Koch曲线与分维测量

D0I:10.13374/j.issn1001053x.2000.04.050 第22卷第4期 北京科技大学学报 Vol.22 No.4 2000年8月 Journal of University of Science and Technology Beijing Aug.2000 Koch曲线与分维测量 李启楷) 张跃》李继忠》刘兵海”李玉清)赵咏秋) 1)北京科技大学材料科学与工程学院，北京1000832)华东理工大学，上海2002373)大冶特殊钢股份有限公司，黄石435001 摘要通过构造Koh曲线岛对剖面小岛法测得的分维的准确性和可靠性进行了研究，并 研究了Koh曲线岛的初始边长、形状和嵌套层次等构造因素对分维测量的影响.结果表明，剖 面小岛法不适合于作为纳米度域的分维测量方法. 关键词分形：分形维数：Koch曲线：分维测量；纳米度域 分类号TU45 近几年来，有些报道称用剖面小岛法对金 a:渴=老数 (1) 属断口进行分形研究时，通过测量断口上一组 其中，ε=Lo,n代表测量码尺的长度，L代表 剖面小岛周长一最大直径、周长一面积等参数 自相似结构上限长度（或叫起始图形的边长），D 而获得分形维数.Mandelbrot:最早在金属断口上 为分形岛周界分维.对(1)式两边取对数则有： 用周长一面积法测量了马氏体钢冲击断口的小 logP(s)=D/logA(e)+const (2) 岛周界的分维值，随后，许多人应用此方法测 可见，通过测量一系列分形岛的面积和周长，线 量了断口表面分维，并把这种方法应用到晶 性回归再拟合即可获得分形岛周界分维 粒组织、疲劳腐蚀坑、夹杂物等“的分维研究 1.2周长一最大直径方法 上，龙期威在Mandelbrot等人研究的无限层次 按照Mandelbrot理论o,分形曲线总长度 的理想分形结构的基础上，进一步认识到自然 L(e)为： 界中的实际分形结构是有限层次的，并由此测 L(e)=e-o,L(1)=1 (3) 量和讨论了实际结构的很多复杂情况，提出了 设码尺绝对长度”，起始图形长度（或自相 用周长一最大直径方法来测定小岛周界的维数 似结构上限)L,则由式(4)可以有2种方式求D 的方法.张跃等提出在纳米度域研究材料断 值： 裂的分形维数倒 L(n)=Lo-On-D (4) 应用不同的分形理论和不同的测量方法所 (1)固定L,通过改变n求D,此即通常的Ri 得的分维值缺乏可比性和稳定性，尤其是在纳 chardson方法： 米度域，因测量度域的限制，有的分维测量方法 (2)固定n,改变L。求D,由此导出周长一 可能会完全失效.为了探讨剖面小岛法的可靠 最大直径方法刀. 性和稳定性，我们通过构造不同分维的分形曲 IgL(n)=DIgLo+(1-D)Ign (5) 线岛，研究了岛的不同构造方式同分维值和分 设有大小不同的相似分形岛，其起始图形 维测量的关系.在这些研究的基础上，对剖面小 为L,相似岛的最大直径(d),和它呈比例，即 岛法在纳米度域的适用性等问题进行了研究. La=m(d):,对于大小不同的相似岛，m应为常 数.这样，(5)式变为： 1剖面小岛法分维测量方法 IgL,(n)=Dlgm+(1-D)Ig)n+Dlg(d),(6) 1.1周长一面积方法 由于固定码尺长度，因此 利用周长一面积方法测量分形岛周界分维 IgL(n)=const+Dlg(d), (7 的理论基础是o: 作lgl(n)一lg(dn),图形便可以从直线的斜 2000-01-06收稿李启楷男，41岁，高级工程师 率求出分维值，测出D之后从截距又可得m值. *国家自然科学基金资助课题(No.59771050:59872004) 选择多个n,便可获得D,和m,的平均值和

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 ’ 一 曲线与分维测 量 李启楷 ” 张 跃 ‘， 李继 忠 ” 刘兵海 ” 北京科技大学材料科学与工程学 院 ， 北京 华东理工大学 ， 上海 李玉 清 ” 赵咏秋 ” 大冶特殊钢股份有限公司 ， 黄石 摘 要 通 过 构造 曲线 岛对 剖 面 小 岛法测 得 的分 维 的准 确 性和 可 靠性进行 了研 究 ， 并 研 究 了 曲线 岛的初 始边 长 、 形 状 和 嵌 套 层 次等构造 因素 对 分维测 量 的影 响 结果表 明 ， 剖 面 小 岛法 不 适合 于作 为纳米度域 的分维测 量方法 关键词 分 形 分 形 维 数 曲线 分 维测 量 纳 米度域 分 类号 近 几 年来 ， 有 些 报 道 称 用 剖 面 小 岛法 对 金 属 断 口 进 行 分形 研 究时 ， 通 过测 量 断 口 上 一 组 剖 面 小 岛周 长一最 大 直 径 、 周 长一面 积 等 参 数 而 获得分形 维 数 最 早 在金 属 断 口 上 用 周 长一面积法 测 量 了 马 氏体钢 冲 击 断 口 的小 岛周 界 的 分 维 值〔” ， 随 后 ， 许 多人 应 用 此 方 法 测 量 了断 口 表 面 分 维 【， ， 并把 这 种 方 法 应 用 到 晶 粒 组 织 、 疲 劳腐蚀坑 、 夹杂物等 ‘侧 的 分维研 究 上 龙 期 威 在 等 人 研 究 的无 限层 次 的理 想分 形 结构 的基础 上 ， 进 一 步认 识 到 自然 界 中 的 实 际 分 形 结 构 是 有 限层 次 的 ， 并 由此 测 量 和 讨 论 了实 际 结构 的很 多复杂 情 况 ， 提 出 了 用 周 长一最 大 直径方法来测 定 小 岛周 界 的维数 的方 法 ‘， 张 跃 等提 出在 纳 米 度域 研 究材 料 断 裂 的分形 维 数 〔 应 用 不 同 的分 形 理 论 和 不 同 的测 量 方 法 所 得 的分 维值缺 乏 可 比性和 稳 定 性 尤其 是 在纳 米度 域 ， 因测 量 度 域 的 限制 ， 有 的分 维测 量 方法 可 能会完全 失效 为 了探 讨 剖面 小 岛法 的可 靠 性 和 稳 定性 ， 我 们 通过 构 造 不 同分 维 的分形 曲 线 岛 ， 研 究 了 岛的 不 同构 造 方 式 同分 维 值 和 分 维测 量 的关 系 在这 些研 究 的基 础 上 ， 对 剖面 小 岛法 在 纳 米 度 域 的 适 用 性 等 问题进 行 了研 究 曰 从幻 万丁不而 ’ 苦性 又石少 吊 戮 剖面小 岛法分维测量方法 周 长一面积方法 利用 周 长一面 积 方 法 测 量 分 形 岛周 界 分 维 的理 论 基 础 是‘ · 收稿 李启 楷 男 ， 岁 ， 高级 工 程师 国家 自然 科学基金 资助课 题 其 中 ， 粉 。 ， 叮代表测量码尺 的长度 ， 。 代表 自相似结构上 限长度 或叫起始 图形 的边长 ， 为分形 岛周 界分维 对 式两边取对数则有 可见 ， 通过测量一 系列分形 岛的面积和周长 ， 线 性 回归再拟合 即可获得分形 岛周 界分维 周长一最大直径方法 按 照 理 论 ’ ， 分 形 曲线总长度 日为 幼 ，一 ， 设码 尺 绝 对长 度粉 ， 起 始 图形 长 度 或 自相 似 结 构上 限 。 ， 则 由式 可 以有 种 方 式 求 值 叮 二 吕 一 叮，一 固定 。 ， 通过 改变 叮求 ， 此 即通常 的 形 方法 固 定 叮 ， 改变 。 求 ， 由此 导 出 周 长一 最 大直 径方法’， 叮 。 一 粉 设 有 大 小 不 同 的相 似 分 形 岛 ， 其 起 始 图形 为 ‘ ， 相 似 岛的最大直径 呱叮 ‘ 和 它 呈 比例 ， 即 ， 氏肛 ，，对 于 大 小不 同 的相 似 岛 ， 应 为常 数 这 样 ， 式变 为 ‘ 叮 一 叮 。 氏麟 ‘ 由于 固定码 尺 长 度叮 ， 因 此 ， 叮 ‘ ‘ 作 功 一 ， 图形 便 可 以从直 线 的斜 率求 出分 维值 ， 测 出 之 后 从截距 又 可 得 值 选择 多个 粉 ‘ ， 便可 获得 ， 和 ‘ 的平均值 之 和 DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2000．04．050

VoL.22 No.4 李启楷等：Koch曲线与分维测量 ·355· . 图1为典型的理想Koch曲线岛，初始图形 2Koch曲线的不同构造方式与分维测量 为正三角形，边长为3m,嵌套层次m=2(上)和3 设初始图形为正n边形，嵌套层次为m的 (下).它常被用作金属的冲击断口水平剖面图形 岛的初始图形周长和面积分别为： 的近似模型。 P。=3n (8) 然而，由于实际分形结构并不满足严格自 Ao=32(n/4)ctg(π/n) (9) 相似性，而是随机分形结构，材料的成分、组 若随机Koch曲线岛的初始图形(n边形)的 织和形变等的不均匀性都可能会导致断口上剖 边长为L。,对于岛的各边，去掉位于正中1/3边 面小岛分形结构的差异，这些都可能反映在随 长的线段，并用与之组成等边三角形的另外两 机变量分布区间的变化、岛的边长和形状的影 边代替.如此独立地、连续地迭代下去，即可获 响等方面，因此，剖面小岛的构造及其构造因素 得一个随机Koch曲线岛，其Hausdorff维数为 对分维测量的影响等方面的工作对分形的研究 1.2618. 有重要的理论意义和实际意义. (a) (b) (c) 图13类不同的Koch曲线岛.(a)向外长，(b)向内长，(c)随机地向内或向外长 Fig.1 Three type's Koch curve islands 2.1Koch曲线岛的边长效应 最为接近， 由(5)式，当Lo一ML,时，Koch曲线岛周长为 2.2Koch曲线岛的形状效应 L',则： 若Koch岛的初始图形不只是等边三角形 lgL(n)=DlgML.+(1-D)Ign (10) 而是正n边形，岛的嵌套结构仍为理想的Koch 于是 曲线结构.取n=3,4,5,…,30,嵌套层次为 IgL'-lgL=DlgM (11) m=1,2,3,4,且初始边长符合（亿oL=3m的规 (11)式反映了不同初始图形边长L。对1gL测 律的岛组作lgP-lgdn曲线，可以发现，n相等， 量的影响，只有L,相对变化相同的岛组所获得 下限尺度相同，m不同的岛组的数据点落在同 的数据点才可以得到理想分维值. 一条直线上，不同n值（初始图形的边数）的数据 对于初始图形边长分别为MLo和ML, 点形成的斜率为理想D值的平行直线族.由此 嵌套层次分别为m:和m2的岛组，则由此所确定 可见，当初始图形为正n边形时，只要岛组的下 的D值满足： 限尺度相等，仍可得到理想分维值.将n值不同 D-IgMLai-lgMLa=IgL-/L.:tlgM IgM Lo-IgM,Lo:Ig(d/d)M (12) 的各岛按不同的方式组合，发现在各种组合方 其中，M=M/M.可见，若K1,则DD.通过对不同的岛组的组合，可以 的增大而减小，因此，为了获得与理想分维值尽 发现，只要有M牛1的岛组存在，统计维数总是 量接近的分维测量值，除了选择下限尺度相等 小于理想分维值，且维数随M丰1的岛系列对应 或相近的岛组外，还应使岛组中各岛的外形轮 的M一的增加而减小.因此，在实际分维测量 廓尽量相似. 过程中，应尽量选择具有相同或相近显微结构 2.3Koch曲线岛的嵌套层次的影响 的岛组，这样获得的分维平均值与理想分维值 如果属于相同自相似结构的2个Koch曲

李 启楷等 曲线 与 分 维 测量 户 曲线 的不 同构造方式与分维测 量 设初 始 图形 为 正 边形 ， 嵌套层 次为 的 岛的初始 图形 周 长 和 面 积 分 别 为 二 。 加 汕 若 随机 曲线 岛 的初 始 图形 边 形 的 边长 为 。 ， 对 于 岛的各 边 ， 去 掉位 于 正 中 边 长 的线 段 ， 并 用 与 之 组 成 等 边 三 角 形 的 另 外 两 边代 替 如此 独立 地 、 连续 地 迭 代下 去 ， 即可 获 得 一 个 随机 曲线 岛 ， 其 维数 为 图 为典型 的理 想 曲线 岛 ， 初始 图形 为正 三 角形 ， 边 长 为 ， 嵌套 层 次 二 上 和 下 它常被用作金 属 的冲击 断 口 水平剖面 图形 的近 似 模 型 然而 ， 由于 实际 分形 结构 并不 满足 严格 自 相似 性 ， 而 是 随机分 形 结构 〔，” 材料 的成 分 、 组 织和 形 变等 的不 均匀性 都可 能会导致断 口 上 剖 面 小 岛分 形 结构 的差 异 ， 这 些 都 可 能 反 映在 随 机变 量 分布 区 间 的变化 、 岛 的边长 和 形 状 的影 响等 方面 因此 ， 剖面 小 岛的构造 及 其构造 因素 对分 维测量 的影 响等方 面 的工 作对 分形 的研 究 有 重 要 的理 论 意 义和 实 际 意 义 图 类不 同的 曲线岛 向外长 ， 向内长 ， 随机地 向内或 向外长 ， 曲线 岛的边长效应 由 式 ， 当 。 一 人忆 。 时 ， 曲线 岛周 长 为 ‘ ， 则 义叮 人忆 。 一 粉 于是 护一 式反 映 了不 同初始 图形 边长 。 对 测 量 的影 响 只 有 。 相 对 变化 相 同 的 岛组 所 获得 的数据 点才 可 以得 到 理 想 分 维 值 对 于 初 始 图 形 边 长 分 别 为 从 ， 和 城 ， 嵌 套层 次 分 别 为 和 的 岛组 ， 则 由此所确 定 的 值满足 肠 ，一 城 解 ， ， ， 肠 。 一 城 ， ‘ 其 中 ， 肠 腿 可 见 ， 若 人仁 ， 则 刀尺 。 若 九卜 ，则 通过对 不 同 的 岛组 的组 合 ， 可 以 发现 ， 只 要 有 人夕辛 的岛组 存 在 ， 统计 维数总 是 小于 理 想 分 维 值 ， 且 维数 随 材辛 的 岛系列对 应 的 材‘ 的增 加 而 减 小 因此 ， 在 实 际 分 维测 量 过 程 中 ， 应 尽 量 选择 具 有 相 同或 相 近显 微 结构 的 岛组 ， 这 样 获 得 的分 维 平 均值 与理 想 分 维 值 最 为接近 曲线岛的形状效应 若 岛的初始 图形 不 只 是 等边 三 角形 而 是 正 边 形 ， 岛 的嵌 套 结构 仍 为 理 想 的 曲 线 结 构 取 ，，，… ， ， 嵌 套 层 次 为 二 ， ， ， ， 且 初 始 边 长 符 合 ，， 的规 律 的 岛组 作 烤尸一 烤礁 曲线 ， 可 以发现 ， 相 等 ， 下 限 尺 度 相 同 ， 不 同 的 岛组 的数据 点 落 在 同 一 条直 线上 ， 不 同 值 初始 图形 的边 数 的数据 点形 成 的斜 率 为理 想 值 的平 行直 线 族 由此 可 见 ， 当初 始 图形 为正 边 形 时 ， 只 要 岛组 的下 限尺 度相 等 ， 仍可 得到理 想 分维值 将 值不 同 的各 岛按 不 同 的方式 组 合 ， 发 现在 各 种 组 合方 式下 ， 其维数总是 小于 理 想 分 维值 ， 且 随 值差 的增 大 而 减小 因此 ， 为 了获 得 与理 想 分 维值尽 量 接近 的分维测 量 值 ， 除 了选择下 限尺 度相 等 或 相 近 的 岛组 外 ， 还 应 使 岛组 中各 岛 的外形 轮 廓 尽 量相 似 曲线 岛的嵌套层次 的影 响 如 果 属 于 相 同 自相 似 结 构 的 个 曲

·356- 北京科技大学学报 2000年第4期 线岛的嵌套层次分别为m和m2,且下界尺度相 去就得到所谓修改的Koch曲线.具有这种构造 等，则对应于定码尺测量的维数 的Koch岛的周长P和最大直径dnx可分别由下 2dgP2(m-m2)1g4 D=g=gXXa） (13) 式确定： [P=(1+C)L 这里，X=3m-1-22m-3(i=1,2）). .910 (14) 由于D依赖于m,因此周长一面积方法不 能获得稳定的分维值.而周长一最大直径法可 如果一个修改的Koch曲线变量C为随机 以获得理论分维值log3. 变量，且C在(0,13)区间上均匀分布，则其维数 表1给出了根据上式得到分维D同嵌套层 为1.144.对于有限嵌套层次的随机Koch曲线 次m的关系，其中m-m2=1(m=m)即只考虑两 岛，其实测分维一般低于1.144.更一般的情况 相邻嵌套层次的岛组.由于内存资源限制，嵌套 是，如果随机变量C在区间(a,l/3)上均匀分布， 层次只能计算到第10层.由此可见，嵌套层次 当a改变时，C的分布区间的增大或减小会对 在18层以上时，满足分维值稳定性条件. 随机Koch曲线岛及其分维产生影响.计算机模 表1Koch曲线岛的D与m的关系 拟计算表明，a值改变时，嵌套层次m愈大，gP Table 1 Relationship between D and m of Koch curve 值的分布愈分散，lgA-gP回归直线的斜率随a islands 值增大而增大.可见，参量α是标志实测分维值 m LvAin D m LoA D 与理想分维值偏离程度的一种度量：a越小，则 11.316074 111.2014361.261824 实测分维值偏离理想分维值越远.因此，对于实 212485371.204120 121.2014191.261844 际材料，测量分维时，为了使实测分维值与理想 31.2216841.237371 131.2014121.261853 41.2102931.251191 141.2014081.261857 分维值尽量接近，应尽量选择具有相同组织结 5 1.2053311.257159 151.2014071.261858 构类型的岛组. 61.2031461.259778 161.2014061.261959 7 1.2021781.260936 171.2014061.261859 3制面小岛法在纳米度域的适用性 1.2017491.261450 181.2014061.261860 在纳米度域下，对材料表面进行实时测量 91.2015581.261678 191.2014061.261860 的手段主要为扫描隧道显微镜(STM).对于有 101.2014721.261779201.2014061.261860 限层次的分形结构，现有分维测量方法只能近 考虑到实际图像分析的误差，当Koch曲线 似正确，有时则完全失效.这个问题在纳米度 岛的嵌套层次达到8层时，周长一面积法仍不 域暴露得最为明显.用STM测量时，扫描像素 失为获得稳定分维值的有效方法， 点范围一般都限制在512×512.在如此小的测量 如果去掉位于L。正中、长度为aL(0<a≤ 范围内通过某一剖面能获得的小岛截面数将是 1/3)的一段区间，并用其组成正三角形的另外 非常有限的，并且各截面经常相互联接，较难分 两边代替：将这样的迭代过程反复迭代下去，就 离出离散的湖或岛，如图1所示的3类不同的 得到所谓修改的Koch分形曲线.实际计算表 Koch曲线岛，当嵌套层次m=3时，Koch曲线岛 明，随着a值的减小，由周长一面积方法得到的 己经长到相当大的尺寸，为了获得足够的分维 维数愈趋近于理论分维值.当a≤2/15时，嵌套 测量精度，要求Koch曲线岛嵌套层次足够大 层次m=5就可得到满足实际图像分析精度要 (超过8层)，即便是考虑到允许一定的实验误 求的理想分维值， 差或由于岛组的形状因素等的影响，嵌套层次 如果岛的初始图形是边长为L的正n边 也应达到8层左右，计算机模拟计算表明，在 形，计算结果表明，随着n的增大，由周长一面 513×513点的情况下，已很难分辨出离散的小岛 积方法获得理论分析值所要求的嵌套层次减 截面.尤其对金属断口，要在某一截面内获得足 少。 够数量的小岛截面将更加困难.因此，在纳米度 2.4不同相似映射的影响 域，剖面小岛法不是一种合适的分维测量方法. 若0<C≤1/3，去掉位于正中的与边长比例 为C的一段区间，并用与其组成等边三角形的 4结论 另外两边代替，将这样的迭代过程反复进行下 (1)为了获得与理想分维值尽量接近的实测

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 线 岛的嵌套层 次分 别 为 ， 和 ， 且 下 界 尺 度相 等 ， 则对 应 于 定 码 尺 测 量 的维 数 「， 二 幽犷 二 一 这 里 ，不 阮 一 ‘ 一 从 一 ， 一 ， 去 就 得 到所 谓 修改 的 曲线 具 有这种构造 的 岛的周 长 尸 和 最大直径 疏 狱 可 分 别 由下 式确 定 ，，， 由于 依 赖 于 ， 因 此 周 长一面积 方 法 不 能获得稳 定 的分 维 值 而 周 长一最 大直 径 法 可 以获 得理 论 分维 值 ‘ 表 给 出 了根据 上 式得 到分 维 同嵌套层 次 的关 系 ， 其 中 ，一 二 即只 考虑 两 相 邻嵌套层次的 岛组 由于 内存资源 限制 ， 嵌套 层 次只 能 计 算 到 第 层 由此 可 见 ， 嵌 套层 次 在 层 以上 时 ， 满 足分 维值 稳 定性 条件 表 曲线 岛的 与 的关系 肠 气 。 盗 门， 、 一 了 一 廿 妇 ’八 州 几 如 果 一 个 修 改 的 曲线变量 为 随机 变量 ， 且 在 ， 区 间上 均匀 分布 ， 则 其 维 数 为 ‘ 对于 有 限嵌套层 次 的随机 曲线 岛 ， 其 实测 分 维 一 般低 于 科 更 一 般 的情 况 是 ， 如果 随机变量 在 区 间 ， 上 均匀分 布 ， 当 改变 时 ， 的 分 布 区 间 的 增 大 或 减 小 会 对 随机 曲线 岛及 其分 维产生 影 响 计算机模 拟 计算表 明 ， 值 改变时 ， 嵌套层 次 愈 大 ， 值 的分 布愈分散 ， 一 驴回归直 线 的斜率随 值增 大 而 增大 可 见 ， 参 量 是标 志 实测 分 维值 与理 想 分维值偏离程度 的一 种度量 “ 越 小 ， 则 实测 分 维值偏 离理想 分 维值越远 因此 ， 对于 实 际材料 ， 测 量 分维时 ， 为了使实测 分维值与理想 分 维 值尽 量 接近 ， 应 尽量 选 择 具 有 相 同 组 织 结 构类 型 的 岛组 考 虑 到 实 际 图像 分 析 的误 差 ， 当 曲线 岛 的 嵌套 层 次达 到 层 时 ， 周 长一面 积 法 仍 不 失为获得稳 定 分维 值 的有效方法 如 果 去 掉 位 于 。 正 中 、 长 度 为 。 ‘ 的一 段 区 间 ， 并用 其组 成 正 三 角形 的另 外 两边代 替 将这样 的迭代 过程 反 复迭代 下 去 ， 就 得 到所谓 修改 的 分 形 曲线 实 际计 算 表 明 ， 随着 值 的减小 ， 由周 长一面 积 方 法得 到 的 维 数 愈趋近于 理论 分 维值 当 ‘ 时 ， 嵌 套 层 次 就 可 得 到 满 足 实 际 图像 分 析 精 度 要 求 的理 想 分 维值 如 果 岛 的 初 始 图 形 是 边 长 为 。 的 正 边 形 ， 计 算结 果 表 明 ， 随着 的增 大 ， 由周 长一面 积 方 法 获 得 理 论 分 析 值 所 要 求 的 嵌 套层 次 减 少 不 同相似映射的影响 若 。 ‘ ，去 掉位 于 正 中 的与边长 比例 为 的一 段 区 间 ， 并用 与其 组 成 等边三 角 形 的 另外 两 边代 替 ， 将 这 样 的迭 代过 程 反 复进行 下 剖面小 岛法在纳米度域 的适用性 在纳米度域 下 ， 对 材料表面进 行 实时测 量 的手 段 主 要 为扫描 隧道 显 微 镜 对 于 有 限层 次 的 分 形 结 构 ， 现 有 分 维 测 量 方 法 只 能近 似正 确 ， 有 时 则完全 失效〔 这 个 问题在 纳米 度 域暴 露 得最 为 明显 『 用 测 量 时 ， 扫 描像 素 点范 围一 般都限制在 在 如 此小 的测 量 范 围 内通 过某一 剖面 能获得 的小 岛截面数将是 非常有 限 的 ， 并且各截面 经 常 相 互 联接 ， 较难分 离 出离散 的湖 或 岛 如 图 所示 的 类不 同的 曲线 岛 ， 当嵌 套 层 次 时 ， 曲线 岛 己经 长 到相 当大 的尺 寸 为 了获得足够 的分 维 测 量 精度 ， 要 求 曲线 岛嵌套 层 次 足 够 大 超 过 层 即 便是 考虑 到允许 一 定 的实验 误 差 或 由于 岛组 的形 状 因素等 的 影 响 ， 嵌 套层 次 也 应 达 到 层 左右 计 算 机模 拟 计 算表 明 ， 在 巧 点的情况 下 ， 己很难 分辨 出离散的小 岛 截面 尤其对 金 属 断 口 ， 要 在 某一截面 内获 得足 够数量 的小 岛截面将更加 困难 因此 ， 在纳米度 域 ， 剖面 小 岛法不 是一 种合适 的分维测量方法 结论 为 了获得 与理想 分 维值尽量接近 的实测

Vol.22N0.4 李启楷等：Koch曲线与分维测量 ·357· 分维值，除了选择下限尺度相等或相近的岛组 参考文献 外，还应使岛组中各岛的轮廓尽量相似， 1 Mandelbrot BB,Passoja D E,Paulley A J.Fractal Charac- (2)对Koch曲线岛采用周长一最大直径等 ter of Fracture Surfaces of Metals.Nature,1984,308(19): 方法可获得其周界的分维理论值l0g34.当其周 721 界嵌套层次在18层以上时，由周长一面积方法 2 Pande C S,Richards L E,Louat N,et al.Fractal Character- 也可以获得理论分维值.考虑到实际图像分析 ization of Fractured Surfaces.Acta Metall,1987,35(7): 1633 误差，嵌套层次达到8层时，周长一面积方法仍 3穆在勤，龙期威.金属断裂表面的分形(Fractal)与断 为获得理想分维值的有效方法.对于初始图形 裂韧性.金属学报，1988，A24(2):142 为正n边形的Koch曲线岛，随着n的增大，由周4 Wang Xiaowei,,Dong Lianke,Xiong Lianggue.Fractal Di-- 长-面积方法获得理论分维值所要求的嵌套层 mensionality and Critical Extension Force.J Phys:Cond- 次减少. ens Matter,1990,2:3879 5 Zhou X Y,Chen D L,Ke W,et al.Fractal Characteristics of (3)对所谓修改的Koch曲线岛，参量a是标 Pitting under Cyclic Loading.Materials Letter,1989,7: 志实测分维值与理想分维值偏离程度的一种度 473 量，a越小，则实测分维值偏离理想分维值越远， 6穆在勤，龙期威，康雁.测量断口分维的周长一最大直 对于实际材料，测量分维时，为了使实测分维值 径方法.材料科学进展，1992,6(3)：227 尽量接近理想分维值，应尽量选择具有相同组 7龙期威，穆在勤.有限层次分形结构和固体断裂行为， 织类型的岛组. 中国科学，1994,24(1)：94 8张跃，王中怀，褚武扬，等.用STM研究金属间化合物脆 (4)目前在纳米度域测量表面形貌的主要手 断表面的纳米尺度特征与分形维数.中国科学(A辑)， 段是扫描隧道显微镜(STM).用STM测量时， 1995,25(6):659 扫描象素点范围一般都限制在512×512.在如此 9李启楷，张跃，褚武扬，等，纳米度域材料断口的分形 小的测量范围内，不可能存在嵌套层次在18层 结构与分维测量.中国科学(A辑)，1999,29(4)：249 以上的岛组，即便是考虑到允许一定的实验误 10 Mandelbrot BB.The Fractal Geometry of Nature.San Fra- sisco:Freeman,1983 差或由于岛组的形状因素的影响，嵌套层次也 1!李学良，林建新.易切削钢冲击断口分维的随机分形 应达到8层左右.可见，在纳米度域下，要在某 分析.金属学报，1994,30：380 一截面内获得足够数量的小岛截面是困难的. 12赵咏秋，李玉清，冯永和.Koch分形曲线岛的构造方 因此，剖面小岛法不是适合于纳米度域的分维 式与维数.中国体视学与图像分析，1997,2(1)：6 测量方法 13李玉清，赵咏秋.自相似结构组合的真伪分维及真分 维的测量.中国体视学与图像分析，1996,1(3,4)：26 致谢：本研究工作得到国家自然科学基金和教育部跨世 14 Falconer K J.Fractal Geometry,Mathematical Foundation 纪人才基金资助，在此表示感谢， and Application.London:John Wiley and Sons,1990 Koch Curve and Fractal Dimension Determination LI Qikai,ZHANG Yue,LI Jizhong,LIU Binghai,LI Yuqing,ZHAO Yongqiou 1)Material Science and Engineering,UST Beijing,Beijing 100083,China 2)East China University of Science and Technology,Shanghai 200237,China 3)Daye Special Steel Co.Ltd.Huangshi 435001,China ABSTRACT A study has been done on the accuracy and reliability of fractal dimensions determined through slit island methods by employing Koch curves.The effects of various constructing factors such as initial size length,shape and looping level on the fractal dimension determination have been investigated.Asa result it is proposed that the slit island methods should not be used in the fractal dimension determination at nanometer scale KEY WORDS fractal:fractal dimension;Koch curve:fractal dimension determination;nanometer scale

李 启 楷 等 曲线 与 分维 测 量 分维 值 ， 除 了选择 下 限尺 度 相 等或 相 近 的 岛组 外 ， 还应 使 岛组 中各 岛 的轮 廓 尽量 相 似 对 曲线 岛采用 周 长一最 大直 径 等 方 法 可 获得 其 周 界 的分 维理 论 值 ‘ 当其 周 界 嵌套层 次在 层 以上 时 ， 由周 长一面积 方 法 也 可 以获 得理论 分 维值 考虑 到 实际 图像 分析 误 差 ， 嵌套层 次达 到 层 时 ， 周 长一面 积 方 法 仍 为获得 理想 分 维值 的有 效方 法 对 于 初 始 图形 为正 边形 的 曲线 岛 ， 随着 的增 大 ， 由周 长 一 面 积 方 法 获 得 理 论 分 维 值 所 要 求 的嵌套 层 次减 少 对 所 谓 修 改 的 曲线 岛 ， 参 量 是 标 志 实测分 维值 与理想 分 维值偏离程 度 的一 种度 量 ， 越小 ， 则实测 分维值偏离理想 分维值越远 对于 实 际材料 ， 侧 量 分 维 时 ， 为 了使实测 分 维值 尽 量 接近 理 想 分 维值 ， 应 尽 量 选 择 具 有 相 同组 织 类 型 的 岛组 目前在纳米度域测 量表 面 形 貌 的主 要 手 段 是 扫 描 隧道 显 微镜 用 测 量 时 ， 扫 描象素 点范 围一 般都 限制在 “ 在 如此 小 的测 量 范 围 内 ， 不 可 能存 在 嵌 套层 次在 层 以上 的 岛组 即便 是 考虑 到 允许 一 定 的实验误 差 或 由于 岛组 的形 状 因素 的影 响 ， 嵌 套层 次 也 应达 到 层 左 右 可 见 ， 在 纳米度域 下 ， 要 在某 一 截面 内获得 足 够 数 量 的 小 岛截 面 是 困难 的 因此 ， 剖面 小 岛法 不 是 适合 于 纳米度 域 的分维 测 量 方 法 致谢 本研 究工 作得到 国家 自然科 学基金 和 教育部跨世 纪人才基金 资助 ， 在此表 示 感 谢 参 考 文 献 ， ， ， ， ， 形 ， ， ， ， 穆在 勤 ， 龙期威 金 属 断裂表面 的分形 任 与断 裂 韧性 金属 学报 ， ， 面 ， ， ， ， 丫 ， ， ， ， 穆在勤 ， 龙期威 ， 康雁 测量 断 口 分维 的周 长 一 最大直 径方 法 材料科学进展 ， ， 龙期威 ， 穆在勤 有限层 次分形 结构和 固体 断裂行 为 中国科 学 ， ， 张跃 ， 王 中怀 ，褚武扬 ， 等 用 研 究金 属 间化合 物脆 断表 面 的纳米尺 度特 征 与分 形 维数 中国科 学 辑， ， 李启 楷 ， 张 跃 ， 褚 武扬 ，等 纳 米度域材 料 断 口 的 分 形 结构与分维测量 ， 中国科学 辑 ， ， · ， 李学 良 ， 林建新 易切削钢冲击 断 口 分维的随机分形 分 析 金 属 学报 ， ， 赵 咏秋 ， 李 玉 清 ， 冯 永和 分 形 曲线 岛的构造 方 式与维数 中国体视 学与 图像分析 ， ， 李玉清 ， 赵 咏秋 自相 似 结构 组 合 的真伪 分维 及真 分 维 的测量 中 国体视 学与 图像 分析 ， ， ， ， ， ，气 刁刃 ，’， “ 几 馆 ，’ ， 刀 矛几 叮 心气 厅项 ，’ ， ， ， 卧 ， 沐 ， ， 而 ， 而 一 丘