COSx sinx *+4r+5: 6 解1)由于被积函数的分母5+3sin在0≤≤2丌内不为零,因而积分有意义。 1 dz 2 13=2+10-3=2nRes( 2 6z+10i 2)由于被积函数的分母a+bc0s6在0≤≤2丌内不为零,因而积分有意义。 -a+ z2+1 22(bx2+2a2+b) d==2riReslf(z),0+Res[f() a+ 又Res[f(=)0]= (-1+22)a+3a2+b(3+2) (6+2az+bz) esf(z), b 4(b+3a+2bz2)-a--b b 故=(a-a2-b2) 3)函数()=1 (1+-)在上半平面内只有2级极点i,且 Reslf(=), 1]=lim -(=-1)f(a)=lim 2 d(x+i)(2i)4 (1+x2)2 dx= 2Ti Reslf(=),i] 4)注意到被积函数为偶函数 dx x=一 dx 1+x4 函数f()=,4在上半平面内只有一级极点e4,e4,且 Res[f(二) Res[f(二) 4--4z3 1 故=2zi(Res[(x),]+Res[f(),,])= 5)对于I= dx,令R(=)= 2+42+5 则z=-2+i为上半平面内的R(=)的一级极 x2+4x+54） 2 4 0 1 x dx x +∞ + ∫ ； 5） 2 cos 4 5 x dx x x +∞ −∞ + + ∫ ； 6） 2 sin 1 x x dx x +∞ −∞ + ∫ 。 解 1）由于被积函数的分母5 3 + sinθ 在0 ≤ θ ≤ 2π 内不为零，因而积分有意义。 2 2 | | 1 | | 1 i 3 1 2 2 iRes[ ( ), ] 1 i 3 10i 3 5 3 2i 2 2 i 6 +10i 2 z z z dz I dz z z z z z z π π π = = =− = = = − + − + = = v v ∫ ∫ i 3 f z − 2）由于被积函数的分母 a b + cosθ 在0 ≤ ≤ θ 2π 内不为零，因而积分有意义。 2 2 2 2 2 2 2 2 2 | | 1 | | 1 1 ( ) i( 1) 2i 2 i{Re [ ( ),0] Res[ ( ), ]} 1 i 2 ( 2 ) 2 z z z dz z a a b z I dz s f z z z z bz az b b a b z π = = − − − = = = + + + + + v v ∫ ∫ f z + − 又 2 2 2 2 2 2 0 ( 1 )( 3 (3 )) i Res[ ( ),0] ( 2 ) z z a az bz z a f z b az bz b = − + + + + = = + + − ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 i( 1) i Res[ ( ), ] 4 ( 3 2 ) a a b z b a a b z a b f z b z b az bz − + − b = − + − − − = = + + 故 2 2 2 2 I ( ) a a b b π = − − 。 3）函数 2 2 1 ( ) (1 ) f z z = + 在上半平面内只有 2 级极点i ，且 2 2 3 i i 1 2 Res[ ( ),i] lim ( i) ( ) lim z z ( i) (2i) 4 d d f z z f z → → dz dz z = − = = − = + i − ， 故 2 2 1 (1 ) dx x +∞ −∞ + ∫ ＝ 2 iRes[ ( ),i] 2 f z π π = 。 4）注意到被积函数为偶函数， 2 2 4 4 0 1 1 2 1 x x I dx dx x x +∞ +∞ −∞ = = + + ∫ ∫ 函数 2 4 ( ) 1 z f z z = + 在上半平面内只有一级极点 i 3 i 4 4 e e, π π ，且 i 4 2 3 i 1 i Res[ ( ), ] 4 4 4 2 z e z f z z π π = − = = 3 i 4 2 3 3 i 1 i Res[ ( ), ] 4 4 4 2 z e z f z z π π = + ； = = − 故 1 i 3 i 2 i(Res[ ( ), ] Res[ ( ), ]) 2 4 4 2 2 I f z f z π π π = + π = 。 5）对于 i 2 4 5 x e I dx x x ∞ −∞ = + + ∫ ，令 ( ) 2 1 4 5 R z z z = + + ，则 z = − +2 i 为上半平面内的 R(z)的一级极 - 7 -