三维稳态晶体生长的物理本质

D0I:10.13374/i.issm1001053x.2003.03.036 第25卷第3期 北京科技大学学报 Vol.25 No.3 2003年6月 Journal of University of Science and Technology Beijing Jun.2003 三维稳态晶体生长的物理本质 王凤英”陈明文”孙仁济”王自东) 1)北京科技大学应用科学学院数力系，北京1000832)北京科技大学材料科学与工程学院，北京100083 摘要考虑在均匀流场的作用下，分析了金属熔液凝固过程中晶体生长的三维稳态数学 模型.应用傅里叶级数展开法，在周期性条件下得到了相应的八阶常微分方程的精确解析解， 并确定了解中各系数之间的关系.该解揭示了在均匀流场的作用下，晶体生长呈现了一种周 期性振荡式的模式，从理论上证实了固液界面前沿浓度呈现指数振荡衰减性是晶体生长的 一个本质特性. 关键词金属凝固；晶体生长；偏微分方程；Fourier级数 分类号TG111.4;0781 晶体生长理论与实验的研究已经取得了很 C(x,y,z)=C(x,y+21,z),xER,yER,z>0 (3) 大的进展，尤其对胞晶和枝晶的生长机制有了更 limC(x,y,z)=0 (4) 深刻的认识.Mullins和Sekeka首先在固液界面是 Cx,y,0)=fx,y） (5) 平界面上加一个扰动，得出控制方程的精确解， 其中，D为扩散系数，流场速度分量y,y,y及周 这对认识小振幅的晶体生长机制起了很大的推 期2均为常数，f(x,y)是一个关于x,y的连续周期 动作用..Langer等人首先假设固液界面是一个 函数，周期为21. 抛物面，在此抛物界面上加一个扰动得到其精确 解Xu在固液界面引人界面波，利用摄动方法 2数学模型的求解 解控制方程，得到其二阶渐近解，发现各向异性 不是稳定态晶体生长的必要条件6.本文在固液 由于晶体生长达到稳定态时，其胞晶、枝晶 界面以抛物界面向前生长时，解三维稳定态的浓 形态间距趋于一致，在X,Y轴方向存在着协调一 度控制方程，得到其精确解，证明只要在X,Y方 致的周期性，所以可设浓度控制方程(1)存在关 向有生长速度，固液界面前沿的浓度分布呈周期 于x,y的周期解C(x,y,z),并可以展开成为关于 性或振荡性.这与Wang和Carrard的实验结果一 x,y的傅立叶级数： 致，从理论上证实了固液界面前沿浓度呈现指数 ckx)-42-三Aos"m严cos"吧4 振荡衰减性是晶体生长的一个本质特性 2 B.eosin()sin 1数学模型的建立 D.)sinsin (6) 胞晶，枝晶在生长过程中达到稳定态时，其 将(6)式代入(1)式，并根据三角函数系的正交性 形态在X,Y轴方向存在着协调一致的周期性发 得到：当m=n=0时，有 展，胞晶、枝晶间距趋于一致.考虑一个均匀流场 AaH音468)-0 (7 作用，则晶体生长浓度控制方程和边界条件为： 由边界条件(4)imAo(z)=0,式(7)的解为： 4器8+股S-0w Aao(z)=ce六 (8) Cx,y,z)=Cx+2I,,z,x∈R,y∈R,z>0 (2) 当m2+m+0时，定义线性算子L(E),P(E): 收稿日期200207-24王凤英女，28岁，硕士研究生 L)-{E+aE-〔俨俨门 (9) *国家重大基础研究项目No.G2000067206_1)和北京市科技 (10) 新星计划No.954811800) P(E-LELE

第 卷 第 期 年 月 北 京 科 技 大 学 学 报 匕 一 。 三维稳态晶体生长的物理本质 王 凤 英 ” 陈 明 文 ” 孙 仁 济 ‘， 王 自东 ” 北京科技 大学应用科学学 院数力 系 ， 北京 北 京科技 大学 材料科学 与工 程 学 院 ， 北京 摘 要 考 虑 在 均 匀 流 场 的作用 下 ， 分析 了金 属 熔 液凝 固过程 中晶体生 长 的三维稳态 数学 模型 应 用 傅里 叶级数展开 法 ， 在周期性条件下 得到 了相应 的八阶常微分方程 的精确解析解 ， 并确定 了解 中各系数之 间 的关 系 该解揭 示 了在 均 匀流场 的作用 下 ， 晶体生 长 呈 现 了一种周 期性振荡式 的模式 ， 从理论上 证实 了 固液 界面前 沿浓 度呈 现指 数振荡 衰减 性是 晶体生 长 的 一 个本质特性 关键词 金属 凝 固 晶体生 长 偏 微分方程 级数 分 类号 晶 体生 长 理论 与 实 验 的研究 已 经 取 得 了 很 大 的进展 ， 尤其对胞 晶 和枝 晶 的生 长 机 制有 了更 深 刻 的认识 和 首 先 在 固液 界 面是 平 界 面 上 加 一 个扰 动 ， 得 出控 制 方程 的精 确 解 ， 这 对认识 小 振 幅 的 晶体生 长 机 制 起 了很 大 的 推 动作用 〔， 等人首先假设 固液 界 面是 一 个 抛 物 面 ， 在此抛物 界 面上 加一个扰 动 得 到其精 确 解 ‘ 一， 在 固液 界 面 引人 界 面 波 ， 利 用 摄 动 方 法 解 控制 方程 ， 得 到其二 阶渐 近解 ， 发 现 各 向异 性 不 是稳定 态 晶体生 长 的必要 条件卜 本文 在 固液 界 面 以抛 物界面 向前生 长 时 ， 解 三 维 稳定 态 的浓 度 控 制 方程 ， 得 到其精 确解 ， 证 明 只 要 在 声方 向有 生长 速度 ， 固液界 面前沿 的浓 度 分布呈 周 期 性 或振荡性 这 与 研厄 和 的实 验 结 果 一 致 ， 从理论上 证实 了 固液界 面前沿浓 度 呈 现 指数 振 荡 衰减性 是 晶体生 长 的一 个本 质 特性 ‘， ，夕 ， ，尹 ， ， ，夕任 ， 煦 ，， ， 一 ，夕 ， 气八无 ，夕 其 中 ， 为 扩 散 系 数 ， 流 场 速度 分 量 从 ， 协 ， 认及 周 期 均 为 常 数 ，爪无 ，力是 一 个关于 ， 的连 续 周 期 函 数 ， 周 期 为 数 学模型 的建 立 胞 晶 ， 枝 晶在 生 长 过 程 中达 到稳 定 态 时 ， 其 形 态 在 ， 轴 方 向存 在 着 协 调 一 致 的 周 期 性 发 展 ， 胞 晶 、 枝 晶 间距趋 于一致 考虑 一 个 均 匀 流场 作用 ，则 晶体生 长 浓 度 控制 方 程 和 边 界条件 为 十 带牵愕 一 数 学模型 的 求解 由于 晶体生 长 达 到稳 定 态 时 ， 其胞 晶 、 枝 晶 形 态 间距趋 于一 致 ， 在 ， 轴 方 向存在着 协调 一 致 的周 期 性 ， 所 以 可 设浓 度 控 制 方程 存 在关 于 ， 的 周 期 解 ， ， ， 并 可 以 展 开 成 为 关 于 ， 的傅立 叶级 数 ， ， 二 丛好乡一 至 。 。 塑华 竺冥十 。 ，， 。 华 ‘ 鹦 ，· ‘ 二 ，· 攀 鹦 华 ·罕」 将 式 代人 式 ， 并 根 据 三 角 函数 系 的正 交性 得 到 当 二 时 ， 有 “ ， 。 学 。 ， 。 一 由边 界 条 件 ， ， 式 的解 为 、、尸了 ‘、矛、了 ， 无 ，夕 ， 二 ，夕 ， ， 任 ，少任尺 ， 月。 ， 。 一分 当 扩羊 时 ， 定 义 线 性算 子 ， 收稿 日期 刁 王 凤英 女 ， 岁 ， 硕 士 研究 生 国家重 大基础 研究项 目困 。 和 北京市科技 新 星 计划困 一 一 呼 ’ 华 ’ 二 一 、 、 粤 ’ 呼 ’ ， DOI ：10．13374／j ．issn1001－053x．2003．03．036

Vol.25 No.3 王凤英等：三维稳态晶体生长的物理本质 ·231 式中，E=品a=合B=六？=六由傅立叶级数 (mi+ni)4b-(Bmtyn)a- 的正交性，则有 i+i (24) UE)4.()BaC.(℉A(e-0 (11) UE)B-z)BmD-.(）-TAa=0 (12) ain+ban 或 UE)C.)-BoEA-z)TD- (13) UED.()-BmB.-C..()-0 -(p.0 (14) ain+bi (25) 用算子L(E)作用于(11)和(14)两式上，再将(12)和 (mi+..+(mtm. (13)两式代人，有： dba an=a P(E)4-Az)-2pymlIJD.()-0 (15) 对于式(24)，有解： P(EDD.()-2pm0 (16) a.=(mtyn)a 21bmn 2 (26) 同理，用算子L(E)作用于(12)和(13)两式上，再将 ad2(m+㎡m2 bn=-8 2P (11)和(14)两式代入，有： P(E)B-(z)+2BymnC-()-0 +m+开omnf哥em (17) 由边界条件(4)，为了求得关于z下降形式的解， P(E)C-.(z)+2pywrJB..-0 (18) 在式(27)求b.时，开方应取正根. (1)求解A(z,Dn(z).用算子P(E)作用于式 对于式(25)，有解： (16),再将式(17)代入，得： a.=(Bmtyn)na 2b.2 (28) (PFA-()-2BmrA)0 (19) b仍满足式(27)，但开方自学成才取负根 注意到式(19)是一个八阶常系数线性微分方程， 对于特征方程式(21)，其解法与式(20)的求解 它的特征方程是 过程类似，将之化为关于a的一元二次方程： P-2m-0 (20) a+2-（-俨a*-2"严匹4 或 pa)-2m扩=0 (21) (m+nm+n-2Bmn (29) 先解式(20)，它是一个一元四次代数方程，即 其判别式 4=-4(m-m (30) 42a4c-27j俨}- 分两种情况考虑 2a俨j受lam+w4 (a)当Bm=n时，这时判别式4=0，a为实的二 (m+p+2pmd i-0 (22) 重根a=-+r+㎡7，因而入也为实数，且由 显然2=0不是方程(22)的根.将(22)整理成关于α 边界条件(4)，有 的一元二次方程： (31) a+2--匹a+ 此处2为方程(29)的二重根. 2-俨r4(m+m+ (b)当Bm*yn时，判别式为<0.因为a为实 数矛盾，所以1必为复数.设1=an+bi(bn+0), nm+/n+2mn个=0 (23) 仿同式(20)的求解过程，最后求解得： 其判别式4=-4Bmm川0.因为a为实数， aom ynr a (32) 2 所以1必为复数，设1=a+bi(b≠0)，则式(23) b2=- d2_m2+n元+ 8 212 的解为 ((mt) 之m+m-m牙) 由边界条件(4)，为了求得关于z下降形式的解， .+b 在式(33)求b时，开方应取正根.或 .-号 216 (34) b3仍满足式(33，但为了求得关于z下降形式的 分开实部和虚部

心 王 凤英 等 三 维 稳 态 晶 体 生 长 的物 理 本质 式 中 ， 一 备 ， 。 一 会 ，刀一 会 ， ，一 合 · 由傅立 叶级 数 的正 交性 ， 则 有 二 。 ，， 竿。 ，， · 愕与 ， ，。 。 卜 “ 。 。 。 ， 。 。 竿 。 ，， 。 卜鄂 。 ，， 卜 ‘ 二 。 ，。 卜邻 ， 。 鄂 。 ， ·卜 。 ‘ ， 一 竿 刀 。 ，卜半。 ，卜 。 用 算子 作用 于 和 两式 上 ， 再将 和 两 式代人 ， 有 ‘ · ，·行，一 、 令 · ，· 卜 巧 ‘ 。 ，· ，一 、 · 手、 · ，· 。 卜 ， 同理 ， 用 算 子 作用 于 和 两 式 上 ， 再将 和 两 式 代人 ， 有 迎业瓢票丝幽 一 ，，， 。 吵州需罕生 一 、 ， 。 或 兰呵染架 些剑暨 一 。 、 ， 。 竺…士‘匕息架壑 一 、 ， 。 二 。 ，。 。 二， 刹 ’ 。 ，· ·卜 。 ， 。 · 手、 爪 ，· ，一 求 解 。 刀 ， 。 ， 用 算 子 作用 于 式 ，再将式 代 人 ， 得 〔 。 〕“ ， ，· ，一 、 · 刹 ’ 、 。 ，· ，一 ， 注 意 到式 是 一 个八 阶常 系数线 性 微 分 方 程 ， 它 的特 征 方 程 是 。 卜罕 ·片 ’ 一 或 以卜。 · 于 ’ 一 ‘， 先解 式 ， 它 是一 个 一 元 四 次代数 方 程 ， 即 、 · 、 · 一 粤 ’ · 华 ’ … “ 竿 ’ 华 、 一 习 ‘ 、 、 一 于 枷 · 今 ’ 一 ， 显 然又 不 是 方程 的根 将 整 理成关 于 的一 元二 次方 程 、 一 、 、 一 粤 ’ 一 华 ’」 · ” ‘ 竿 ’ 一 华 ’」、 一，于 ‘ ， 、 一 比 ·比丁 一 ， 其判 别式“ 一 ” 城群启 · 因为 · 为 实 数 ， 所 以 又必 为 复数 ， 设 卜嘶汁纵 纵声 ， 则 式 的解 为 对 于 式 ， 有 解 一迪卑鱼匹一 粤 、 “ 阴 ’月 。 ， 、一 ， 礁一琴 一 鱼璧琴应十 一 ’ ” 李 压琴石寿石刁习而云扁石沂「妇 玉 。 、 、 ” ’ ‘ ” 气 」 丫 ’ ‘ ” ’ 由边 界 条 件 ， 为 了求得 关 于 下 降形 式 的解 ， 在 式 求 纵 ， 时 ， 开 方 应 取 正 根 对 于式 ， 有解 迈丝土塑丛 鱼 一 用 ’ ， ，。 练 刀 仍 满 足 式 ， 但开 方 自学 成 才取 负根 对 于特征 方程式 ， 其解 法 与式 的求解 过 程 类似 ， 将 之化 为关 于 的一 元 二 次方程 “ ’ ·’ · 义卜 ’ 一 呼 ’ 一 华 二 今 ‘ 、 、 ， 一 竿 ’ 呼 ’ “ 一 罕， · 于 ’ 一 今认 协附 其判 别式 一 切胡 一 ， 分 两 种 情况 考 虑 一 于卜 户。 ，·，刊 ” 。 ，· 呱 ， 汁， ， 一 ， 。 当加 二 州 时 ， 这 时判 别 式」“ ， 为实 的二 重 枷一杆 城群专 ， 因耐 也 为 实数 ， 且 由 边 界 条件 ， 有 、 一孕一 艇年蕊石丽习 三 。川 习 戈 、 “ ” ’ ‘ 飞 此 处 瓜 ， 为方 程 的二 重 根 当 加 羊 时 ， 判 别 式 为 」 因为 为实 数 矛 盾 ， 所 以 又必 为 复数 设义二 毓汁，泣 ，声 ， 仿 同式 的求解 过 程 ， 最 后 求解 得 。 一 运擎票理巨一李 。犯、 及 ， 。 膨 ” 一尊 “ ， 一 丝奖‘邺斗 合丫争 一 于 ’ ’ · 一 ，· 于 ’ 由边 界 条件 ， 为 了求得 关 于 下 降形 式 的解 ， 在 式 求 呱 ， 时 ， 开方 应 取 正 根 或 。 坦望二雾些恤一 尽 ‘ 、 “ ， ” 二 ， 蕊仍 满 足 式 、 讨 但 为 了求得 关 于 下 降形 式 的 一 一 手 ’， 。 声 · 于一 ，· 疏汁呱 。 分 开 实部 和 虚 部

232· 北京科技大学学报 2003年第3期 解，在式(33)求b时，开方应取负根.这样，由特 [da=cin =-han ci=-hs di=chm t=h lci=hi (44) 征方程(20)和(21)的解，可以得到常微分方程(19) 的解的具体形式为： d当m-0且d.=2元-含取正 A(z)=checos(bz)+cme"sin(bz)+ 值)或m-7m0且ai.B血-受62取负值)时 21bm chrecos(bz)+ciesin(ba z)+(ci+cz)e (35) d=c22=-2c2=hn 其中c,C,Ca,CC,c,为任意常数，而由式 ldi=chns=h ch=h (45) (15),有： 对于F,G形式的这组方程，注意到此时 D(z)=dine"cos(bz)+desin(b2)+ Bm-yn=0,解得有： decos(bz)+diesin(b)+(d+dz)e(36) (e) dn=can品n=-Rn dn=c.=0V点.=-h-0 (46) 其中dn,d,d,dn,d,dn分别与chnc2ncn (4)数学模型的解析解.综合以上各种情况的 Chm Chm C%有关. 分析，并将Am(z,B(z),C(2),D()的表达式代 (2)求解B(2),C(2以.同理由式(17)，(18)有： 入到式(6)中，且考虑到各系数间的关系，最后得 [P(EFC-.(-2mnj∬c@=0 (37) 到C(x,y,z)的解为： 此式与式(19)类型相同，因而C(z)与Am(z)有相 同类型的解，即 0x小 C(z)=hiecos(bz)+hie"sin(bz)+ 点a.amb.oo7} hecos(bz)+hesin(bz)+(e (38) ncos(sin()esin hm,,h,,hn为任意常数 而由式(18)，有： 三on优小co-学头 B(z)=jiecos(bz)+jiesin(bz)+ .cos62H,sin6z小sin-"四）》+ jecos(bz)+jesin(bz+)e (39) 其中j点n,j流，品，j点，jn分别与h从mhn,hnh 三comjLcol吧-学 hm有关. (47) (3)确定An(z),B(z,C(z),D(z)各系数关 由条件Cx,y,0)=f八xy),可以得到式(47)中的 系.将An(z),Bn(z,Cm(z),D()的表达式(35)， 待定系数： (36),(38),(39)代入到式(11(14)中，则对式(11) a2∫∫x,td (48) (14)中的每个式子都有如下形式的等式： 咖osm+平h (49) [F.cos(b.z)+Gsin(bz)Je+[Fmcos(bz)+ Gsin(b)Je+(F+G)e=0 (40) 么2J∫x,)sin+lad (50) 由三角函数的正交性，并且上方程组中的z≥0， c2e.2J∫x咖osT-平hdy61 有 [F=0 F=0 F=0 k=.」」x,sin"平-"四hd52) G=0G=0 IGIAC=0 (41) 对于F,G形式的这组方程，解得： 3 一个具体的例子 @当a二-m-号(b取正值)时， 21b.m ∫dn=-c以n=-hn (chn=-hi 考虑一个在x,y坐标轴方向上以2π为周期 d,=-ci=-hin lci=ha (42) 的边界条件下的一个具体例子： r-受(b取负值)时， b)当a=2b OCOCv.OC-0 o器器+s8+S dh=-cim L=hi [ch=hin (43) C(x,y,z)=C(x+2l,y,2) d=-ci=hnci=-hhn C(x,y,2)=C(x,y+21,z) 对于F,G形式的这组方程，解得有： limC()=0 (回当m-m0且c-受6航取正 C(x,y,0)=cos(2x)cos(3y) 值)成者m-m0且ci.受取负值） 取L=π，B=y,并且将C(x,y,0)=cos(2x)cos(3y)代 时， 入式(47)，则可得到一系列的参数值：

北 京 科 技 大 学 学 报 年 第 期 解 ， 在式 求 戈 。 时 ， 开 方应取负 根 这样 ， 由特 征 方程 和 的解 ， 可 以 得 到 常微分方程 的解 的具体形 式 为 ， 。 以声“ ， 声 二 ， 声 。 ， 声 众 ， 声吮 二 ， 声 柔 ， 。 心 二 ， 声 几 ，， 比 ， 声 ‘ ， 其 中 比 ， ， 谧 。 ， ， ， 硫 ，， ， 。 ， ， 。 为任意 常数 ， 而 由式 ， 有 ， 礁 ，。 ， 。 ， 声 瞬 ，， “ ‘ 。 ， 声 嵘 ， ‘ 允 众声 武声心 况习 嵘 刀 十礁 ， ， 其 中 嵘 ， ， 吸 。 ， 礁 ， ， ， ， ， 嵘 。 ， 碟 ， 分 别 与 ， 。 ， ， ， ， 。 嵘 ，， 。 补 ， 。 氛 ， 有关 求解 氏 。 ， 。 同理 由式 ， 有 〔 。 〕 。 · 一 、 降 ’ ’ 。 ， 一 。 此式 与式 类 型 相 同 ， 因而 ，。 与态 刀 有 相 同类 型 的解 ， 即 ， 篇 ， “ ， 。 ， 声 乙 ，。 “ 。 ， 声 几 ， 声心 二 ， 声 二 ， “ 二 ， 声 二 ， 汁 象 ， 声 心‘ ， 。 ， ， 。 ， 礁 ， ， ， ， ， 。 ， ， 。 为任意 常数 而 由式 ， 有 。 。 勺孟 ， “ ， 。 ， 声 ， 。 ‘ 。 ， 习 尤 ， 心 二 ， 声 ，， 心 二 ， 产 优 ， 。 。 砂 ‘ 其 中 琳 ， ，， 。 ，， 。 ，， 。 ，， 。 ，， ， 分 别 与， ， ， ， ， ， ，， ， 礁 ，， 欣 ， 。 有关 确 定态众 ， 氏 ， 众 ， 刀 ， 。 ， 各 系 数 关 系 将态 ， 众 ， 凡 ， ， ， ， 氏 ， 众 的 表 达 式 ， ， ， 代 人 到式 中 ， 则 对 式 中的每个式 子 都有 如下 形 式 的 等式 凡 ， 。 。 声 氏 ，， 。 ， 声 “ ， 凡 二 吼声 二力 “ 十 尺二 嵘习砂 声 二 由三 角 函 数 的 正 交性 ， 并 且 上 方 程 组 中的 之 ， 有 ， 一 嘛 外一 ”蒜 武 ，， 嵘 ，， 以 ， 。 二 一 众 ， 当加 一 且晾产一 嵘 ，， 一 之 ， 众 ， 二 众 。 卜 一 洲 二 二 ， 一李况 · 取正 值 域、 一 。 且 蠕严 一李、 ，。 取 负值 时 ， 众 ， 。 。 众 ，。 长 “ 一 众 ， ‘ 一 之 ， ， ， 鱿 ， 嵘 ， 一 众 ， 武嵘 对 于凡二 ， 嵘 ， 形 式 的这 组 方程 ， 注 意 到此 时 刀阴 一 卿 ， 解 得 有 。 武 ， 一 。 ， 。 武 ，。 嵘 ， 行 旗 一 众 。 二 一 轰 。 数学模 型 的解 析解 综合 以上各种情况 的 分析 ， 并 将态众 ， 凡 ，。 ， ， ， 氏 ， 的表 达式 代 人 到 式 中 ， 且 考 虑 到各 系数 间 的关 系 ， 最后 得 到 ， ， 的解 为 ，， ， 卜军 十 底 · 一 ， 。 ， 声 一‘· ‘” 。 ， 声，」一弋。 呼军罕 。 ，， 。 。 。 。 ， 二 。 一 · ” 。 ， 二」一 ‘ · 华 十平 裳 ， · ，， 。 。 ， ， 二 · ， ‘ ”二 ， 二」一华 一罕 。 ，， 一 ，二 ， 二 ·入 ， 一 · 。 小 ‘· 呼 一罕 · 澡 · ，， 一华 一 罕 · ，·砂一呼 一罕 由条件 以 ， ， 二 刀卑 ，力 ， 可 以得 到式 中的 待定 系数 赚 靡 赚 。 。 箭 ， ，，， 伽 ‘ ， · ，， 箭 ， ，， 。 。 塑笋 十罕 、 从 ， 箭 ， ， ， ， 一瑞 、 试罕嘿 箭买 ， ， ， 、 呼 一罕 ， ， 一硫谕买 ， ， ， 加 呼 一罕 、 对 于凡 ，。 ， 氏 ， 。 形 式 的这组 方程 ， 解 得 当‘ ， 户一 加 卿 二 ， 一 誉 纵 ， 取正值 时 ， ‘ 寡二洽 一 个 具体 的例 子 考 虑 一 个 在 ， 坐 标 轴 方 向上 以 为周 期 的边 界条件下 的一 个具体例子 答 纵 。 取 负值 时 ， ‘ 昏器等 带带 蘸于己劫当 、卜卜 伪 心 一 “ 舔 外 一 ”标 筛 一 ”蒜 嵘 。 一 嵘 ，， 以 ，。 众 。 嵘 ，， 一 盆 。 对 于凡 产 ， 吼 ，。 形 式 的这组 方程 ， 解 得 有 当加 一 且呱户一 巨 一 二 二 。 一鲁 况 ， 取 正 ‘ 值 域者， 一 且偏 ‘鸟黔 一 李，派负值 ， ， 十 ， ， ， ， ， ， ，夕 ， ，夕 ， 取 渭 夕 ， 并 且 将 ， ， 七 代 入式 ， 则 可 得 到一 系列 的参数值

Vol.25 No.3 王凤英等：三维稳态晶体生长的物理本质 233· a-0.ci=2c=,cd=0,cd,=0(m+2或n+3) 性或振荡性.这与已有的实验结果一致，从理论 成=0,2.-0品-子i=子 上进一步证实了固液界面前沿浓度呈现指数振 这样，得到问题的解为 荡衰减式性是晶体生长的一个本质特性 C(x,y,z)=[e"cos(bz+2x+3y)+e"cos(b'z-2x+3y)]/2 参考文献 其中，a=-2+32a 2b2 1 Mullins WW,Sekeka R F.Stability of a planar interface b=-131 13e*3nr during solidification of a dilute binary alloy []J Appl 82 Phys,1964,35:444 a=-2g+3& 2 2 Mullins WW,Sekeka R F.Morphological stability of a -号92p0g-n particle growing by diffusion or heat flow [J].J Appl Phys,1963,34:323 取y.=0.005,,=0.00005,D=0.00005,从解的形式 3 Langer JS.Instability and pattern formation in crystal gro- 和图1可以看出，固液界面前沿浓度的变化是振 wth [J].Rev Mod Phys,1980,52:1 荡下降的. 4 Langer JS,Hong DA.Solvability conditions for dendritic growth in the boundary-layer model with capillary anisot- 0.14 ropy [J].Phys Rev A,1986,34:1462 5 Langer J S,Muller-Krumbhaar H.Theoretical growth- 0.10 elements of a stability analysis;Instability in the limit of 0.06 vanishing surface tension;effects of surface tension [J]. Acta Metall,1978,26:1681 0.02 6 Xu J J.Interface wave theory of solidification-dendritic pattern formation and selection of tip velocity [J].Phys 0.02 012345678 RevA,1991,15(43):930 7 Xu JJ.Generalized needle solution,instabilities and pat- 图】固液界面的溶质分布 tern formation [J].Phys Rev E,1996,53(5):5051 Fig.1 Distribution of mass concentration at the solid- 8 Xu J J.Interface Wave Theory of Pattern Formation [M]. liquid interface Springer,1998 9 Wang Mu,Zhong Sheng,Yin Xiaobo,et al.Nanostruc- 4结论 tured copper filaments in electrochemical deposition [J]. Phys Rev lett,2001,86:3827 本文从数学角度给出了三维稳定态晶体生 10 Carrard M,Gremaud M,Zimmermann M,et al.About the 长的浓度控制方程的解析解.这个解表明在一定 branded structure in rapidly solidified dendritic and eutec- 的生长条件下，固液界面前沿的浓度分布呈周期 tic alloys [J].Acta Metall,1992,40:983 Physical Essence of Crystal Growth in the Three-Dimension Stable State Problem WANG Fengying",CHEN Mingwen,Sun Renji.WANG Zidong 1)Department of Mathematics and Mechanics,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China 2)Material Science and Engineering School,University of Science and Technology Beijing,Beijing 100083,China ABSTRACT A corresponding three-dimension steady state model concerned with dendrite growth is analyzed considering the influence of a uniform convection field.By using Fourier series,an eight-order ordinary differential equation is finally solved and an accurate analytic solution is obtained in a very neat form.At the same time the cor- relations among the coefficients in the analytic solution are determined.The obtained solution shows that the crystal growth in the steady state presents cyclic oscillation attenuation along the dendrite growth direction under the influ- ence of a uniform fluid field,and theoretically confirms that this feature is an intrinsic character. KEY WORDS metal solidification;crystal growth;partial differential equation;fourier series

一 王 凤英等 三 维稳 态 晶体 生 长 的物理 本质 一 · 。 一 。 ， 。 一 告 ， 。 一 告 ， 。 ， 。 一 ， 嵘 ， 一 ‘ 。 ‘ 或 ‘ ，， 瓜 ， 一 ， 蒜一 ， 麟 ，，一合 。乡 ， 一 李乙 这样 ， 得 到 问题 的解 为 ，夕 ， 〔 ‘ 妙 “ 、 ‘ 一 效 助 〕 性 或振 荡性 这 与 已 有 的实 验结果 一 致 ， 从 理 论 上 进 一 步 证 实 了 固液 界 面 前 沿 浓 度 呈 现 指 数 振 荡 衰减 式性 是 晶体生 长 的一 个本 质 特性 其 中 ， 罕 尹 旦 琴共 ‘ 李 ‘ 之 ， “ ， 」 罕十 尹 丛 誓号了争 ，， ’ · 罕一 ’ 尹， ’ 取 从 二 ， 认 二 ， ， 从 解 的形式 和 图 可 以 看 出 ， 固液界 面前 沿 浓 度 的变化 是 振 荡 下 降 的 勺 刁 ， ， 图 固液界 面 的溶质分 布 ， 结 论 本 文 从 数 学 角 度 给 出 了 三 维 稳 定 态 晶体生 长 的浓度控制方程 的解 析解 这个解 表 明在 一 定 的生 长条件下 ， 固液界 面前沿 的浓 度分布呈周期 参 考 文 献 ， ， ， ， 而 勿 ， ， 玩 ， ， ， ，八 一 ， ， ， 一 一 ， ， 一刁 ， ， 砰 ， ， ， 认 「 ， 台 ， ， 肠 ， 【 ， ， ， ， ， ， ， 一 恻 舒 馆 ，，， ” ‘，， ， ” 恻万 心 ， 理 ， ， ， 雌 ， 叭 介 ， ， 一 勿 丽 ， 一 节八 ， 八 丽