第十章微扰论 §10.1束缚态微扰论I:非简并情形 1.微扰论的基本构架 可以精确求解的量子力学问题是很少的,所以近似方法有重要的作用。微扰论是广泛应用的近似方 法之一。 我们的目标仍然是求解定态 Schrodinger方程,即能量本征方程 Hyn=Eny 并且只关心東缚态,因而能量本征值{E}是离散的。但问题是H比较复杂,不能精确求解。如果H有 下面的形式: B=+分 其中H)是可解的,即它的本征方程 已经解出(E0和v都知道了),而(称为微扰 Hamiltonian)是一个小的修正: ≮B(0 (关于这个式子的准确含义,后面再给予解释),那么我们就可以采用下面的“微扰”方法。 首先形式地把H重新写成 H'=2B 其中λ是一个小的实参数。然后把 Schrodinger方程的解En和vn按照的幂次逐阶展开,即令 En=E0+E0)+2E2)+… 1 而EO,ED,En2)…和v0,v0),v2),…都不再包含。显然,E0和v0与无关,称为En和vn 的“零级近似”,而AED和v称为En和vn的“一级微扰论修正”,2E)和2v2称为En和vn 的“二级微扰论修正”,等等。一般说来,越高级的项越小,所以可以只保留最低的几级,便有足够的 精度。把上述展开式代入原方程,得到 (r0)+B①)v0)+vD+2v2 (E0+ED+2E2)+…)(v0+v0)+2v2)+…) 让上式中λ的幂次相同的项分别相等,我们就得到一系列方程。这些方程就称为各级微扰论方程。我们 即将看到,微扰论方程是可以逐级解出的 零级方程就是原来的H的本征方程,即 H(yo)=Ey o 一级方程是: (H0)-E0)v)=-(H0-E)v0 二级方程是 (00-EO)v2)=-(0)-E)v+En 如此等等。不过必须指出:我们引入参数λ的目的仅仅是为了让微扰论的各“级”有明确的含义。实际 上,我们看到的微扰 Hamiltonian就是H’。所以,此后我们仍然令2=1,0)=’,于是以上各式就 分别成为 E=EO+E+E v,=yu (0)-E0)vD=-(-E0)v0 (0-EO)V2)=-(-ED)v+E2yv0 关于微扰论中波函数的归一化问题我们要说几句。大家知道, Schrodinger方程对于波函数是线性方1 第十章 微扰论 §10.1 束缚态微扰论 I：非简并情形 1. 微扰论的基本构架 可以精确求解的量子力学问题是很少的，所以近似方法有重要的作用。微扰论是广泛应用的近似方 法之一。 我们的目标仍然是求解定态 Schrödinger 方程，即能量本征方程 ˆ , H E   n n n = 并且只关心束缚态，因而能量本征值 { } En 是离散的。但问题是 H ˆ 比较复杂，不能精确求解。如果 H ˆ 有 下面的形式： , ˆ ˆ ˆ (0) H = H + H 其中 (0) H ˆ 是可解的，即它的本征方程 (0) (0) (0) (0) ˆ H E   n n n = 已经解出（ (0) En 和 (0)  n 都知道了），而 H  ˆ (称为微扰 Hamiltonian）是一个小的修正： (0) H H ˆ ˆ  , （关于这个式子的准确含义，后面再给予解释），那么我们就可以采用下面的“微扰”方法。 首先形式地把 H  ˆ 重新写成 (1) H H ˆ  ˆ  = , 其中  是一个小的实参数。然后把 Schrödinger 方程的解 En 和  n 按照  的幂次逐阶展开，即令： (0) (1) 2 (2) E E E E n n n n = + + +   , (0) (1) 2 (2)      n n n n = + + + , 而 (0) (1) (2) , , , E E E n n n 和 (0) (1) (2) , , ,    n n n 都不再包含  。显然， (0) En 和 (0) n 与 H  ˆ 无关，称为 En 和  n 的“零级近似”，而 (1)  En 和 (1)  n 称为 En 和  n 的“一级微扰论修正”， 2 (2)  En 和 2 (2) n 称为 En 和  n 的“二级微扰论修正”，等等。一般说来，越高级的项越小，所以可以只保留最低的几级，便有足够的 精度。把上述展开式代入原方程，得到 (0) (1) (0) (1) 2 (2) ˆ ˆ ( )( ) H H + + + +      n n n (0) (1) 2 (2) (0) (1) 2 (2) ( )( ) = + + + + + + E E E n n n n n n       . 让上式中  的幂次相同的项分别相等，我们就得到一系列方程。这些方程就称为各级微扰论方程。我们 即将看到，微扰论方程是可以逐级解出的。 零级方程就是原来的 (0) H ˆ 的本征方程，即 (0) (0) (0) (0) ˆ H E   n n n = . 一级方程是： (0) (0) (1) (1) (1) (0) ˆ ˆ ( ) ( ) . H E H E − = − − n n n n   二级方程是： (0) (0) (2) (1) (1) (1) (2) (0) ˆ ˆ ( ) ( ) . H E H E E − = − − + n n n n n n    如此等等。不过必须指出：我们引入参数  的目的仅仅是为了让微扰论的各“级”有明确的含义。实际 上，我们看到的微扰 Hamiltonian 就是 H  ˆ 。所以，此后我们仍然令 (1) ˆ ˆ  = = 1, H H ，于是以上各式就 分别成为： (0) (1) (2) E E E E n n n n = + + + , (0) (1) (2)     n n n n = + + + , (0) (0) (1) (1) (0) ˆ ˆ ( ) ( ) . H E H E − = − − n n n n    (0) (0) (2) (1) (1) (2) (0) ˆ ˆ ( ) ( ) . H E H E E − = − − + n n n n n n     关于微扰论中波函数的归一化问题我们要说几句。大家知道，Schrödinger 方程对于波函数是线性方