第三的液浪 第五节曲线的曲率 本节知识 引入 本节目的 与要求 弧微分 本节重点 与难点 二、曲率的概念 本节复习 指 曲率的计算公式 四、曲率圆与曲率半径 后退 出 第1页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 1 页 第五节 曲线的曲率 一、 弧微分 二、 曲率的概念 三、 曲率的计算公式 四、 曲率圆与曲率半径 第三章 导数的应用 后退 目录 主 页 退 出 本节知识 引入 本节目的 与要求 本节重点 与难点 本节复习 指导
第亚常“线的始 一、弧微分 勰在曲线y=f(x)上取固定点 N 本节A为度量弧长起点 M R△y M(xy)为任意一点 △x s表示AM孤瓜长 假定s是x的单调函数yxx x+dx 记为s=(x) 当Ax→0时,d→>AA=AMmN→MN 后退 第2页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 2 页 一、弧微分 R x A 0 x M x T x + dx 为度量弧长起点 在曲线 上取固定点 A y = f (x) x y o ( ) s ( , ) , s s x x s AM M x y 记为 = 假定 是 的单调函数 表示 弧长 为任意一点 第五节 曲线的曲率 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 y dy N 当x → 0时, ds →s MN = s MN → MN
第亚常“线的始 如图,当Ax→>0时, y MN=(△)2+(4y)2 △y、 =1+(4)2△r M R△ 本节 目的 △v △x 求 本节 →√1+y2dx 重点 xox x+dx x M=△→, 本节 品|MT=、(dy2+(dy=1+y2, 故ds=1+y2d 弧微分公式 ∵s=s(x)为单调增函数,故d=1+yd 第3页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 3 页 如图， 当x → 0时, 2 2 MN = (x) + (y) x x y = + 2 1 ( ) 1 , 2 → + y dx MN = s → ds, 2 2 MT = (dx) + (dy) 1 , 2 = + y dx 1 . 2 故 ds = + y dx s = s(x)为单调增函数, 1 . 2 故 ds = + y dx 弧微分公式 第五节 曲线的曲率 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导 R x A 0 x M x T x + dx x y o y dy N
第亚常“线的始 例1求抛物线y=2x2-3x+4的弧微分 本节 知识 引入 解由弧微分公式得 本节 目的 求 本节 ds=、1+()3a=h+(4x-3)hr 重点 与难 点 =16x2-24x+10d 本节 指导 后退 第4页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 4 页 例1 求抛物线 2 3 4 2 y = x − x + 的弧微分 解 由弧微分公式得 ds dx dx dy 2 = 1+ ( ) x dx 2 = 1+ (4 − 3) 16x 24x 10dx 2 = − + 第五节 曲线的曲率 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第亚常“线的始 二、曲率的概念 本节 知识 .曲率的定义 本节 婴曲率是描述曲线局部性质(弯曲程度)的量。 求 本节 重点 2 与难 △a ∠N 点 △S △ M 本节 M △S △S,丿N 指导 M △a 弧段弯曲程度 转角相同弧段越 后退 越大转角越大 短弯曲程度越大 第5页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 5 页 二、曲率的概念 曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。 M1 M3 2 M2 S2 S1 M M S1 S2 N N 弧段弯曲程度 越大转角越大 转角相同弧段越 短弯曲程度越大 1.曲率的定义 1 第五节 曲线的曲率 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第亚常“线的始 设曲线C是光滑的, Mn是基点Mr=△s M 品|M→M切线转角为2,DSMC a+△a 定义 X 本节 弧段MM的平均曲率为K= △c 点 △ 本节 曲线C在点M处的曲率K=1△c △s→>0△s 在lm=存在的条件下,K=(a △→>0△sds ds 士页下页返回 第6页
上页 下页 返回 第 6 页 + S S ) . M. M C M0 y o x . s MM K = 弧段 的平均曲率为 设曲线C是光滑的， . M0 是基点 MM = s, M → M 切线转角为 . 定义 s K s = →0 曲线C在点M处的曲率 lim lim , 0 在 存在的条件下 ds d s s = → . ds d K = 第五节 曲线的曲率 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第亚常“线的始 本节 注意 知识 引入 本节 目的 (1)直线的曲率处处为零; 求 本节 重点 与难 点 (2)圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 本节 半径越小曲率越大 指导 后退 士页下页返回 第7页
上页 下页 返回 第 7 页 注意: (1) 直线的曲率处处为零; (2) 圆上各点处的曲率等于半径的倒数,且 半径越小曲率越大. 第五节 曲线的曲率 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第亚常“线的始 三、曲率的计算公式 本节 知识 引入 设=(x阶可导,ng=y, 求 本节 有a= arctan y',da=,y,d 点 1 本节 指导 d=1+y2x. ∴k= (1+y2) 后退 第8页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 8 页 三、曲率的计算公式 设y = f (x)二阶可导, tan = y , 有 = arctan y , , 1 2 dx y y d + = 1 . 2 ds = + y dx . (1 ) 2 3 2 y y k + = 第五节 曲线的曲率 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第亚常“线的始 本节 设 x=(t), 二阶可导, 知识 y=y(t), 引入 本节 目的 yW(t)d2yg'()y"()-g"(o)y() 求 dx p(t) 3(1) 本节 重点 与难 点 本节 k=lp(ty(t)-"(t)y'(t) 指导 p2(t)+y2(r)2 后退 士页下页返回 第9页
上页 下页 返回 第 9 页 , ( ), ( ), 设 二阶可导 = = y t x t . [ ( ) ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 2 t t t t t t k + − = , ( ) ( ) t t dx dy = . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 3 2 t t t t t dx d y − = 第五节 曲线的曲率 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导
第亚常“线的始 例2抛物线y=ax2+bx+c上哪一点的曲率最大? 飘解y=2ax+b,y"=2a, 本节 目的 2a ∴k= 求 本节 +(2ax+b)]2 重点 与难 点 本节 显然,当x= b 时,k最大. 2a 指导 又∵∷( b2 b2-4ac、 )为抛物线的顶点, 4a 后退 抛物线在顶点处的曲率最大 第10页 士页下页返回
上页 下页 返回 第 10 页 例2 ? 抛物线 y = ax2 + bx + c 上哪一点的曲率最大 解 y = 2ax + b, y = 2a, . [1 (2 ) ] 2 2 3 2 ax b a k + + = 显然, , 2 当 时 a b x = − k最大. ) , 4 4 , 2 ( 2 又 为抛物线的顶点 a b ac a b − − − 抛物线在顶点处的曲率最大. 第五节 曲线的曲率 后退 目录 主 页 退 出 本节 知识 引入 本节 目的 与要 求 本节 重点 与难 点 本节 复习 指导