(ii)X与X2不相关 (iii)E(X1·X2)=E(X1)·E(X2) (iv)D(X1+X2)=D(X1)+D(X2) 证明:(i)与(ii)等价显然 cov(X1,X2)=E[(X-E(X)·(X2-E(X2))] E[X1X2-X1·E(X2)-X2·E(X1)+E(X)·E(X2)] E(X2X2)-E(X1)·E(X2) (i),(iii)等价 D(X1+X2)=E[X-E(X1)+X2-E(X2)]2 E[(X1-E(X1)2+(X2-E(X2))2+2(X1-E(X)(X2-E(X2))] D (X,+D(X, )+2cov(XI, X2) ∴(i)与(iv)等价 (2)若X,Y独立,则X,Y不相关,但逆不成立 实际上,独立是说互相间没有任何影响,因此不存在任何函数关系;而不相关只说X 间没有线性关系,是否有非线性关系则不一定。 另外,期望和方差的运算也可推广到n个随机变量: 若X,X2…X。不相关,则 E(X1·X2…Xn)=E(X1)·E(X2)…E(Xn) D(X1+X2+…+X)=D(X1)+D(X2)+…+D(X2) 前面所介绍的数学期望,方差,协方差等最常用的数字特征,都是某种矩。 (1)原点矩:对正整数k,m=E(X)称为随机变量X的k阶原点矩。数学期望就是一阶原点矩。 (2)中心矩:对正整数k,C=E(X-E(X))*称为随机变量X的k阶中心矩。方差是二阶中心矩。 五、其他一些数学特征 1.中位数: 定义:中位数是同时满足P(X≥x)≥,P(X≤x)≥的x值。 注意:在离散型的情况下,中位数可能不唯 P:0.10.40.5 中位数为[5,7]中任意数。 2.众数: 定义:若ⅹ为离散型,则使P(X=x)=p达到最大值的x称为众数;若X为连续型,则使其 密度函数f(x)达到最大值的x称为众数 在上面的例子中,众数为7。显然众数也可能不唯一。 3.变异系数: 由于方差,标准差的大小均与所取的单位有关,不能客观反映随机变量本身的特征,我们 引入变异系数的概念: 定义:令CV=,称为随机变量ⅹ的变异系数 这是一个没有单位的数,使用它可以更好地直观比较各随机变量的离散程度,但一般不用 于统计检验 4.偏态系数(偏度):(ii) X1 与 X2 不相关 (iii) E(X1·X2) = E(X1)·E(X2) (iv) D(X1+X2) = D(X1)+D(X2) 证明：（i）与(ii)等价显然。 ∵ cov(X1，X2) = E[(X1-E(X1) ·(X2 –E(X2))] = E[X1X2-X1·E(X2)-X2·E(X1)+ E(X1)·E(X2)] = E(X2X2)- E(X1)·E(X2) ∴ (i),(iii)等价 D(X1+X2) = E[X1-E(X1)+X2 –E(X2)]2 = E[(X1-E(X1)) 2 +(X2 –E(X2))2 +2(X1-E(X1)) (X2 –E(X2))] = D(X1)+D(X2)+2cov(X1,X2) ∴ （i）与(iv)等价 （2）若 X，Y 独立，则 X，Y 不相关，但逆不成立。 实际上，独立是说互相间没有任何影响，因此不存在任何函数关系；而不相关只说 X，Y 间没有线性关系，是否有非线性关系则不一定。 另外，期望和方差的运算也可推广到 n 个随机变量： 若 X1，X2 …Xn 不相关，则： E（X1·X2 …Xn）= E(X1)·E(X2) …E（Xn） D（X1+X2+…+Xn）= D(X1)+D(X2)+ …+D（Xn） 四、矩 前面所介绍的数学期望，方差，协方差等最常用的数字特征，都是某种矩。 （1）原点矩：对正整数 k, mk=E(Xk )称为随机变量 X 的 k 阶原点矩。数学期望就是一阶原点矩。 （2）中心矩：对正整数 k，Ck=E(X-E(X))k 称为随机变量 X 的 k 阶中心矩。方差是二阶中心矩。 五、其他一些数学特征 1. 中位数： 定义：中位数是同时满足 P(X≥x)≥ 2 1 ,P(X≤x)≥ 2 1 的 x 值。 注意：在离散型的情况下，中位数可能不唯一。 如：X： 1 5 7 P： 0.1 0.4 0.5 中位数为[5,7]中任意数。 2. 众数： 定义：若 X 为离散型，则使 P（X=xi）=pi 达到最大值的 xi 称为众数；若 X 为连续型，则使其 密度函数 f(x)达到最大值的 x 称为众数。 在上面的例子中，众数为 7。显然众数也可能不唯一。 3. 变异系数： 由于方差，标准差的大小均与所取的单位有关，不能客观反映随机变量本身的特征，我们 引入变异系数的概念： 定义：令   CV = ，称为随机变量 X 的变异系数。 这是一个没有单位的数，使用它可以更好地直观比较各随机变量的离散程度，但一般不用 于统计检验。 4. 偏态系数（偏度）：