D(K=KD(X D(KX+C)=K D(X) 证:只需证明最后一式: D(KX+C)=ELKX +C-E(KX+C) E[KX-K·E(X) =E[K2(X-E(x)2] K-·E(X-E(X) 三、协方差与相关系数 前面讲的数学期望和方差都是描述一个随机变量概率分布的某种特征的数值。对于随机向 量来说,它的期望和方差一般就定义为各个分量的期望和方差,即有如下定义 定义:随机向量X=(x,x2,…xn)的数学期望为E(x1),E(x2),…E(xn)),方差为 (D(x1),D(x2),…D(x)),其中E(x)和D(x1)分别代表x:服从的边际分布的数学期望和方差 这样定义的期望和方差对了解随机向量的特征有一定作用,但它不能反映各分量之间的联 系,没有反映出随机向量作为一个整体的特征。为了反映这种分量之间的联系,还需要引入协 方差与相关系数的概念。 定义:对两个随机变量X,Y,称E[(X-E(X))(Y-E(X))]为它们的协方差,记为COV(X,Y)。 对于离散型随机变量,有: EE()(E(∥∑(x1-E(X)y-E(Y)p(x,y) 其中p(x,y=P(=x,F=y),为X,Y的联合概率分布。 对于连续型随机变量,有 EECOEm)(x-E(xX)(y=E()f(xy)dd 其中f(x,y)为(X,Y)的联合分布密度函数 可以证明,若X1,X2的方差存在,它们的协方差也存在。 CoV 定义:称 (X1,X2) 为X,X2的相关系数,记为r2 DX1)√D(X2) 相关系数就是标准化了的协方差,即标准化了的随机变量 E(X1) 的协 D(X1)√D(X2) 相关系数的性质 (1)对相关系数r,有:≤1 当=1时,意味着两随机变量有线性关系:(K,C为常数,K>0) r=1, X=KX2+O r=-1,X1=-KX2+C (2)若r=0,则称Ⅺ1与X2不相关。下列事实等价 (i)cov(X1,X2)=0( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0 2 D X C D X D KX K D X D C + = = = ( ) ( ) 2 D KX +C = K D X 证：只需证明最后一式： 2 D(KX +C) = E[KX +C − E(KX +C)] ( ) ( ( )) [ ( ( )) ] [ ( )] 2 2 2 2 2 2 K D X K E X E X E K X E X E KX K E X = =  − =  − = −  三、协方差与相关系数 前面讲的数学期望和方差都是描述一个随机变量概率分布的某种特征的数值。对于随机向 量来说，它的期望和方差一般就定义为各个分量的期望和方差，即有如下定义： 定义：随机向量 X=（x1, x2, …xn）的数学期望为 (E(x1), E(x2),…E(xn))，方差为 （D(x1),D(x2),…D(xn)）,其中 E(xi)和 D(xi)分别代表 xi 服从的边际分布的数学期望和方差。 这样定义的期望和方差对了解随机向量的特征有一定作用，但它不能反映各分量之间的联 系，没有反映出随机向量作为一个整体的特征。为了反映这种分量之间的联系，还需要引入协 方差与相关系数的概念。 定义：对两个随机变量 X，Y，称 E[(X-E(X））（Y-E(X））]为它们的协方差，记为 COV(X，Y)。 对于离散型随机变量，有： E[(X-E(X))(Y-E(Y))]= − −  i j i j i j x E X y E Y p x y , ( ( ))( ( )) ( , ) 其中 p(xi, yj)=P(X=xi, Y=yj)，为 X，Y 的联合概率分布。 对于连续型随机变量，有： E[(X-E(X))(Y-E(Y))]=   + − + − (x − E(X))(y − E(Y)) f (x, y)dxdy 其中 f(x,y)为（X，Y）的联合分布密度函数。 可以证明，若 X1，X2 的方差存在，它们的协方差也存在。 定义：称 ( ) ( ) cov( , ) 1 2 1 2 D X D X X X  为 X1，X2 的相关系数，记为 r12。 相关系数就是标准化了的协方差，即标准化了的随机变量 ( ) ( ) , ( ) ( ) 2 2 2 1 1 1 D X X E X D X X − E X − 的协 方差。 相关系数的性质： （1）对相关系数 r,有： r ≤1 当 r =1 时，意味着两随机变量有线性关系：（K，C 为常数，K>0） r=1, X1=KX2+C r=-1, X1=-KX2+C (2)若 r=0, 则称 X1 与 X2 不相关。下列事实等价： (i) cov(X1，X2)=0