证明用特征函数证明。 E(eit'y))=E(eit'(AX+b))=eit'b.E(eit'AX)(A=P) =ei'6.E(ex)=ew'b.e- eit'b.eit'Au-ASA't =eit'(Au+6)-'ACA't 即Y~N(Aμ+b,A∑A') 推论7.2.2设X~Nn(4,),则Y=∑-X心N(公-4，I) 关于正态随机向量的边缘分布有下列结果： 定理7.2.8设X~Nn(4,),X,4,分块形式如(7.2.2)和(7.2.3)所示，则X~Np(1),11). 同理X(2~Ng(2,222.此处p+q=n 证明在定理7.2.7中取 人 1=（-211 b=0 则Y=AX~N(A,A∑A),此时 Y=AX= X() X()-EaX0) AA'= 11 0 022.1 其中乃22.1=∑22-21∑12，从而 -(g）x心(（四）(a) 由定理7.2.6可知：Y=X()~N(1),11) 0 注在上述证明中，若取 4-() 用类似方法可证X(2)~Ng(2,22): 定理7.2.7还可以进一步推广，获得如下结果： 定理7.2.9设Am×n常数阵，R(A)=m<n,则 Ymx1=AX~Nm(Au,AEA'). 证明：因Amxn秩为m,在n维线性空间存在n-m个向量与Amxn的行向量拼起来构 成Rm的一组基向量，记这n-m个行向量矩阵为Ba-m)xn,记Cnxm= A B C为n×n可 逆阵，Z=CX~N(Cμ，CΣC),从而 a--()x-()()(如)()》y² ^AºÍy²" E(e it0Y )) = E(e it0 (AX+b) ) = e it0 b · E(e it0AX) (-t 0A = et 0 ) = e it0 b · E(e iet 0X) = e it0 b · e iet 0µ− 1 2 et 0Σet = e it0 b · e it0Aµ− 1 2 t 0AΣA 0 t = e it0 (Aµ+b)− 1 2 t 0AΣA 0 t , =Y ∼ N(Aµ + b, AΣA0 ). Ìÿ7.2.2 X ∼ Nn(µ, Σ)ßKY = Σ− 1 2 X ∼ Np(Σ− 1 2 µ, I). 'uëÅï˛>©Ÿke(Jµ ½n7.2.8 X ∼ Nn(µ, Σ)ßX, µ, Σ©¨/™X(7.2.2) ⁄(7.2.3) §´ßKX(1) ∼ Np(µ(1), Σ11). ”nX(2) ∼ Nq(µ(2), Σ22). d?p + q = n. y² 3½n7.2.7• A = Ip 0 −Σ21Σ −1 11 Iq ! , b = 0, KY = AX ∼ N(Aµ, AΣA0 )ßdû Y = AX = X(1) X(2) − Σ21Σ −1 11 X(1) ! , Aµ = µ(1) µ(2) − Σ21Σ −1 11 µ(1) ! , AΣA 0 = Σ11 0 0 Σ22·1 ! , Ÿ•Σ22·1 = Σ22 − Σ21Σ −1 11 Σ12ßl Y = Y(1) Y(2) ! = AX ∼ Nn µ(1) ∗ ! , Σ11 0 0 Σ22·1 ! !, d½n7.2.6åµY(1) = X(1) ∼ Np(µ(1), Σ11). 5 3˛„y²•ße A = Ip −Σ −1 11 Σ12 0 Iq ! ^aqê{åyX(2) ∼ Nq(µ(2), Σ22). ½n7.2.7Ñå±?ò⁄Ì2ߺXe(Jµ ½n7.2.9 Am×n ~Í ßR(A) = m < n, K Ym×1 = AX ∼ Nm(Aµ, AΣA 0 ). y²µ œAm×n ùèmß3nëÇ5òm3n − máï˛ÜAm×n 1ï˛©Â5 §Rn ò|ƒï˛ßP˘n − má1ï˛› èB(n−m)×nßPCn×n = A B ! , C èn × nå _ ßZ = CX ∼ N(Cµ, CΣC 0 ),l Z = CX = A B ! X = AX BX ! , Z1 Z2 ! ∼ Nn Aµ Bµ ! , AΣA0 AΣB0 BΣA0 BΣB0 ! !, 8