程,所以波函数的归一化要在上面的方程组之外另行解决。对vn=v0+v0)+2v2)+…做归 化,我们发现有 1=(n,V)=(00,y)+(0,w)+v,w) 2(v )+(v0),vn)+(y 既然我们已经取了v0前面的系数是1,那么由于(0,v0)=1,所以这就要求 (ym,yu )+m , yn)=0, (v0),v2)+(v0,v0) 对于v来说,通常就简单地要求 以使上面的第一式得到满足。但是对于更高级的微扰波函数是不能这样要求的。 2.一级微扰能和微扰波函数 我们先处理非简并情形,即0的属于EO的本征态只有一个。为了解一级方程,把v按{v0} 来展开: D=∑amym 再代入方程中得 >amm(H(o)-Em )vo=-(Ho-Em)VA 即是 ∑am(Em-E0 H'-EO)y o 在这等式的两端乘以v"并且积分,注意{v0)}是正交归一的,就得 a(EkO)-EfO))=-vkoH'wfo)dr+En k是任选的,如果选k=n,那么上式左方就等于0,所以我们得到了一级微扰能: 其中Hn就是在{v}表象中的矩阵元,也就是在状态v0下的平均值。如果选k≠n,那么右 方第二项=0,所以得到 -E(o (k≠n) 其中H是矩阵元 Hm= wfodr=(k/tor 当然,这里不能给出am),但是由于我们要求v和v0)正交,所以am=0。因此一级微扰波函数是 其中∑表示求和中不包括m=n的项。由此,我们发现微扰论适用的条件是 这就是H'《H)的准确含义 3.二级微扰能 二级微扰方程是:2 程，所以波函数的归一化要在上面的方程组之外另行解决。对 (0) (1) 2 (2)      n n n n = + + + 做归一 化，我们发现有 (0) (0) (0) (1) (1) (0) 2 (0) (2) (1) (1) (2) (0) 1 ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) n n n n n n n n n n n n n n                 = = + +     + + + +     既然我们已经取了 (0)  n 前面的系数是 1，那么由于 (0) (0) ( , ) 1   n n = ，所以这就要求 (0) (1) (1) (0) (0) (2) (1) (1) (2) (0) ( , ) ( , ) 0, ( , ) ( , ) ( , ) 0, n n n n n n n n n n           + = + + = 对于 (1)  n 来说，通常就简单地要求 (0) (1) ( , ) 0,   n n = 以使上面的第一式得到满足。但是对于更高级的微扰波函数是不能这样要求的。 2. 一级微扰能和微扰波函数 我们先处理非简并情形，即 (0) H ˆ 的属于 (0) En 的本征态只有一个。为了解一级方程，把 (1)  n 按 (0) { }  n 来展开： (1) (1) (0) . n nm m m   = a 再代入方程中得： (1) (0) (0) (0) (1) (1) (0) ˆ ˆ ( ) ( ) , nm n m n n m a H E H E − = − −   即是： (1) (0) (0) (0) (1) (0) ˆ ( ) ( ) . nm m n m n n m a E E H E − = − −    在这等式的两端乘以 (0)  k 并且积分，注意 (0) { }  n 是正交归一的，就得： (1) (0) (0) (0) (0) (1) ˆ ( ) . nk k n k n n kn a E E H d E      − = − +   k 是任选的，如果选 k = n ，那么上式左方就等于 0，所以我们得到了一级微扰能： (1) (0)* (0) (0) (0) ˆ , E H d H H n n n n n nn = = =          其中 Hnn  就是 H ˆ  在 (0) { }  n 表象中的矩阵元，也就是 H ˆ  在状态 (0)  n 下的平均值。如果选 k  n ，那么右 方第二项 = 0 ，所以得到： (0) (0) (1) (0) (0) (0) (0) ˆ , ( ) k n kn nk n k n k H d H a k n E E E E       = =  − −  其中 Hkn  是矩阵元 (0) (0) (0) (0) ˆ . H H d H kn k n k n          = =  当然，这里不能给出 (1) nn a ，但是由于我们要求 (1)  n 和 (0)  n 正交，所以 (1) 0 nn a = 。因此一级微扰波函数是 , (0) (0) (0) (1) m n m m n m n E E H   −  =  其中 m  表示求和中不包括 m = n 的项。由此，我们发现微扰论适用的条件是： (0) (0) 1. mn n m H E E  − 这就是 (0) H H ˆ ˆ  的准确含义。 3. 二级微扰能 二级微扰方程是：