定义:三阶中心矩除以标准差的立方称为随机变量的偏态系数,记作C。即:CsC 峰态系数(峭度) 定义:四阶中心矩除以标准差的4次方再减3,称为峰态系数,记作C。即:CsC 密度函数图形尖;C<0,密度函数图形平 正态分布的偏度和峭度均为0,这一性质常用于检验一个观测到的分布是否服从正态分布。 §2.6大数定律与中心极限定理 如果一列随机变量X1,X2,…Xn互相独立,且有相同的边际分布函数,则称它们为独立同 分布的随机变量。连续掷币,有放回摸球等许多实验都可产生独立同分布随机变量列 定义:称随机变量列是相互独立的,若对任何的x1,x2,…xn,有: F(x1,x2,…xn)=F1(x1)·F2(x 其中F1,F2,…Fn分别为X1,X2,…Xn的边际分布函数,而F为其联合分布函数。即 对离散型:P(X1=x1,X2=x2,…Xn=xn)=P(X1=x1)·P(X2=x2)…P(Xn=xn) 对连续型:fx1,x2,…xn)=fi(x)·f(x2)·…·fxn) 若各X还有共同的分布函数,则称它们为独立同分布的随机变量 大数定律:X1,X2,…Xn…是独立同分布的随机变量,且数学期望存在。设E(X)=a,则对 任意E>0,有 imP(-a≥E)=0 其中Sn=∑X 中心极限定理:设X1,X2,…Xn…是独立同分布的随机变量,且E(X),D(X)存在,则对一切 a lim P(a< E(X b) √n·D(X) 其中S=X1+X2+…+X 这两个定理是许多数理统计方法的基础,它们的证明超出了本课程的范围。大数定律实际 是说,只要实验次数足够大,样本均值就会趋近于母体的期望:而中心极限定理则证明许多小 的随机因素的叠加会使总和的分布趋近于正态分布。正因为如此,统计中才能把绝大多数样本 看成是取自正态母体 另外,中心极限定理还说明不管原来的母体分布是什么,只要n足够大,即可把样本均值x 视为服从正态分布。 作业 1.育种中,已知采用某种诱变方法后基因发生突变的概率为2.5×107,求在104个基因中至少 有一个发生突变的概2 2.在某孤立区域中捕获某种生物M只,标记后放回。第二次又捕获该生物n只,其中有k只 有标记,试估计该种群个体数可能性最大的值 3.某实验成功的概率为0.8,现连续实验,直到成功为止。求所需实验次数X的概率分布,并 求分布函数F(∞)的值 4.一批报废的零件,其中混有5%的合格品。现需从中选出5只合格品备用,试求所需检验次 数的概率分布定义：三阶中心矩除以标准差的立方称为随机变量的偏态系数，记作 CS。即： 3 3  C Cs = 5. 峰态系数（峭度） 定义：四阶中心矩除以标准差的 4 次方再减 3，称为峰态系数，记作 Ce。即： 4 4  C Ce = -3 Ce>0，密度函数图形尖；Ce<0，密度函数图形平。 正态分布的偏度和峭度均为 0，这一性质常用于检验一个观测到的分布是否服从正态分布。 §2.6 大数定律与中心极限定理 如果一列随机变量 X1，X2，…Xn 互相独立，且有相同的边际分布函数，则称它们为独立同 分布的随机变量 。连续掷币，有放回摸球等许多实验都可产生独立同分布随机变量列。 定义：称随机变量列是相互独立的，若对任何的 x1，x2，…xn，有： F(x1，x2，…xn)= F1(x1) ·F2(x2) ·…·Fn(xn) 其中 F1，F2 ，…Fn 分别为 X1，X2，…Xn 的边际分布函数，而 F 为其联合分布函数。即： 对离散型： P(X1= x1，X2 =x2，…Xn = xn) = P(X1= x1)·P(X2 =x2)…P(Xn = xn) 对连续型： f(x1，x2，…xn) = f1(x1) ·f2(x2) ·…·fn(xn) 若各 Xi 还有共同的分布函数，则称它们为独立同分布的随机变量。 大数定律：X1，X2，…Xn…是独立同分布的随机变量，且数学期望存在。设 E（Xi）=a，则对 任意ε>0，有： lim ( −  ) = 0 → a  n S P n n 其中 = = n i Sn Xi 1 中心极限定理：设 X1，X2，…Xn…是独立同分布的随机变量，且 E(Xi)，D(Xi)存在，则对一切 实数 a<b，有：  − →  =  −   b a u i n i n b e du n D X S n E X P a 2 2 1 2 1 ) ( ) ( ) lim (  其中 Sn= X1+X2+…+Xn。 这两个定理是许多数理统计方法的基础，它们的证明超出了本课程的范围。大数定律实际 是说，只要实验次数足够大，样本均值就会趋近于母体的期望；而中心极限定理则证明许多小 的随机因素的叠加会使总和的分布趋近于正态分布。正因为如此，统计中才能把绝大多数样本 看成是取自正态母体。 另外，中心极限定理还说明不管原来的母体分布是什么，只要 n 足够大，即可把样本均值 x 视为服从正态分布。 作业： 1. 育种中，已知采用某种诱变方法后基因发生突变的概率为 2.5×10-7，求在 104 个基因中至少 有一个发生突变的概率。 2. 在某孤立区域中捕获某种生物 M 只，标记后放回。第二次又捕获该生物 n 只，其中有 k 只 有标记，试估计该种群个体数可能性最大的值。 3. 某实验成功的概率为 0.8，现连续实验，直到成功为止。求所需实验次数 X 的概率分布，并 求分布函数 F(∞)的值。 4. 一批报废的零件，其中混有 5%的合格品。现需从中选出 5 只合格品备用，试求所需检验次 数的概率分布