此处f()是标准正态密度函数，因此Y的个分量的联合密度等于每个分量的密度的乘积。于 是Y的n个分量相互独立，且Y~N(0,1),i=1,…,n.因而 E(Y)=0,Cou(Y)=∑-Cou(X)'Σ-黄=2-2-专=1， 从而由X=∑y+4可知 E(X)=u,Cou(X)=Cov(Y)=. 2.多元正态分布的性质 将向量Xnx1和4nx1做相应的分块 Xnx1= 4(1) (7.2.2) X2) 4(2) 其中Xa,皆为p×1向量：X2,42,均为q×1向量，p+q=n.将X的协方差阵2有如下的 分块对角的形式 ∑11∑12 (7.2.3) 21∑22 这里∑11为p×1的子方阵。 定理7.2.6(1)设X~Nn(4,),且X,u和的分块分别由(7.2.2)和(7.2.3)给出，其中∑12= 0,21=0,则X(1)和X2相互独立，且X@~N(,),i=1,2. (2)特别若∑=σ2I,X=(X1,…,Xn)/,4=(1,…,n)/,则X~N(,o2),i= 1,2,…,n. 证明(1)由于X~Nn(4,),且其协方差阵∑有分块对角的形式(7.2.3)，容易将X的密度函 数分解为如下形式 f(x)=f(x1)f(x2) 其中f(x)和f(x2)分别为X)~N(a,1)和X2)~N(2,22).的密度函数。 (2)设X~Nn(u,),则其特征函数(c.f)为 (t)=p(t1,...,tn)=E(eit'x)=eit'u-it't Π{e-o2} =1 关于正态随机向量的线性变换的正态性有下列结果： 定理7.2.7设X~Nn(u,),A为n×n可逆常数阵，b为n×1常向量，记Y=AX+b,则 YNNn(Aμ+b,A∑A). 7d?f(yi)¥IOó›ºÍßœdY nᩲÈ‹ó›uzᩲ󛶻"u ¥Y nᩲÉp’·ßÖYi ∼ N(0, 1), i = 1, · · · , n. œ E(Y) = 0, Cov(Y) = Σ− 1 2 Cov(X) 0Σ − 1 2 = Σ− 1 2 ΣΣ− 1 2 = I, l dX = Σ1 2 y + µ å E(X) = µ, Cov(X) = Cov(Σ1 2 Y) = Σ. 2. ı©Ÿ5ü Úï˛Xn×1⁄µn×1âÉA©¨ Xn×1 = X(1) X(2) ! , µn×1 = µ(1) µ(2) ! (7.2.2) Ÿ•X(1), µ(1)èp × 1ï˛¶X(2), µ(2) ˛èq × 1ï˛, p + q = n. ÚX ê Σ kXe ©¨È/™ Σ = Σ11 Σ12 Σ21 Σ22 ! , (7.2.3) ˘pΣ11èp × 1fê " ½n7.2.6 (1) X ∼ Nn(µ, Σ), ÖX, µ⁄Σ©¨©Od(7.2.2)⁄(7.2.3)â—ߟ•Σ12 = 0, Σ21 = 0, K X(1) ⁄X(2) Ép’·ßÖX(i) ∼ N(µ(i) , Σii), i = 1, 2. £2§ AOeΣ = σ 2 I, X = (X1, · · · , Xn) 0 , µ = (µ1, · · · , µn) 0 , KXi ∼ N(µi , σ2 ), i = 1, 2, · · · , n. y² (1) duX ∼ Nn(µ, Σ),ÖŸê Σ k©¨È/™(7.2.3), N¥ÚXó›º Í©)èXe/™ f(x) = f(x(1))f(x(2)) Ÿ•f(x(1))⁄f(x(2))©OèX(1) ∼ N(µ(1) , Σ11)⁄X(2) ∼ N(µ(2) , Σ22).ó›ºÍ" (2) X ∼ Nn(µ, Σ)ßKŸAºÍ(c.f.)è ϕ(t) = ϕ(t1, · · · , tn) = E(e it0X) = e it 0µ− 1 2 t 0Σt = Yn j=1  e itjµj− 1 2 t 2 jσ 2 . 'uëÅï˛Ç5CÜ5ke(Jµ ½n7.2.7 X ∼ Nn(µ, Σ), Aèn × nå_~Í ßbèn × 1~ï˛ßPY = AX + bßK Y ∼ Nn(Aµ + b, AΣA 0 ). 7