1+ >0.x>0 所以∫(x)在(0,+∞)严格单调增加,由f(0)=0知f(x)>0,x>0,从而 (1+x)>(x--),x>0 令g(x)=x-1h1+x),则 0,x>0 所以g(x)在(0,+∞)严格单调增加,由g(0)=0知g(x)>0,x>0,从而 ln(1+x),x>0。 (4)令f(x)=tnx+2sinx-3x,则vx∈, f(x)=sec2x+2 cos x-323Vsec2 x cos x cosx-3=0, 等号仅在x=0成立,所以∫(x)严格单调增加,从而∫(x)>0,即 tanx+2sinx>3x,x∈(0,°) (5)令(x)=x2+(1-x)2,则f(x)=px--(1-x)-)在0.取负值,在 1)取正值,即f(x)在D.1严格单调减少,在,严格单调增加,所 以f(在x=取到最小值。又f(o2=f()=1,所以(x)在x=0取 到最大值1,因而成立 ≤x2+(1-x)"≤1, 0,1] (6)令(= sinx tanx.-x,x∈(0x)。则 f(x)=sin x+sin xsec-x-2x, f"(x)=cos x cost cOS x 显然f(x)>0,由∫(0)=0,可知f(x)>0。再由f(0)=0,得到f(x)>0, 从而2 1 '( ) 1 0, 0 1 1 x f x x x x x = − + = > > + + ， 所以 f (x)在(0,+∞)严格单调增加，由 f (0) = 0知 f x( ) > ∀0, x > 0，从而 2 ln(1 ) ( ), 0 2 x + > x x − x > 。 令 g x( ) = −x ln(1+ x) ，则 1 '( ) 1 0, 0 1 1 x g x x x x = − = > > + + ， 所以 g x( ) 在 (0,+∞) 严格单调增加，由 g(0) = 0 知 g x( ) > ∀0, x > 0 ，从而 x x > + ln(1 ), x > 0。 （4）令 f (x) = tan x + 2sin x − 3x，则 [0, ) 2 x π ∀ ∈ ， '( ) sec 2cos 3 3 sec cos cos 3 0 2 3 2 f x = x + x − ≥ x x x − = ， 等号仅在 成立，所以 严格单调增加，从而 ，即 ， x = 0 f x( ) f x( ) > 0 tan x + > 2sin x 3x (0, ) 2 x π ∈ 。 （5）令 f (x) = x p + (1− x) p , 则 1 1 '( ) ( (1 ) ) p p f x p x x − − = − − 在 1 (0, ) 2 取负值，在 1 ( ,1) 2 取正值，即 f x( )在 1 [0, ] 2 严格单调减少，在 1 [ ,1] 2 严格单调增加，所 以 f x( )在 2 1 x = 取到最小值 1 2 1 p− 。又 f f (0) = (1) =1，所以 在 取 到最大值1，因而成立 f x( ) x = 0,1 1 1 (1 ) 1 2 p p p x x − ≤ + − ≤ ， x∈[0,1]。 （6）令 f (x) = sin x tan x − x 2， ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ∈ 2 0, π x 。则 f '(x) sin x sin x sec x 2x 2 = + − ， 2 cos 2sin cos 1 "( ) cos 3 2 = + + − x x x f x x 。 显然 f "(x) > 0，由 f '(0) = 0，可知 f '(x) > 0 。再由 f (0) = 0，得到 ， 从而 f (x) > 0 102