tanx x∈0, sInx 13.证明:在(01)上成立 (1)(1+x)ln2(1+x)<x2; (2) In(1+x)x 证(1)令f(x)=x2-(1+x)ln2(1+x),则 f(x)=2x-lhn2(1+x)-2ln1+x) fx)=2-2h(1+x)22(x-ln(1+x) >0,x∈(0,1)。 1+x1+x 1+x 由f(0)=0,可知f(x)>0,再由f(0)=0,得到f(x)>0,即 (1+x)ln2(1+x)<x2,x∈(0,1)。 1-1,由(1), (2)令1()m+x)-x (1+x)ln(1+x)- f(x)=x2(1+x)hn2(1+ <0,x∈(0,1) 即f(x)在(0,1)上严格单调减少。再由/(1) In 2 x-In(1+x) f(0+)=lim =imx-m+x)=1,得到 In 2 n(1+x)x2’x∈(0,1)。 14.对于每个正整数n(n≥2),证明方程 x+x +x2+x=1 在(01)内必有唯一的实根xn,并求极限limx 证设∫(x)=x+x+…+x2+x-1,则当x∈(0,1)时, f(x)=nx"1+(n-1)x-2+…+2x+1>0x x x x sin tan > ， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 0, π x 。 13． 证明：在(0,1) 上成立 （1）(1+ x)ln2 (1+ x) < x 2 ； （2） 2 1 1 ln(1 ) 1 1 ln 2 1 − < + − < x x 。 证 （1）令 2 2 f ( ) x x = − (1+ x)ln (1+ x) ，则 2 f '(x x ) = 2 − + ln (1 x) − 2ln(1+ x)， ln(1 ) 2 2( ln(1 )) ''( ) 2 2 0, (0,1) 1 1 1 x x x f x x x x x + − + = − − = > ∈ + + + 。 由 f '(0) = 0，可知 f '(x) > 0 ，再由 f (0) = 0，得到 f (x) > 0，即 2 2 (1+ + x x )ln (1 ) < x , x∈(0,1)。 （2） 令 1 ( ) ln(1 ) f x 1 x x = + − ，由（1）， 2 2 2 2 (1 )ln (1 ) '( ) 0, (0,1) (1 )ln (1 ) x x x f x x x x x + + − = < + + ∈ ， 即 f x( )在(0,1) 上严格单调减少。再由 1 (1) 1 ln 2 f = − 与 2 0 0 ln(1 ) ln(1 ) 1 (0 ) lim lim x x ln(1 ) 2 x x x x f → + x x → + x − + − + + === + ，得到 2 1 1 ln(1 ) 1 1 ln 2 1 − < + − < x x ， x∈(0,1)。 14． 对于每个正整数n（n ≥ 2），证明方程 1 1 2 + + + + = − x x x x n n " 在(0,1) 内必有唯一的实根 xn ，并求极限 n 。 n x →∞ lim 证 设 1 2 ( ) 1 n n nf x x x x x − = + +"+ + − ，则当 x∈(0,1)时， 1 2 '( ) ( 1) 2 1 0 n n nf x nx n x x − − = + − +"+ + > ， 103