D0I:10.13374/1.issnl00103.2007.05.022 第29卷第5期 北京科技大学学报 Vol.29 No.5 2007年5月 Journal of University of Science and Technology Beijing My2007 多重采样离散时间系统的最优预见伺服控制器设计 廖福成)刘贺平) 1)北京科技大学应用科学学院，北京1000832)北京科技大学信息工程学院，北京100083 摘要研究了具有多重采样特点的离散时间控制系统，对这类系统给出了一种最优预见控制器的设计方法·首先利用离散 时间系统提升技术，把多重采样离散时间系统转化成单一采样的扩大系统·然后利用构造扩大误差系统的方法引入积分器. 再对扩大误差系统应用通常的线性二次型最优预见伺服系统设计方法设计控制器，从而得到原系统的多重采样最优预见控 制器. 关键词伺服系统：预见控制：采样控制；离散提升技术：代数Riccati方程 分类号TP273 预见控制是充分利用已知的未来目标值信号或 为一个标准的预见控制问题；然后利用预见控制理 未来干扰信号的信息来改善闭环系统品质的控制技 论的结果得到带有预见前馈补偿的控制器 术.继Tomizuka的开创性工作之后山，人们在预见 控制方面进行了大量的研究.近40年来，带有预见 1问题的表述及假设 补偿的线性二次型(LQ)最优控制问题得到了深入 考虑具有时滞的线性离散时间系统如下： 研究2].近年来，又有学者把H∞控制的思想引入 x(k+1)=Ax(k)+Bu(k)+Ew(k)(1a) 预见控制研究中，用于考察系统的鲁棒性8]. y(k)=Cx(k)十Du(k) (1h) 有关预见控制的研究大都是针对单一采样的常 其中，x(k)∈R”是状态向量，u(k)∈Rm是输入向 系数离散时间系统的，而在一些实际问题中，用单 量，w(k)∈R是干扰向量，y(k)∈R”是输出向 一的采样间隔处理所有信息往往不完全符合实际， 量，A、B、E、C和D是相应维数的实常数矩阵.设 通过传感器检测到系统的状态量或输出量的速度较 目标值信号为r(k)· 慢，从而采样过程是慢速采样，而实际系统变量往往 下面的假设是关于伺服系统设计的标准假 是连续变化的，需要快速采样，这就是多重采样系 设3 统·对这类系统，需要设计出的适合多重采样特点 假设1(A,B)可镇定且(C,A)可检测 的控制器应该比单一采样控制器有更好的性质，例 假设2矩阵C行满秩， 如它应该能提供巧妙地处理控制输入的更大自由 注意：由(A,B)可镇定可知[A一IB]行满 度 A-I B 文献[9]利用离散提升技术，把多重采样系统 秩，故由假设1和假设2可推出矩阵 行 L C D 转化为状态向量维数较高的一个单一采样系统，使 满秩，这也是关于伺服系统设计的标准假设]，由 问题得到解决).然而，文献[9]的方法不适用于 于是多重采样系统，所以要求比一般伺服系统要高， 无时滞多重采样系统，因为对这样的系统，文献[9] 多重采样特点由下面假设给出， 的假设6不成立，且按文献[9]的方法无法引入目标 假设3状态向量x(k)和输出向量y(k)仅在 值预见，本文考虑了这样一类离散时间系统，研究 k=N(=0,1,2,…)时能被测量，这里N是一个 其LQ最优预见伺服控制器的设计，假设目标值信 正整数， 号和干扰信号都是可预见的，首先利用离散提升技 为了理解假设3如何反映控制系统的多重设置 术，把多重采样预见控制问题转化成单一采样的预 的特征，考虑如下连续时间系统： 见控制问题；再通过构造扩大误差系统，把问题转化 (t)=Acx()+Bcu(t) 收稿日期：2006-02-24修回日期：2006-09-19 y(t)=Cex(t) 基金项目：国家自然科学基金资助项目(Na.10671011) 输入向量(t)通过保持装置在快速采样间隔 作者简介：廖福成(1957-)男，教授 △内产生，而状态向量x(t)和输出向量y(t)则只
多重采样离散时间系统的最优预见伺服控制器设计 廖福成12） 刘贺平2） 1） 北京科技大学应用科学学院北京100083 2） 北京科技大学信息工程学院北京100083 摘 要 研究了具有多重采样特点的离散时间控制系统对这类系统给出了一种最优预见控制器的设计方法．首先利用离散 时间系统提升技术把多重采样离散时间系统转化成单一采样的扩大系统．然后利用构造扩大误差系统的方法引入积分器． 再对扩大误差系统应用通常的线性二次型最优预见伺服系统设计方法设计控制器从而得到原系统的多重采样最优预见控 制器． 关键词 伺服系统；预见控制；采样控制；离散提升技术；代数 Riccati 方程 分类号 TP273 收稿日期：2006-02-24 修回日期：2006-09-19 基金项目：国家自然科学基金资助项目（No．10671011） 作者简介：廖福成（1957—）男教授 预见控制是充分利用已知的未来目标值信号或 未来干扰信号的信息来改善闭环系统品质的控制技 术．继 Tomizuka 的开创性工作之后［1］人们在预见 控制方面进行了大量的研究．近40年来带有预见 补偿的线性二次型（LQ）最优控制问题得到了深入 研究［2—7］．近年来又有学者把 H∞控制的思想引入 预见控制研究中用于考察系统的鲁棒性［8］． 有关预见控制的研究大都是针对单一采样的常 系数离散时间系统的而在一些实际问题中用单 一的采样间隔处理所有信息往往不完全符合实际． 通过传感器检测到系统的状态量或输出量的速度较 慢从而采样过程是慢速采样而实际系统变量往往 是连续变化的需要快速采样这就是多重采样系 统．对这类系统需要设计出的适合多重采样特点 的控制器应该比单一采样控制器有更好的性质例 如它应该能提供巧妙地处理控制输入的更大自由 度． 文献［9］利用离散提升技术把多重采样系统 转化为状态向量维数较高的一个单一采样系统使 问题得到解决［10］．然而文献［9］的方法不适用于 无时滞多重采样系统．因为对这样的系统文献［9］ 的假设6不成立且按文献［9］的方法无法引入目标 值预见．本文考虑了这样一类离散时间系统研究 其 LQ 最优预见伺服控制器的设计．假设目标值信 号和干扰信号都是可预见的首先利用离散提升技 术把多重采样预见控制问题转化成单一采样的预 见控制问题；再通过构造扩大误差系统把问题转化 为一个标准的预见控制问题；然后利用预见控制理 论的结果得到带有预见前馈补偿的控制器． 1 问题的表述及假设 考虑具有时滞的线性离散时间系统如下： x（ k＋1）＝ Ax（ k）＋Bu（ k）＋ Ew（ k） （1a） y（ k）＝Cx（ k）＋ Du（ k） （1b） 其中x（ k）∈R n 是状态向量u（ k）∈R m 是输入向 量w（ k）∈R l 是干扰向量y（ k）∈R p 是输出向 量．A、B、E、C 和 D 是相应维数的实常数矩阵．设 目标值信号为 r（ k）． 下面的假设是关于伺服系统设计的标准假 设［3］． 假设1 （ AB）可镇定且（CA）可检测． 假设2 矩阵 C 行满秩． 注意：由（ AB）可镇定可知 ［ A— I B］ 行满 秩故由假设1和假设2可推出矩阵 A— I B C D 行 满秩这也是关于伺服系统设计的标准假设［3］．由 于是多重采样系统所以要求比一般伺服系统要高． 多重采样特点由下面假设给出． 假设3 状态向量 x（ k）和输出向量 y（ k）仅在 k＝ iN（ i＝012…）时能被测量这里 N 是一个 正整数． 为了理解假设3如何反映控制系统的多重设置 的特征考虑如下连续时间系统： x · （ t）＝ Ac x（ t）＋Bc u（ t） y（ t）＝Cc x（ t） 输入向量 u（ t）通过保持装置在快速采样间隔 Δ内产生而状态向量 x（ t）和输出向量 y（ t）则只 第29卷 第5期 2007年 5月 北 京 科 技 大 学 学 报 Journal of University of Science and Technology Beijing Vol．29No．5 May2007 DOI:10．13374／j．issn1001－053x．2007．05．022
第5期 廖福成等：多重采样离散时间系统的最优预见伺服控制器设计 .543. 能以较慢速度采样，即只在N△时采样，有：u(t)= [AEw(iN)+Ew(iN+1)]. u(k)(当t=k△十0,0≤0长△，k=0,1,2,…).定 类推得： 义x(k)=x(k△)，y(k)=y(k△)，则此系统的快速 x(iN+j)=Ax(iN)+[ABu(iN)+ 采样部分的离散化模型为： A-2Bu(iN+1)+.+ x(k十1)=Ax(k)十Bu(k) ABu(iN+j-2)+Bu(iN+j-1)]+ y(k)=Cx(k) [A Ew(iN)+Ai2Ew(iN+1)+ 其中，A=,B=e公Bdr,C=C明 ...+AEw(iN+j-2)+Ew(iN+j-1)] (j=1,2,…N), 显地，状态向量和输出向量在N△时刻才有采样 即： 值，分别为x(N)和y(iN),(i=0,1,2,…),它们 x(iN+j)= 通过原连续时间系统的相应量表示就是x(W△)和 u(iN) y(W△)·基于此，今后称系统(1)为快速采样系 统 Ax(iN)+[AB ..AB B u(iN+j-2) 假设目标值信号和干扰信号是可预见的 L u(iN+j-1) 假设4在当前时刻k,目标值信号的未来值 w(iN) r(k),r(k十l),,r(k十h)是已知的，这里h是 预见步数，设h=S.N;在当前时刻k,干扰信号的 [A1E… AE E w(iN+j-2) 未来值w(k),w(k+1),…,w(k十h)是已知的， Lw(iN+j-1) 这里ha是预见步数，并设h:=SaN,并假定r(k) (j=1,2,…,N) (4) 和w(k)都是阶跃信号， 特别，当=N时有： 作为多重采样系统，还需要假设 x((i+1)N)=Ax(iN)+ 假设5（C,A)可检测. u(iN) 定义误差信号 e(k)=y(k)一r(k) (2) [AN-B...AB B] u(iN+N-2) 希望设计一个1型伺服控制器，使输出向量y(k)无 u((i+1)N-1) 静态误差地跟踪目标值信号r(k),即： w(iN) lime()=lim[y()-r(k)]=0 (3) [A-1EAEE] (5) 2扩大误差系统的推导 w(iN+N-2) w((i+1)N-1) 把多重采样预见控制问题转化成单一采样间隔 进一步，引入向量 的预见控制问题的主要思想是：利用在预见控制理 x(i)=x(iN)∈R, 论中常用的扩大误差系统方法，将系统(1)转化成一 u(iN) 个扩大误差系统， 2.1多重采样系统的离散提升 u(i)= ∈Rm, u(iN+N-2) 根据假设3，状态向量x(k)仅在k=N(i=0, Lu((i+1)N-1) 1,2,…)时能被测量，因而，如果k≠iV,x(k)便不 w(iN) 能被用于状态反馈，为了克服这一困难，采用离散 提升技术[10，即通过扩大输入向量和干扰向量的规 w()= ∈RM w(iN+N-2) 模，得到系统的以x(iN)为状态向量的一个表示， w((i+1)N-1) 利用式(1)得到： 和矩阵 x(iN+1)=Ax(iN)+Bu(iN)+Ew(iN), x(iN+2)=Ax(iN+1)+Bu(iN+1)+ A=AN∈R", Ew(iN+1)=A[Ax(iN)+Bu(iN)+ B=[AN-1B…ABB]∈RX(m), Ew(iN)]+Bu(iN+1)+Ew(iN+1)= E=[AN-1E·AEE]∈RX(D, Ax(iN)+[ABu(iN)+Bu(iN+1)]+ 则式(5)就可写为：
能以较慢速度采样即只在 NΔ时采样有：u（ t）＝ u（ k）（当 t＝kΔ＋θ0≤θ＜Δk＝012…）．定 义 x（ k）＝x（ kΔ）y（ k）＝y（ kΔ）则此系统的快速 采样部分的离散化模型为： x（ k＋1）＝ A x（ k）＋B u（ k） y（ k）＝C x（ k） 其中A＝e AcΔB＝∫ Δ 0 e Ac （Δ—τ） BcdτC＝ Cc．明 显地状态向量和输出向量在 NΔ时刻才有采样 值分别为 x（ iN）和 y（ iN）（ i＝012…）它们 通过原连续时间系统的相应量表示就是 x（ iNΔ）和 y（ iNΔ）．基于此今后称系统（1）为快速采样系 统． 假设目标值信号和干扰信号是可预见的． 假设4 在当前时刻 k目标值信号的未来值 r（ k）r（ k＋1）…r（ k＋hr）是已知的这里 hr 是 预见步数设 hr＝ Sr N；在当前时刻 k干扰信号的 未来值 w（ k）w（ k＋1）…w（ k＋ hd）是已知的 这里 hd 是预见步数并设 hd＝ Sd N．并假定 r（ k） 和 w（ k）都是阶跃信号． 作为多重采样系统还需要假设． 假设5 （CA N ）可检测． 定义误差信号 e（ k）＝y（ k）— r（ k） （2） 希望设计一个1型伺服控制器使输出向量 y（ k）无 静态误差地跟踪目标值信号 r（ k）即： limk→∞ e（ k）＝limk→∞ ［ y（ k）— r（ k）］＝0 （3） 2 扩大误差系统的推导 把多重采样预见控制问题转化成单一采样间隔 的预见控制问题的主要思想是：利用在预见控制理 论中常用的扩大误差系统方法将系统（1）转化成一 个扩大误差系统． 2∙1 多重采样系统的离散提升 根据假设3状态向量 x（ k）仅在 k＝ iN（ i＝0 12…）时能被测量．因而如果 k≠ iNx（ k）便不 能被用于状态反馈．为了克服这一困难采用离散 提升技术［10］即通过扩大输入向量和干扰向量的规 模得到系统的以 x（ iN）为状态向量的一个表示． 利用式（1）得到： x（ iN＋1）＝ Ax（ iN）＋Bu（ iN）＋ Ew（ iN） x（ iN＋2）＝ Ax（ iN＋1）＋Bu（ iN＋1）＋ Ew（ iN＋1）＝ A［ Ax（ iN）＋Bu（ iN）＋ Ew（ iN）］＋Bu（ iN＋1）＋ Ew（ iN＋1）＝ A 2 x（ iN）＋［ ABu（ iN）＋Bu（ iN＋1）］＋ ［ AEw（ iN）＋ Ew（ iN＋1）］． 类推得： x（ iN＋ j）＝ A j x（ iN）＋［ A j—1Bu（ iN）＋ A j—2Bu（ iN＋1）＋…＋ ABu（ iN＋ j—2）＋Bu（ iN＋ j—1）］＋ ［ A j—1Ew（ iN）＋ A j—2Ew（ iN＋1）＋ …＋ AEw（ iN＋ j—2）＋ Ew（ iN＋ j—1）］ （ j＝12…N） 即： x（ iN＋ j）＝ A j x（ iN）＋ A j—1B … AB B u（ iN） u（ iN＋ j—2） u（ iN＋ j—1） ＋ A j—1E … AE E w（ iN） w（ iN＋ j—2） w（ iN＋ j—1） （ j＝12…N） （4） 特别当 j＝ N 时有： x（（ i＋1） N）＝ A N x（ iN）＋ ［ A N—1B … AB B］ u（ iN） u（ iN＋ N—2） u（（ i＋1） N—1） ＋ ［ A N—1E … AE E］ w（ iN） w（ iN＋ N—2） w（（ i＋1） N—1） （5） 进一步引入向量 x（ i）＝x（ iN）∈R n u（ i）＝ u（ iN） u（ iN＋ N—2） u（（ i＋1） N—1） ∈R Nm w（ i）＝ w（ iN） w（ iN＋ N—2） w（（ i＋1） N—1） ∈R Nl 和矩阵 A＝ A N∈R n B＝［ A N—1B … AB B］∈R n×（ Nm） E＝［ A N—1E … AE E］∈R n×（ Nl） 则式（5）就可写为： 第5期 廖福成等： 多重采样离散时间系统的最优预见伺服控制器设计 ·543·
,544 北京科技大学学报 第29卷 x(i+1)=Ax(i)+Bu(i)+Ew(i)(6) c(i十1)=A(i)十B△u(i)+EAw(i)+F△r(i) 考虑到式(1)，观测方程可取为： (12a) e(iN)=y(iN)-r(iN)= e(i)=C(i) (12b) Cx(iN)+Du(iN)-r(iN) 系统(12)就是用于设计带有预见补偿的最优控 再令e(i)=e(N),r(i)=r(iN),得到形试上没有 制器的最终系统，为了方便，把系统(7)和系统(12) 多重采样特点的系统： 都称为扩大误差系统， 为了得到好的瞬态响应，针对系统(12)引入二 x(i+1)=Ax(i)+Bu(i)+Ew(i) (7a) 次型性能指标函数如下： e(i)=Cx(i)+Du(i)-r(i) (7b) = [)0()+△n()Ra(i】 注意：e(i)是每隔N个时刻的跟踪误差，只能 =0 对它进行监控， (13) 由于系统(7)的方程描述的是状态每隔N步的 Q12 =Q≥0，R=RT>0.通常 变化，即x(iN)(i为整数)的变化，所以称系统(7) 其中，0Q0 是与快速采样系统(1)相对应的慢速采样系统. 设0=Q。>0. 2.2构造扩大误差系统 至此，具有多重采样设置的系统(1)的预见控制 定义差分算子： 问题就转化成了扩大误差系统(12)的具有性能指标 △x(k)=x(k+1)一x(k) (8) 函数(13)的标准最优预见控制问题.由假设4，其 由式(7)两边求差分，得到： 中可预见信息是：在当前时刻，目标值信号的未来值 △r(i),△r(i十1)，，△r(i+十S)是已知的；在当前 △x(i+1)=A△x(i)+B△u(i)+EAo(i)(9) 时刻i,干扰信号的未来值△w(),△w(i十1)，…， e(i+l)=e(i)+C△x(i)+D△u(i)-△r(i) (10) △w(i十Sa)是已知的. 其中， 3扩大误差系统性质的讨论 D=[D0…0]∈RaX(Nm) 引理1(A,[AN-BA-2B…B])可 式(9)与式(10)一起得到： 镇定（能控）的充分必要条件是(A,B)可镇定（能 控) ,△x(i+1) L0A4L△x() 此引理的证明见文献[9]换句话说，(A,B) 可镇定（能控）当且仅当(A,B)可镇定（能控）· 0 a(+[r0 定理1若矩阵C行满秩，则(A,B)可镇定 (能控)的充分必要条件是可(A,B)镇定（能控）· 证明利用文献[11]所给出的PBH判别法， (11a) (A,B)可镇定的充分必要条件是：对任意满足 观测方程取为： |入≥1的复数入，矩阵[A一MB]行满秩. (1)先证必要性，由A、B的结构知： e(i)=[1 e(i) (11b) L△x(i) (1-x)1C D [A-NIB]= (14) 0 A-NB 定义(i)= e(i) ∈R+P,A= 由(A,B)可镇定知对任意满足|入≥1的复数 ,△x(i) 入，式(14)中的矩阵行满秩，从而[A一MB]行满 ,C=[10]式(10)可 秩，即(A,B)可镇定，再由引理1，从(A,B)可镇定 B 可导出(A,B)可镇定.必要性得证 改写为： (2)再证充分性.(A,B)可镇定，由引理1可
x（ i＋1）＝ Ax（ i）＋Bu（ i）＋ Ew（ i） （6） 考虑到式（1）观测方程可取为： e（ iN）＝y（ iN）— r（ iN）＝ Cx（ iN）＋ Du（ iN）— r（ iN）． 再令 e（ i）＝e（ iN）r（ i）＝ r（ iN）得到形式上没有 多重采样特点的系统： x（ i＋1）＝ Ax（ i）＋Bu（ i）＋ Ew（ i） （7a） e（ i）＝Cx（ i）＋ D u（ i）— r（ i） （7b） 注意：e（ i）是每隔 N 个时刻的跟踪误差只能 对它进行监控． 由于系统（7）的方程描述的是状态每隔 N 步的 变化即 x（ iN）（ i 为整数）的变化所以称系统（7） 是与快速采样系统（1）相对应的慢速采样系统． 2∙2 构造扩大误差系统 定义差分算子： Δx（ k）＝x（ k＋1）—x（ k） （8） 由式（7）两边求差分得到： Δx（ i＋1）＝ AΔx（ i）＋BΔu（ i）＋ EΔω（ i） （9） e（ i＋1）＝e（ i）＋CΔx（ i）＋ DΔu（ i）—Δr（ i） （10） 其中 D＝［ D 0 … 0］∈R n×（ Nm）． 式（9）与式（10）一起得到： e（ i＋1） Δx（ i＋1） ＝ I C 0 A e（ i） Δx（ i） ＋ D B Δu（ i）＋ 0 E Δw（ i）＋ — I 0 Δr（ i） （11a） 观测方程取为： e（ i）＝ I 0 e（ i） Δx（ i） （11b） 定义 ＾x（ i）＝ e（ i） Δx（ i） ∈ R n＋p＾A＝ I C 0 A ＾B＝ D B ＾E＝ 0 E ＾F＝ — I 0 ＾C＝［ I 0］．式（10）可 改写为： ＾x（ i＋1）＝＾A＾x（ i）＋＾BΔu（ i）＋＾EΔw（ i）＋＾FΔr（ i） （12a） e（ i）＝＾C＾x（ i） （12b） 系统（12）就是用于设计带有预见补偿的最优控 制器的最终系统．为了方便把系统（7）和系统（12） 都称为扩大误差系统． 为了得到好的瞬态响应针对系统（12）引入二 次型性能指标函数如下： J＝ ∑ ∞ i＝0 ［＾x T （ i） Q＾x（ i）＋Δu T （ i） RΔu（ i）］ （13） 其中Q＝ Qe Q12 Q T 12 Qx ＝ Q T ≥0R＝ R T ＞0．通常 设 Qe＝ Q T e ＞0． 至此具有多重采样设置的系统（1）的预见控制 问题就转化成了扩大误差系统（12）的具有性能指标 函数（13）的标准最优预见控制问题．由假设4其 中可预见信息是：在当前时刻目标值信号的未来值 Δr（ i）Δr（ i＋1）…Δr（ i＋ Sr）是已知的；在当前 时刻 i干扰信号的未来值Δw（ i）Δw（ i＋1）… Δw（ i＋Sd）是已知的． 3 扩大误差系统性质的讨论 引理1 （ A N［ A N—1B A N—2B … B］）可 镇定（能控）的充分必要条件是（ AB）可镇定（能 控）． 此引理的证明见文献［9］．换句话说（ AB） 可镇定（能控）当且仅当（ AB）可镇定（能控）． 定理1 若矩阵 C 行满秩则（ ＾A＾B）可镇定 （能控）的充分必要条件是可（ AB）镇定（能控）． 证明 利用文献 ［11］ 所给出的 PBH 判别法 （＾A＾B）可镇定的充分必要条件是：对任意满足 ｜λ｜≥1的复数 λ矩阵［ ＾A—λI｜＾B］行满秩． （1） 先证必要性．由 ＾A、＾B 的结构知： ［ ＾A—λI｜＾B］＝ （1—λ） I C D 0 A—λI B （14） 由（＾A＾B）可镇定知对任意满足｜λ｜≥1的复数 λ式（14）中的矩阵行满秩从而［ A—λI｜B］行满 秩即（ AB）可镇定再由引理1从（ AB）可镇定 可导出（ AB）可镇定．必要性得证． （2） 再证充分性．（ AB）可镇定由引理1可 ·544· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第5期 廖福成等：多重采样离散时间系统的最优预见伺服控制器设计 .545 得(A,B)可镇定.(A,B)可镇定表明对任意满足 的最优控制问题，性能指标函数取为(13)，然后加入 预见信息，使性能指标函数进一步减小，求得预见前 I≥1的复数λ，[A-B]行满秩.于是从式 馈补偿，系统(15)的最优控制可从一般最优控制理 (14)知入≥1且入≠1时[A一M|B]行满秩.λ= 论得到.再采用文献[6]的方法，假定在每个时刻i, 1时， △r(i+S.+j)=0,△w(i+Sa+j)=0(j=1,2, D …),即认为超过可预见范围的信息为常数；还要注 [A-M|B]=[A-IB]= 0 A-IB 意到式(12)中关于未来目标值的信息是F△r() (而不是F△r(i十1))，则利用文献[6们]的相似推导方 A-IB 行满秩的充分必要条件是 行满秩，从而 法得到使J取最小值的扩大误差系统(12)的最优 C D 预见控制为： [A一IB]行满秩（由于矩阵C行满秩）·而(A, △u(i)=K(i)+M,(g)△r(itq)+ B)可镇定保证了这一点成立，所以充分性也成立， 9=0 关于能控性的结论类似可证， 之(g)ax(+g) (16) 定理2(C,A)可检测（可观测）的充分必要条 其中， 件是(C,A)(即(C,A)可检测（可观测） K=-[R+BT PB]BT PA (17) 证明(C,A)可检测的充分必要条件是对任 M(g)=-R+BT PB]BT (F)PF A-M (g=0,1,2.…,S) (18) 意满足|入≥1的复数入，矩阵 列满秩，注 Ma(q)=-R+BT PB]BT (F)PE 意到 (g=0,1,…,Sa) (19) (1-入)1 F=A+BK=A-BIR+BT PB]BT PA 0 (20) 0 这里P是代数Riccati方程(ARE) 0 C P=AT PA-AT PBI R+BT PB]BT PA+Q 与矩阵0A一灯有相同的秩，可得要证的结论 (21) 的半正定解 LI 关于可观测性的结论类似可证 若记 就是说，基本假设保证了扩大误差系统(12)的 K=[K。Kx] (22) 可镇定性和可检测性 则(16)式表示为： △u(i)=Ke(i)+Kx△x(i)+ 4具有预见补偿的多重采样最优控制 系统()的预见控制问题转化成扩大误差系统 M,(g)△r(i+g)+ Ma(g)△w(tg) (12)的具有性能指标函数(13)的标准最优预见控制 (23) 问题的可预见信息是：在当前时刻i,目标值信号的 把K,K,M(q)和Ma(q)分解为： 未来值△r(i),△r(i+1),,△r(+S)已知；在当 K91 K 前时刻i,干扰信号的未来值△w(i),△w(i十1)， K K四 ，Kx= …,△w(i十Sa)已知 KN-1) K(N-1) 由于r(k)和w(k)都是阶跃信号，所以△r(i) M(q） MS(g) 和△w()只在有限个时刻为非零向量，可采用预见 M (q) M(q) 控制理论中的方法，首先研究系统 M.(q)= Ma(g)= (i+1)=Ae(i)+B△u() (15a) M-(g） M-9(g) e(i)=C(i) (15b) (24)
得（ AB）可镇定．（ AB）可镇定表明对任意满足 ｜λ｜≥1的复数 λ［ A—λI｜B］行满秩．于是从式 （14）知｜λ｜≥1且 λ≠1时［ ＾A—λI｜＾B］行满秩．λ＝ 1时 ［ ＾A—λI｜＾B］＝［ ＾A— I｜＾B］＝ 0 C D 0 A— I B 行满秩的充分必要条件是 A— I B C D 行满秩从而 ［ A— I B］行满秩（由于矩阵 C 行满秩）．而（ A B）可镇定保证了这一点成立．所以充分性也成立． 关于能控性的结论类似可证． 定理2 （＾C＾A）可检测（可观测）的充分必要条 件是（CA）（即（CA N ））可检测（可观测）． 证明 （＾C＾A）可检测的充分必要条件是对任 意满足｜λ｜≥1的复数 λ矩阵 ＾A—λI ＾C 列满秩．注 意到 ＾A—λI ＾C ＝ （1—λ） I C 0 A—λI I 0 与矩阵 0 C 0 A—λI I 0 有相同的秩可得要证的结论． 关于可观测性的结论类似可证． 就是说基本假设保证了扩大误差系统（12）的 可镇定性和可检测性． 4 具有预见补偿的多重采样最优控制 系统（1）的预见控制问题转化成扩大误差系统 （12）的具有性能指标函数（13）的标准最优预见控制 问题的可预见信息是：在当前时刻 i目标值信号的 未来值Δr（ i）Δr（ i＋1）…Δr（ i＋ Sr）已知；在当 前时刻 i干扰信号的未来值 Δw（ i）Δw（ i＋1） …Δw（ i＋Sd）已知． 由于 r（ k）和 w（ k）都是阶跃信号所以Δr（ i） 和Δw（ i）只在有限个时刻为非零向量可采用预见 控制理论中的方法．首先研究系统 ＾x（ i＋1）＝＾A＾x（ i）＋＾BΔu（ i） （15a） ＾e（ i）＝＾C＾x（ i） （15b） 的最优控制问题性能指标函数取为（13）然后加入 预见信息使性能指标函数进一步减小求得预见前 馈补偿．系统（15）的最优控制可从一般最优控制理 论得到．再采用文献［6］的方法假定在每个时刻 i Δr（ i＋ Sr＋ j ）＝0Δw（ i＋ Sd＋ j ）＝0（ j ＝12 …）即认为超过可预见范围的信息为常数；还要注 意到式（12）中关于未来目标值的信息是 ＾FΔr（ i） （而不是 ＾FΔr（ i＋1））则利用文献［6］的相似推导方 法得到使 J 取最小值的扩大误差系统（12）的最优 预见控制为： Δu（ i）＝ K＾x（ i）＋ ∑ S r q＝0 Mr（ q）Δr（ i＋q）＋ ∑ S d q＝0 Md（ q）Δw（ i＋q） （16） 其中 K＝—［ R＋＾B T P＾B］ —1＾B T P＾A （17） Mr（ q）＝—［ R＋＾B T P＾B］ —1＾B T （F T c ） qP＾F （ q＝012…Sr） （18） Md（ q）＝—［ R＋＾B T P＾B］ —1＾B T （F T c ） qP＾E （ q＝01…Sd） （19） Fc＝＾A＋＾BK＝＾A—＾B［ R＋＾B T P＾B］ —1＾B T P＾A （20） 这里 P 是代数 Riccati 方程（ARE） P＝＾A T P＾A—＾A T P＾B［ R＋＾B T P＾B］ —1＾B T P＾A＋ Q （21） 的半正定解． 若记 K＝［ Ke Kx ］ （22） 则（16）式表示为： Δu（ i）＝ Kee（ i）＋ KxΔx（ i）＋ ∑ S r q＝0 Mr（ q）Δr（ i＋q）＋ ∑ S d q＝0 Md（ q）Δw（ i＋q） （23） 把 KeKxMr（ q）和 Md（ q）分解为： Ke＝ K （0） e K （1） e K （ N—1） e Kx＝ K （0） x K （1） x K （ N—1） x Mr（ q）＝ M （0） r （ q） M （1） r （ q） M （ N—1） r （ q） Md（ q）＝ M （0） d （ q） M （1） d （ q） M （ N—1） d （ q） （24） 第5期 廖福成等： 多重采样离散时间系统的最优预见伺服控制器设计 ·545·
.546 北京科技大学学报 第29卷 由△u(i)=u(i十1)一u(i),式(23)表示为： w(i+g+1)N) w((i+q)N) u(i+1)N) u(iN) w(i+g+1)N+N-2) w((i+q)N+N-2) u((i+1)N+N-2) u(iN+N-2) w(i+g+2)N-1) w(i+g+1)N-1) 因此得到以下定理（本文的主要结果）， u(i+2)N-1) u((i+1)N-1)y 定理3如果代数Riccati方程(21)有半正定解 K) K) P,那么最优预见控制器由式(28)给出，这里， K K e(i)+ △x(i)+ K9,KY,M2(g)和M(q)由式(17)~(22)， (24),(26)和(27)确定 KN-1) KN-1) 由此看出，多重采样最优控制器由五部分组成： M (q) 第一部分是N步以前的输入；第二部分是跟踪误差 M (q) 的积分，跟踪误差也是慢速测量的；第三部分是慢速 △r(itq)+ 采样的状态反馈，由状态向量的相邻两次检测量的 差确定；第四部分是目标值预见补偿；第五部分是干 MN-D(q) 扰预见补偿 M(q) 5代数Riccati方程的可解性 M (q) △w(i十q) 如果(A,B)可镇定且(Q2,A)可检测，那么代 MN-(g）】 数Riccati方程(21)一定存在半正定稳定化解9]. 定理1己给出了(A,B)可镇定的充分必要条件，此 可进一步分开写为： 处研究(Q2,A)的可检测性. u((i+1)N+j)=u(iN+j)+Ke(i)+ 00 a)+空0gai+g+ 定理4若Q-0。且0>0，则(Q, A)可检测（可观测）的充分必要条件是(C,A)(即 之(gaw(+g） (C,A))可检测（可观测） 证明由PBH判别法山知(Q2,A)可检测 i=0,1,2,j=0,1,2,…,N-1 (25) 的充分必要条件是：对任意满足|入≥1的复数入， 再划分M(g)和M(g)如下： 矩阵 M(g)=[MB(q)M(g)…M-1(g)] (1-λ)1 (26) M(g)=[Mb(g）M(q）…M-1(q)] 0 0 (27) 0 0 并注意到()与()的结构，得到： (1-)1 0 AN-N u((i+1)N+j)=u(iN+j)+Ke(iN)+ 0 (29) K[x(i+1)N)-x(iN)]+ 0 含(ga+g+合(gar(+g. 列满秩.由于Q>0,所以由式(29)看出：当且仅当 =0,1,2,j=0,1,2,…,N-1(28) A-N 列满秩.证毕 这里， 结合定理1和定理4，即得如下定理 △r(计q)=r(i计q+1)-r(计q)= 定理5如果(A,B)可镇定、(C,A)可检测 r(+g+1)N)-r(+g)N), 且Q2>0,而且矩阵 A-I B C0行满秩，则代数 △w(i+q)=w(i计q十1)-w(i+q)= Riccati方程(2l)有半正定稳定化解P
由Δu（ i）＝ u（ i＋1）— u（ i）式（23）表示为： u（（ i＋1） N） u（（ i＋1） N＋ N—2） u（（ i＋2） N—1） — u（ iN） u（ iN＋ N—2） u（（ i＋1） N—1） ＝ K （0） e K （1） e K （ N—1） e e（ i）＋ K （0） x K （1） x K （ N—1） x Δx（ i）＋ ∑ S r q＝0 M （0） r （ q） M （1） r （ q） M （ N—1） r （ q） Δr（ i＋q）＋ ∑ S d q＝0 M （0） d （ q） M （1） d （ q） M （ N—1） d （ q） Δw（ i＋q） 可进一步分开写为： u（（ i＋1） N＋ j）＝ u（ iN＋ j）＋ K （ j） e e（ i）＋ K （ j） x Δx（ i）＋ ∑ S r q＝0 M （ j） r （ q）Δr（ i＋q）＋ ∑ S d q＝0 M （ j） d （ q）Δw（ i＋q） i＝012…；j＝012…N—1 （25） 再划分 M （ j） r （ q）和 M （ j） d （ q）如下： M （ j） r （ q）＝［ M （ j） r0（ q） M （ j） r1（ q） … M （ j） rN—1（ q）］ （26） M （ j） d （ q）＝［ M （ j） d0（ q） M （ j） d1（ q） … M （ j） dN—1（ q）］ （27） 并注意到 ＾w（ i）与 ＾r（ i）的结构得到： u（（ i＋1） N＋ j）＝ u（ iN＋ j）＋ K （ j） e e（ iN）＋ K （ j） x ［ x（（ i＋1） N）—x（ iN）］＋ ∑ S r q＝0 M （ j） r （ q）Δr（ i＋q）＋ ∑ S d q＝0 M （ j） d （ q）Δw（ i＋q） i＝012…；j＝012…N—1 （28） 这里 Δr（ i＋q）＝ r（ i＋q＋1）— r（ i＋q）＝ r（（ i＋q＋1） N）— r（（ i＋q） N） Δw（ i＋q）＝w（ i＋q＋1）—w（ i＋q）＝ w（（ i＋ q＋1） N） w（（ i＋ q＋1） N＋ N—2） w（（ i＋ q＋2） N—1） — w（（ i＋ q） N） w（（ i＋ q） N＋ N—2） w（（ i＋ q＋1） N—1） ． 因此得到以下定理（本文的主要结果）． 定理3 如果代数 Riccati 方程（21）有半正定解 P那么最优预见控制器由式 （28） 给出．这里 K （ j） e K （ j） x M （ j） rt （ q）和 M （ j） dt （ q）由式（17）～（22） （24）（26）和（27）确定． 由此看出多重采样最优控制器由五部分组成： 第一部分是 N 步以前的输入；第二部分是跟踪误差 的积分跟踪误差也是慢速测量的；第三部分是慢速 采样的状态反馈由状态向量的相邻两次检测量的 差确定；第四部分是目标值预见补偿；第五部分是干 扰预见补偿． 5 代数 Riccati 方程的可解性 如果（＾A＾B）可镇定且（ Q 1／2＾A）可检测那么代 数Riccati 方程（21）一定存在半正定稳定化解［9］． 定理1已给出了（＾A＾B）可镇定的充分必要条件此 处研究（ Q 1／2＾A）的可检测性． 定理4 若 Q＝ Qe 0 0 0 且 Qe＞0则（ Q 1／2 ＾A）可检测（可观测）的充分必要条件是（ CA）（即 （CA N ））可检测（可观测）． 证明 由 PBH 判别法［11］ 知（ Q 1／2＾A）可检测 的充分必要条件是：对任意满足｜λ｜≥1的复数 λ 矩阵 ＾A—λI Q 1／2 ＝ （1—λ） I C 0 A—λI Q 1／2 e 0 0 0 ＝ （1—λ） I C 0 A N—λI Q 1／2 e 0 0 0 （29） 列满秩．由于 Qe＞0所以由式（29）看出：当且仅当 A N—λI C 列满秩时 ＾A—λI Q 1／2 列满秩．证毕． 结合定理1和定理4即得如下定理． 定理5 如果（ AB）可镇定、（ CA N ）可检测 且 Q 1／2 e ＞0而且矩阵 A— I B C 0 行满秩则代数 Riccati 方程（21）有半正定稳定化解 P． ·546· 北 京 科 技 大 学 学 报 第29卷
第5期 廖福成等：多重采样离散时间系统的最优预见伺服控制器设计 .547. with preview action and its dual problem.Int J Control,1987 6 结论 (2):407 本文研究了多重采样离散时间线性系统的预见 [5]Katayama T,Yamamoto H.Ogawa M.et al.A design of digital tracking controller in the presence of load change(in Japanese). 控制问题，并结合单一采样系统LQ预见控制方法 Trans Inst Syst Control Inform Eng.1992(3)111 和离散提升技术解决了这一问题，研究表明，这种 [6]土谷武士，江上正·最新自动控制技术一数字预见控制，廖 最优预见控制器的目标值信号预见和干扰信号预见 福成，译.北京：北京科学技术出版社，1994 补偿的系数矩阵是时变的和周期的，同时证明了在 [7]Liao F.Egami T.Tsuchiya T.A general frequency dependent 基本假设下这种最优控制器的存在性， digital optimal preview servo system.Appl Math Mech.1996.4 (17):319 参考文献 [8]Choi C,Tsao T C.Hoo preview control for discrete time sys- tems.J Dyn Syst Meas Control.2001.123(1):117 [1]Tomizuka M.Optimal continuous finite preview problem.IEEE [9]Liao F,Takaba K.Katayama T.et al.Design of an optimal pre- Trans Autom Control.1975.20(3):326 view servomechanism for discrete time systems in a multirate set- [2]Liao F.Tsuchiya T.EgamiT.et al.Unified approach to optimal ting Dyn Continuous Discrete Impulsive Syst Ser B.2003.10: preview servo systems and optimal preview FF compensated sys- 727 tems.Chin J Autom.1998.10(4):329 [10]Tangirala A K,Li D,Patwardhan R,et al.Issues in multirate [3]Katayama T,OhkiT,Inoue T,et al.Design of an optimal con- process control/Proe.of American Control Conf.San Diego. troller for a discretetime system subject to previewable demand. 1999,2771 Int J Control.1985(3):677 [11]Kailath T.Linear Systems.Englewood Cliffs:Prentice-Hall, [4]Katayama T,Hirono T.Design of an optimal servomechanism 1980 Design of an optimal preview controller for a kind of discrete time systems LIAO Fucheng),LIU Heping2) 1)Applied Science School.University of Science and Technology Beijing.Beijing 100083.China 2)Information Engineering School.University of Seience and Technology Beijing.Beijing 100083.China ABSTRACI A kind of linear discrete time system with multirate control setting was studied and a controller design method was presented for the system.By using discrete time lifting technique the multirate discrete time system was reduced to a single rate system.And then a discrete integrator was introduced by applying state vec- tors augmentation.Based on the standard linear quadratic optimal preview control theory,the desired preview controller was obtained. KEY WORDS preview control:sampling control;discrete-time lifting technique;algebraic Riccati equation; servomechanism
6 结论 本文研究了多重采样离散时间线性系统的预见 控制问题并结合单一采样系统 LQ 预见控制方法 和离散提升技术解决了这一问题．研究表明这种 最优预见控制器的目标值信号预见和干扰信号预见 补偿的系数矩阵是时变的和周期的．同时证明了在 基本假设下这种最优控制器的存在性． 参 考 文 献 ［1］ Tomizuka M．Optimal continuous finite preview problem．IEEE Trans Autom Control197520（3）：326 ［2］ Liao FTsuchiya TEgami Tet al．Unified approach to optimal preview servo systems and optimal preview FF compensated systems．Chin J Autom199810（4）：329 ［3］ Katayama TOhki TInoue Tet al．Design of an optimal controller for a discrete-time system subject to previewable demand． Int J Control1985（3）：677 ［4］ Katayama THirono T．Design of an optimal servomechanism with preview action and its dual problem．Int J Control1987 （2）：407 ［5］ Katayama TYamamoto HOgawa Met al．A design of digital tracking controller in the presence of load change（in Japanese）． Trans Inst Syst Control Inform Eng1992（3）111 ［6］ 土谷武士江上正．最新自动控制技术———数字预见控制．廖 福成译．北京：北京科学技术出版社1994 ［7］ Liao FEgami TTsuchiya T．A general frequency dependent digital optimal preview servo system．Appl Math Mech19964 （17）：319 ［8］ Choi CTsao T C． H∞ preview control for discrete-time systems．J Dyn Syst Meas Control2001123（1）：117 ［9］ Liao FTakaba KKatayama Tet al．Design of an optimal preview servomechanism for discrete-time systems in a multirate setting．Dyn Continuous Discrete Impulsive Syst Ser B200310： 727 ［10］ Tangirala A KLi DPatwardhan Ret al．Issues in multirate process control∥Proc．of American Control Conf．San Diego 1999：2771 ［11］ Kailath T．Linear Systems．Englewood Cliffs：Prentice-Hall 1980 Design of an optimal preview controller for a kind of discrete-time systems LIAO Fucheng 12）LIU Heping 2） 1） Applied Science SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China 2） Information Engineering SchoolUniversity of Science and Technology BeijingBeijing100083China ABSTRACT A kind of linear discrete-time system with multirate control setting was studied and a controller design method was presented for the system．By using discrete-time lifting technique the multirate discrete-time system was reduced to a single-rate system．And then a discrete integrator was introduced by applying state vectors augmentation．Based on the standard linear quadratic optimal preview control theorythe desired preview controller was obtained． KEY WORDS preview control；sampling control；discrete-time lifting technique；algebraic Riccati equation； servomechanism 第5期 廖福成等： 多重采样离散时间系统的最优预见伺服控制器设计 ·547·