3)∮ tan d=-4xi dz=0 32(z+1) 16.设C为区域D内的一条正向简单闭曲线,二0为C内一点。如果f(=)在D内解析,且∫(=0)=0, f(=0)≠0。在C内∫()无其他零点。试证 f(=) dz 2Ti f(= 证(-)在C内只有一级零点0,了()(-0)()三0/(=) ,知二0为函数 (二-20)f() f∫(=) 可去奇点,故由留数定理和(541)知 f(=) (-=0)f(=),1x=0f() =0+二。= f() f(=) f(=) 17.若q()在C1=1上及其内部解析,且在C上|()k1,证明在C内只有一个点使q(=0)=-0 证令(=)=-,则在C上,(=)=1,而p()<1,故由路西定理,知方程二=q(=)与方程f(=)=0 在C内有相同个数的根,从而(=)=在=k1只有一根 证明:当l>e,则方程e=a"在圆|=|=1内有n个根。 证设∫(=)=-a2,g()=e,在s1内均解析,且当|=|=1时,|-a"H-a|="Hal, le s≤e而l>e, 故|()H-a” Haple'g()。 根据路西定理知,f(=)与f(2)+g(=)在C1内的零点个数相同,即e=a"的根的个数与-a”=0的根的 个数相同,即为n。 19.证明方程7-x3+12=0的根都在圆环域14kK2内 证当<2时,取f(=)==2,g(=)=12-=3,当==2时 g(=)=12-=1512+25204=Hf) 所以z7-z3+12=0的根的个数与z的根的个数相同,因此,z-x3+12=0的根全部在=2的内部。 当1k1时,取()=12,g8()=2-23,当1=1时,(>2+122-1-g(),故2-2+12=0的 根与f()=12的根的个数相同,即在=1内无根,综上所述,二2-=3+12=0的根全在142内3） | | 3 tan 4 i z zdz π = = − v∫ ； 4） | | 3 1 0 ( 1) z dz z z = = + v∫ 。 16．设 C 为区域 D 内的一条正向简单闭曲线， 0 z 为 C 内一点。如果 f (z) 在 D 内解析，且 0 f z( ) = 0 ， f z'( 0 ) ≠ 0 。在C 内 f (z)无其他零点。试证： 0 1 '( ) 2 i ( ) C zf z dz z π f z = v∫ 。 证 f (z) 在C 内只有一级零点 0 z ，而 0 0 '( ) ( ) '( ) '( ( ) ( ) ( ) zf z z z f z z f z) f z f z f z − = + ，知 0 z 为函数 0 ( ) '( ( ) z z f z f z − ) 的 可去奇点，故由留数定理和（5.4.1）知 0 0 0 0 1 '( ) 1 ( ) '( ) 1 '( ) 0 2 i ( ) 2 i ( ) 2 i ( ) C C C zf z z z f z z f z dz dz dz z z π π f z f z π f z − = + = v v ∫ ∫ v∫ + = 。 17．若ϕ (z) 在C z :| |=1上及其内部解析，且在C 上|ϕ (z)|<1，证明在C 内只有一个点 0 z 使 ( ) 0 0 ϕ z z = 。 证 令 f ( )z = −z ，则在C 上， f z( ) =1，而 ϕ(z) < 1，故由路西定理，知方程 z = ϕ (z) 与方程 f z( ) = 0 在C 内有相同个数的根，从而ϕ ( )z z = 在| z |< 1只有一根。 18．证明：当 a > e，则方程 在圆| | z n e = az z =1内有 n 个根。 证 设 f ( )z = −az n ，g( )z = ez ，在 z ≤1内均解析，且当| z |= 1时，| −az n |=| −a | z n |=| a |，| ez |= ecosϕ ≤ e 而 a > e， 故| f ( )z | | az | | a | | e | | g(z)| n z = − = > = 。 根据路西定理知， f (z) 与 f (z) + g(z) 在C :| z |= 1内的零点个数相同，即 的根的个数与 的根的 个数相同，即为 n。 z n e = az − = 0 n az 19．证明方程 z 7 − z3 +12 = 0的根都在圆环域1 ≤| z |≤ 2 内。 证 当 z < 2时，取 f ( )z = z7 ， g( )z =12 − z3 ，当| z |= 2 时， ( ) 12 12 20 | | | ( )| 3 3 7 g z = − z ≤ + z ≤ < z = f z 所以 z 7 − z3 +12 = 0的根的个数与 7 z 的根的个数相同，因此， z 7 − z3 +12 = 0的根全部在|z|=2 的内部。 当| z |<1时，取 f ( )z = 12 ，g( )z = z 7 − z3 ，当| z |=1时， ( ) 7 f z > z + z ≥ z − z = g(z) 3 7 3 ，故 的 根与 的根的个数相同，即在 12 0 7 3 z − z + = f ( )z = 12 z =1内无根，综上所述， z 7 − z3 +12 = 0的根全在1 ≤| z |≤ 2 内。 - 9 -