‖f(x,y)da‖g(x,y) (5)设f(xy)在闭域(o)上连续,则在(o)上至少存在一点(n),使 ∫f(x,pda=∫(5,m (o) 其中σ是区域(o)的面积
二重积分的概念及性质 前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重 积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。 二重积分的定义 设 z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数： (1)把区域(σ)任意划分成 n 个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）； (2)在每一个子域(△σk)上任取一点 ，作乘积 ； (3)把所有这些乘积相加,即作出和数 (4)记子域的最大直径 d.如果不论子域怎样划分以及 怎样选取,上述和数当 n→＋∞且 d→0 时的极限存在,那末称此极限为函数 f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作: 即： = 其中 x 与 y 称为积分变量，函数 f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ 称为被积表达式,(σ)称为积分区域. 关于二重积分的问题 对于二重积分的定义,我们并没有 f(x,y)≥0 的限.容易看出,当 f(x,y)≥0 时,二重积分 在几何上就是以 z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于 z 轴的曲顶柱体的体积。 上述就是二重积分的几何意义。 如果被积函数 f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分 必定存在。 二重积分的性质 (1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去. (2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和. (3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末: (4).如果在(σ)上有 f(x,y)≤g(x,y ),那末: ≤ (5).设 f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η ),使 其中 σ 是区域(σ)的面积
∫f(x,da=』f(,n)d+』f(xpda (o) 二重积分的计算法 直角坐标系中的计算方法 这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把x看成常量,对y进行积分,然后在对x进行 积分,或者是先把y看成常量,对x进行积分,然后在对y进行积分。为此我们有积分公式,如 们(x,)d0y(a(y(x)中 们(x)da9y()m=上中 (x, yd 或 在这里我们可能会有这个问题:累次积分的上下限是怎么确定的呢? 累次积分上下限的确定方法 我们先来对区域作些补充说明:如果经过区域(内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于 y轴(或x轴)的直线,且此直线交(o)的边界不超过两点,那末称(G)为沿y轴(x轴)方向的正规区域 如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(o)就称为正规区域下图所示的即为正规 区域 关于累次积分上下限的取法如下所述 (1)如果(σ)为沿y轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分其中对 y的积分下限是(o)的下部边界曲线所对应的函数y1(x),积分上限是上部边界曲线所对应的函数 y2(x)对x的积分下限与上限分别是(o)的最左与最右点的横坐标a与b (2)如果(o)为沿x轴方向的正规区域那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分其中对x 的积分下限是(G)的左部边界曲线所对应的函数x1y),积分上限是右部边界曲线所对应的函数 x2(y)对y的积分下限与上限分别是(o)的最低与最高点的横坐标c与d (3.如果(σ)为正规区域,那末累次积分可以交换积分次序 (4)如果(σ既不是沿y轴方向的正规区域,也不是沿x轴方向的正规区域那末总可以把它化分 成几块沿y轴方向的正规区域或沿x轴方向的正规区域然后根据积分的性质即可求解积分 了=∫(x2+y2)d 例题:求二重积分 ,其中(o)是的=x2,x=1=0所围成的区域。 解答:因为是正规区域,所以我们可先对y后对x积分,也可先对x后对y积分。这里我们采 用前者 先对y后对x积分
二重积分的计算法 直角坐标系中的计算方法 这里我们采取的方法是累次积分法。也就是先把 x 看成常量，对 y 进行积分，然后在对 x 进行 积分，或者是先把 y 看成常量，对 x 进行积分，然后在对 y 进行积分。为此我们有积分公式，如 下： 或 在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？ 累次积分上下限的确定方法 我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于 y 轴(或 x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿 y 轴(x 轴)方向的正规区域. 如果(σ)即是沿y 轴方向也是沿x 轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规 区域: 关于累次积分上下限的取法如下所述: (1).如果(σ)为沿 y 轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对 y 再对 x 的累次积分.其中对 y 的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数 y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数 y2(x).对 x 的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标 a 与 b. (2).如果(σ)为沿 x 轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对 x 再对 y 的累次积分.其中对 x 的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数 x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数 x2(y).对 y 的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标 c 与 d. (3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。 (4).如果(σ)既不是沿 y 轴方向的正规区域,也不是沿 x 轴方向的正规区域,那末总可以把它化分 成几块沿 y 轴方向的正规区域或沿 x 轴方向的正规区域,然后根据积分的性质即可求解积分. 例题：求二重积分 ，其中(σ)是由 所围成的区域。 解答：因为是正规区域，所以我们可先对 y 后对 x 积分，也可先对 x 后对 y 积分。这里我们采 用前者 先对 y 后对 x 积分：
d 极坐标系中的计算法 如果二重积分的被积函数和积分区域(G)的边界方程均由极坐标的形式给出,那末我们如何计算 呢?下面我们给出极坐标系中二重积分的计算公式 如果极点O在(o)的外部,区域(用不等式表示为R1(p≤R()≤s多,则积分公式如下 f /(0, B)pdadB=rIg (a, b) adade 如果极点O在(G)的内部,区域()的边界方程为p=R(O,0≤02x,则积分公式如下 ∫f( f(,的pip 如果极点O在(o)的边界上边界方程为p=R()1ss2,则积分公式如下 [s(o, adade=pf f(o, D)adode (a) 有了上面这些公式,一些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数,我们就可以 把它转化为在极坐标系中的积分即可,反之依然 注:直角坐标与极坐标的转换公式为 x= Pcosb,y=psin日 r=』(x2+y2)da 例题:求 ,其中(o是圆环a2sx2+y2sb2 解答:由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式,显然,这个二重积分化为极坐标计算比 较方便。 x=pcosB, y=p B ,do=pdpd代入,即可转化为极坐标系的积分形式。如下 ( o 在对其进行累次积分计算 d日 三重积分及其计算法 二重积分的被积函数是一个二元函数,它的积分域是一平面区域如果考虑三元函数f(x,yz)在 空间区域(V)上的积分,就可得到三重积分的概念。 三重积分的概念 设函数u=f(xy,z)在空间有界闭区域(V)任意划分成n个子域(△V)(△V2)(△V3),,(△Va)它们 的体积分别记作△V(k=1,2,,n)在每一个子域上任取一点5k,mk”5k,并作和数
极坐标系中的计算法 如果二重积分的被积函数和积分区域(σ)的边界方程均由极坐标的形式给出,那末我们如何计算 呢?下面我们给出极坐标系中二重积分的计算公式. 如果极点 O 在(σ)的外部,区域(σ)用不等式表示为 R1(θ)≤ρ≤R2(θ),α≤θ≤β,则积分公式如下: 如果极点 O 在(σ)的内部,区域(σ)的边界方程为 ρ=R(θ),0≤θ≤2π,则积分公式如下: 如果极点 O 在(σ)的边界上,边界方程为 ρ=R (θ),θ1≤θ≤θ2,则积分公式如下: 有了上面这些公式，一些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数，我们就可以 把它转化为在极坐标系中的积分即可，反之依然。 注：直角坐标与极坐标的转换公式为： 例题：求 ，其中(σ)是圆环 a 2≤x2+y2≤b2 解答：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比 较方便。 把 ，dσ=ρdρdθ 代入，即可转化为极坐标系的积分形式。如下： 在对其进行累次积分计算： 三重积分及其计算法 二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是—平面区域.如果考虑三元函数 f(x,y,z)在一 空间区域(V)上的积分，就可得到三重积分的概念。 三重积分的概念 设函数 u=f(x,y,z)在空间有界闭区域(V)任意划分成 n 个子域(△V1),(△V2),(△V3),…,(△Vn),它们 的体积分别记作△Vk(k=1,2,…,n).在每一个子域上任取一点 ，并作和数
f(k,7,5)△Vk 如果不论△V怎样划分,点(5k,mk,5k)怎样选取,当n→+x而且最大的子域直径δ0时,这 个和数的极限都存在,那末此极限就称为函数(5,m,5)在域()上的三重积分记作 J5(x,y,z)dr 即 (x,y, z)dv= lm >f(sk, mk, soAk 如果f(xyz)在域(V)上连续,那末此三重积分一定存在 对于三重积分没有直观的几何意义,但它却有着各种不同的物理意义。 直角坐标系中三重积分的计算方法 这里我们直接给出三重积分的计算公式,具体它是怎样得来的,请大家参照有关书籍 直角坐标系中三重积分的计算公式为 川(xy,2)P=(x男2a 此公式是把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题,根据我们前面所学的结论 即可求出。 xyzdv 例题:求 其中(V)是由平面x=0,y=0z=0及x+y+z=1所围成的区域 解答:把I化为先对z积分,再对y和x积分的累次积分,那末应把(v)投影到xOy平面上 求出投影域(σ,它就是 平面x+y+z=1与xOy平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域 我们为了确定出对z积分限,在(o)固定点(xy)通过此点作一条平行于z的直线它与(V) 上下边界的交 点的竖坐标:z=0与z=1-xy,这就是对z积分的下限与上限,于是由积分公式得 r=∫da 其中(o)为平面区域:x20,y20,x+y≤1,如下图红色阴影部分所示 再把(σ域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分,得
如果不论△Vk 怎样划分，点 怎样选取，当 n→+∞而且最大的子域直径 δ→0 时，这 个和数的极限都存在，那末此极限就称为函数 在域(V)上的三重积分,记作： 即： 如果 f(x,y,z)在域(V)上连续，那末此三重积分一定存在。 对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义。 直角坐标系中三重积分的计算方法 这里我们直接给出三重积分的计算公式，具体它是怎样得来的，请大家参照有关书籍。 直角坐标系中三重积分的计算公式为： 此公式是把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，根据我们前面所学的结论 即可求出。 例题：求 ，其中(V)是由平面 x=0,y=0,z=0 及 x+y+z=1 所围成的区域. 解答：把 I 化为先对 z 积分，再对 y 和 x 积分的累次积分，那末应把(V)投影到 xOy 平面上, 求出投影域(σ),它就是 平面 x+y+z=1 与 xOy 平面的交线和 x 轴、y 轴所围成的三角区域. 我们为了确定出对 z 积分限,在(σ)固定点(x,y),通过此点作一条平行于 z 的直线,它与(V) 上下边界的交 点的竖坐标：z=0 与 z=1-x-y，这就是对 z 积分的下限与上限，于是由积分公式得： 其中(σ)为平面区域：x≥0，y≥0，x+y≤1，如下图红色阴影部分所示： 再把(σ)域上的二重积分化成先对 y 后对 x 的累次积分，得：
(1-x-y)“yx 柱面坐标系中三重积分的计算法 我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法。 平面上点P可以用极坐标(p,0)来确定,因此空间中的点P可用数组(p,0z)来表示显然,空间的 点P与数组(p,0,z)之间的对应关系是一一对应关系,数组(p,0z)称为空间点P的柱面坐标它与直角 坐标的关系为: x= pcosB, y=p sinB,z 构成柱面坐标系的三族坐标面分别为: p=常数:以z轴为对称轴的同轴圆柱面族 =常数:通过z轴的半平面族 z=常数:与z轴垂直的平面族 因此,每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点,由于利用了圆柱面,所以称为柱面坐标 柱面坐标系下三重积分的计算公式为 f(x,2d=上22(ep由p/( pcosB, psin.hd 此处我们不在举例
柱面坐标系中三重积分的计算法 我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法。 平面上点 P 可以用极坐标(ρ,θ)来确定,因此空间中的点 P 可用数组(ρ,θ,z )来表示.显然，空间的 点 P与数组(ρ,θ,z)之间的对应关系是一一对应关系,数组(ρ,θ,z)称为空间点P 的柱面坐标.它与直角 坐标的关系为： 构成柱面坐标系的三族坐标面分别为： ρ=常数：以 z 轴为对称轴的同轴圆柱面族， θ=常数：通过 z 轴的半平面族， z =常数：与 z 轴垂直的平面族. 因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标。 柱面坐标系下三重积分的计算公式为： 此处我们不在举例