点,故有:Res[R()e2 e(sin 2+Icos 2 则原积分=Re{2 Ti Res{R(=)e,-2+il}= ze cos2。 6)对于I= +ah,令阳)=,三,则:=为上半平面内的R)的一级极点,故有: (+k2,=lin(=-i 1=2zRes2,l=m2i,则原积分=lm(l}=rel 4.试用下图中的积分路线,求例4中的积分:” sinx1+smx,采用e/z沿如如图所示闭曲线来计算上式右端的积分(二=0为e/ 的一级极点,且在实轴上)。由 Cauchy基本定理,有 RI R R 第14题图 x 令x=-1,则有 dx dx,所以「dx dx R Sinx R 又[两[+R24厂2,知加m=0, dy≤ 理 R R2+y2 R m 和例4采用同样的方法得到 +∞slnx 故2i 甲xd=z 15.利用公式(541)计算下列积分 2) dz= 2点，故有： ( ) i 1 i 2 i (sin 2 i cos 2) Res ,i 2 4 2 z z z e e R z e z − =− + + ⎡ ⎤ = = − ⎣ ⎦ + ， 则原积分＝ 。 i 1 Re{2 iRes[ ( ) , 2 i]} cos 2 z π π R z e e− − + = 6）对于 i 2 1 x xe I dx x ∞ −∞ = + ∫ ，令 ( ) 2 1 z z R z + = ，则 z = i 为上半平面内的 R(z)的一级极点，故有： [ ] ( ) ( )( i)( i) 2 Res ,i lim i i 1 i i − → = − + = − e z z ze R z e z z z z 2 iRes[ ( ) ,i] i i −1 I = R z e = e z π π ，则原积分 1 Im{I} πe− = = 14．试用下图中的积分路线，求例 4 中的积分： 0 sin x dx x +∞ ∫ 。 解 0 sin 1 sin 2 x x dx dx x x +∞ +∞ −∞ = ∫ ∫ ，采用 沿如如图所示闭曲线来计算上式右端的积分（ 为 的一级极点，且在实轴上）。由 Cauchy 基本定理，有 i / z e z z = 0 i / z e z 第 14题 图 −R −r r R y O x R i Cr i i i i i i i i i i 0 r z x z z z x R R R R R R r C r R R R R R R e e e e e e dz dx dz dz dz dx z x z z z x + − + − − + − + − + + + + + ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ = ， 令 x = −t ，则有 i - x x r R R r e e dx dx i x x − − = − ∫ ∫ ，所以 i i sin 2i x x R r R r R r e e dx dx dx x x x x − − + = ∫ ∫ ∫ 。 又 i i( i) - i - i 2 2 2 i z x R R R R R R R R R R R e e e dz dx dx e z x R x R + − + − − + = ≤ + + ∫ ∫ ∫ ≤ ，知 i i i lim 0 z R R R R R e dz z − + →+∞ + = ∫ ； i i( i ) - i 0 0 2 2 1 i i z R y y R R R R R e e e dz dy dy z R y R y R e R + − + − = ≤ ≤ + + ∫ ∫ ∫ ，同理 i i 1 z R R R R e e dz z R − − − + − ≤ ∫ ，知 i i i i lim 0 z z R R R R R R R e e dz dz z z + − →+∞ − + ⎧ ⎫ ⎨ ⎬ + = ⎩ ⎭ ∫ ∫ 和例 4 采用同样的方法得到 i 0 lim i r z r C e dz z π → = − ∫ 。 - 8 - 故 + 0 sin 2i i x dx x π ∞ = ∫ ，即 0 sin 2 x dx x +∞ π = ∫ 。 15．利用公式（5.4.1）计算下列积分： 1） | | 3 1 2 i z dz z π = = v∫ ； 2） 2 | | 3 2 i 1 z z dz z π = = − v∫ ；