而(0，-1)是一个焦点或中心。又由于原系统有一个解析的首次积分 F,0=2+y-3 因此(0，一1)是一个中心，否则从该点邻域中出发的轨道都跑到该点，这样得到F(红， 在(0，-1)的某邻域是一个常数，矛盾。 由于(0，一1)是一个中心，因而稳定而非渐近稳定。 四(15分)、阐述在某区域？cR+1上连续可微的n阶常微分方程组 空=g () 的通解与函数独立的首次积分之间的关系，并给出你结论的证明。 证：通解与函数独立的首次积分之间的关系如下： 1.假设 y=(z,c),x∈J 是原方程的通解。由隐函数存在定理从函数方程 o(z,c)=y 解出唯一的连续可微的解 c=V(r,y). 则V(z,y)中的n个函数是函数独立的首次积分.因为 (x,V(a,y)≡y,(x,)∈G0, (2) 所以对该函数方程两边关于y求导数可得 -(ar）)4a 这就证明了V中的n个函数是函数独立的.对函数方程（②）两边关于x求导数得 所以 ](0, −1) ¥òá￾:½•%"qduX⁄kòá)¤ƒg»© F(x, y) = 1 2 x 2 + y − 1 3 y 3 œd (0, −1) ¥òá•%߃KlT:ç•—u;—T:ߢ F(x, y) 3 (0, −1) ,ç¥òá~ÍßgÒ" du (0, −1) ¥òá•%ßœ ­½ öÏC­½" o £15©§!„3,´ç Ω ⊂ R n+1 ˛ÎYåá n ~á©êß| dy dx = f(x, y), (1) œ)ܺ͒·ƒg»©Ém'Xßøâ—\(ÿy²" yµœ)ܺ͒·ƒg»©Ém'XXeµ 1. b y = φ(x, c), x ∈ J. ¥êßœ)"d¤ºÍ3½nlºÍêß φ(x, c) = y )—çòÎYåá) c = V(x, y). K V(x, y) • n áºÍ¥ºÍ’·ƒg»©. œè φ(x, V(x, y)) ≡ y, (x, y) ∈ G0, (2) §±ÈTºÍê߸>'u y ¶Íå det ∂V ∂y =  det ∂φ ∂c −1 6= 0. ˘“y² V • n áºÍ¥ºÍ’·. ȺÍêß (2) ¸>'u x ¶Í ∂φ ∂c   ∂V1 ∂x . . . ∂Vn ∂x   =   − ∂φ1 ∂x . . . − ∂φn ∂x   =   −f1 . . . −fn   , §±   ∂V1 ∂x . . . ∂Vn ∂x   =  ∂φ ∂c −1   −f1 . . . −fn   = ∂V ∂y   −f1 . . . −fn   . 4