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.546 北京科技大学学报 第29卷 由△u(i)=u(i十1)一u(i),式(23)表示为： w(i+g+1)N) w((i+q)N) u(i+1)N) u(iN) w(i+g+1)N+N-2) w((i+q)N+N-2) u((i+1)N+N-2) u(iN+N-2) w(i+g+2)N-1) w(i+g+1)N-1) 因此得到以下定理（本文的主要结果）， u(i+2)N-1) u((i+1)N-1)y 定理3如果代数Riccati方程(21)有半正定解 K) K) P,那么最优预见控制器由式(28)给出，这里， K K e(i)+ △x(i)+ K9,KY,M2(g)和M(q)由式(17)~(22)， (24),(26)和(27)确定 KN-1) KN-1) 由此看出，多重采样最优控制器由五部分组成： M (q) 第一部分是N步以前的输入；第二部分是跟踪误差 M (q) 的积分，跟踪误差也是慢速测量的；第三部分是慢速 △r(itq)+ 采样的状态反馈，由状态向量的相邻两次检测量的 差确定；第四部分是目标值预见补偿；第五部分是干 MN-D(q) 扰预见补偿 M(q) 5代数Riccati方程的可解性 M (q) △w(i十q) 如果(A,B)可镇定且(Q2,A)可检测，那么代 MN-(g）】 数Riccati方程(21)一定存在半正定稳定化解9]. 定理1己给出了(A,B)可镇定的充分必要条件，此 可进一步分开写为： 处研究(Q2,A)的可检测性. u((i+1)N+j)=u(iN+j)+Ke(i)+ 00 a)+空0gai+g+ 定理4若Q-0。且0>0，则(Q, A)可检测（可观测）的充分必要条件是(C,A)(即 之(gaw(+g） (C,A))可检测（可观测） 证明由PBH判别法山知(Q2,A)可检测 i=0,1,2,j=0,1,2,…,N-1 (25) 的充分必要条件是：对任意满足|入≥1的复数入， 再划分M(g)和M(g)如下： 矩阵 M(g)=[MB(q)M(g)…M-1(g)] (1-λ)1 (26) M(g)=[Mb(g）M(q）…M-1(q)] 0 0 (27) 0 0 并注意到()与()的结构，得到： (1-)1 0 AN-N u((i+1)N+j)=u(iN+j)+Ke(iN)+ 0 (29) K[x(i+1)N)-x(iN)]+ 0 含(ga+g+合(gar(+g. 列满秩.由于Q>0,所以由式(29)看出：当且仅当 =0,1,2,j=0,1,2,…,N-1(28) A-N 列满秩.证毕 这里， 结合定理1和定理4，即得如下定理 △r(计q)=r(i计q+1)-r(计q)= 定理5如果(A,B)可镇定、(C,A)可检测 r(+g+1)N)-r(+g)N), 且Q2>0,而且矩阵 A-I B C0行满秩，则代数 △w(i+q)=w(i计q十1)-w(i+q)= Riccati方程(2l)有半正定稳定化解P.由Δu（ i）＝ u（ i＋1）— u（ i）式（23）表示为： u（（ i＋1） N） u（（ i＋1） N＋ N—2） u（（ i＋2） N—1） — u（ iN） u（ iN＋ N—2） u（（ i＋1） N—1） ＝ K （0） e K （1） e K （ N—1） e e（ i）＋ K （0） x K （1） x K （ N—1） x Δx（ i）＋ ∑ S r q＝0 M （0） r （ q） M （1） r （ q） M （ N—1） r （ q） Δr（ i＋q）＋ ∑ S d q＝0 M （0） d （ q） M （1） d （ q） M （ N—1） d （ q） Δw（ i＋q） 可进一步分开写为： u（（ i＋1） N＋ j）＝ u（ iN＋ j）＋ K （ j） e e（ i）＋ K （ j） x Δx（ i）＋ ∑ S r q＝0 M （ j） r （ q）Δr（ i＋q）＋ ∑ S d q＝0 M （ j） d （ q）Δw（ i＋q） i＝012…；j＝012…N—1 （25） 再划分 M （ j） r （ q）和 M （ j） d （ q）如下： M （ j） r （ q）＝［ M （ j） r0（ q） M （ j） r1（ q） … M （ j） rN—1（ q）］ （26） M （ j） d （ q）＝［ M （ j） d0（ q） M （ j） d1（ q） … M （ j） dN—1（ q）］ （27） 并注意到 ＾w（ i）与 ＾r（ i）的结构得到： u（（ i＋1） N＋ j）＝ u（ iN＋ j）＋ K （ j） e e（ iN）＋ K （ j） x ［ x（（ i＋1） N）—x（ iN）］＋ ∑ S r q＝0 M （ j） r （ q）Δr（ i＋q）＋ ∑ S d q＝0 M （ j） d （ q）Δw（ i＋q） i＝012…；j＝012…N—1 （28） 这里 Δr（ i＋q）＝ r（ i＋q＋1）— r（ i＋q）＝ r（（ i＋q＋1） N）— r（（ i＋q） N） Δw（ i＋q）＝w（ i＋q＋1）—w（ i＋q）＝ w（（ i＋ q＋1） N） w（（ i＋ q＋1） N＋ N—2） w（（ i＋ q＋2） N—1） — w（（ i＋ q） N） w（（ i＋ q） N＋ N—2） w（（ i＋ q＋1） N—1） ． 因此得到以下定理（本文的主要结果）． 定理3 如果代数 Riccati 方程（21）有半正定解 P那么最优预见控制器由式 （28） 给出．这里 K （ j） e K （ j） x M （ j） rt （ q）和 M （ j） dt （ q）由式（17）～（22） （24）（26）和（27）确定． 由此看出多重采样最优控制器由五部分组成： 第一部分是 N 步以前的输入；第二部分是跟踪误差 的积分跟踪误差也是慢速测量的；第三部分是慢速 采样的状态反馈由状态向量的相邻两次检测量的 差确定；第四部分是目标值预见补偿；第五部分是干 扰预见补偿． 5 代数 Riccati 方程的可解性 如果（＾A＾B）可镇定且（ Q 1／2＾A）可检测那么代 数Riccati 方程（21）一定存在半正定稳定化解［9］． 定理1已给出了（＾A＾B）可镇定的充分必要条件此 处研究（ Q 1／2＾A）的可检测性． 定理4 若 Q＝ Qe 0 0 0 且 Qe＞0则（ Q 1／2 ＾A）可检测（可观测）的充分必要条件是（ CA）（即 （CA N ））可检测（可观测）． 证明 由 PBH 判别法［11］ 知（ Q 1／2＾A）可检测 的充分必要条件是：对任意满足｜λ｜≥1的复数 λ 矩阵 ＾A—λI Q 1／2 ＝ （1—λ） I C 0 A—λI Q 1／2 e 0 0 0 ＝ （1—λ） I C 0 A N—λI Q 1／2 e 0 0 0 （29） 列满秩．由于 Qe＞0所以由式（29）看出：当且仅当 A N—λI C 列满秩时 ＾A—λI Q 1／2 列满秩．证毕． 结合定理1和定理4即得如下定理． 定理5 如果（ AB）可镇定、（ CA N ）可检测 且 Q 1／2 e ＞0而且矩阵 A— I B C 0 行满秩则代数 Riccati 方程（21）有半正定稳定化解 P． ·546· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷