由定理7.2.8可知：Z1=AXNm(A4,A∑A): 推论7.2.3在定理7.2.9中，若取C为一个行向量即C=c,则cnx1X~N(C4,d∑c),即一 元正态变量的线性组合仍为正态。 关于正态变量的两个线性型的独立性有下列结果 定理7.2.10设X~Nn(,),则当A∑B=0时，AX和BX独立。 证明Cow(AX,BX)=ACou(X)B=AEB=0,故AX和BX不相关，由于它们是正态变 量，故不相关与独立等价，因此AX和BX独立。 ▣ 四、正态变量二次型的分布 1.X品分布的定义及性质 略，见《数理统计》S2.4. 2.多元正态变量二次型服从X2分布的判别方法 定理7.2.11(1)设X心Nn(0,),∑>0（正定），则X'-1X~X2.当X~N(,), 则(X-∑-1(X-)心X品 (2)设X~Nn(0,I),An为对称阵，R(A)=r>0,则当A为幂等阵，即A2=A)时，二次 型X'AX~X. 证明(1)记Y=-X,则Y=(Yi,2,…,Yn)y~Nn(0,I)←→Y~N(0,1),i= 1,2…,n,从而X公-1X=YY=∑y2~X2 (2)对称幂等阵特征根非0即1，即存在正交阵Qnxn使得： 入 此即 a-ql5 o)qaoq. 因此 X'AX X'QAQX=YAY=Y2. 其中Y=Qx~Nn(0,I),从而X'AX=∑Y2~X2 ▣ 推论7.2.4(1)若X~Nn(4,I),A2=A,A'=A,R(A)=r,则(X-A(X-4)~X2 (②)若XN(4,),A对称，R(A)=r,且A∑A=A,则(X-)'A(X-)~X2 9d½n7.2.8åµZ1 = AX ∼ Nm(Aµ, AΣA0 ). Ìÿ7.2.3 3½n7.2.9•ßeC èòá1ï˛=C = cßKc 0 n×1X ∼ N(c 0µ, c0Σc)ß=ò C˛Ç5|‹Eè" 'uC˛¸áÇ5.’·5ke(J ½n7.2.10 X ∼ Nn(µ, Σ)ßKAΣB0 = 0ûßAX ⁄BX ’·" y² Cov(AX, BX) = ACov(X)B0 = AΣB0 = 0ßAX ⁄BX ÿÉ'ßdußÇ¥C ˛ßÿÉ'Ü’·dßœdAX ⁄BX ’·" o!C˛g.©Ÿ 1. χ 2 n ©Ÿ½¬95ü —ßÑ5Ín⁄O6§2.4. 2. ıC˛g.—lχ 2 ©ŸOê{ ½n7.2.11 (1) X ∼ Nn(0, Σ), Σ > 0 (½)ßKX0Σ −1X ∼ χ 2 n .  X ∼ N(µ, Σ)ß K(X − µ) 0Σ −1 (X − µ) ∼ χ 2 n . (2) X ∼ Nn(0, I)ßAn èÈ° ßR(A) = r > 0ßKAèò , =A2 = A)ûßg .X0AX ∼ χ 2 r . y² (1) PY = Σ− 1 2 XßKY = (Y1, Y2, · · · , Yn) 0 ∼ Nn(0, I) ⇐⇒ Yi ∼ N(0, 1), i = 1, 2, · · · , nßl X0Σ −1X = Y 0Y = Xn i=1 Y 2 i ∼ χ 2 n . (2) È°ò Aäö0=1ß=3 Qn×n ¶µ Q 0AQ =   λ1 . . . λr 0 . . . 0   =   1 . . . 1 0 . . . 0   d= A = Q Ir 0 0 0 ! Q 0 , QΛQ 0 , œd X0AX = X0QΛQ 0X = Y 0ΛY = Xr i=1 Y 2 i , Ÿ•Y = Q0X ∼ Nn(0, I)ßl X0AX = Xr i=1 Y 2 i ∼ χ 2 r . Ìÿ7.2.4 (1) eX ∼ Nn(µ, I), A2 = A, A0 = A, R(A) = rßK(X − µ) 0A(X − µ) ∼ χ 2 r . (2) eX ∼ Nn(µ, Σ)ßAÈ°ßR(A) = rßÖAΣA = AßK(X − µ) 0A(X − µ) ∼ χ 2 r . 9