a=(a1,a2,,an)a1+a2+…+an=0 B=(B1,B2,…,Bn)B1+B2+…+B a+B=(a1+月,a2+B2…an+Bn) 且(a1+B1)+(a2+B2)+…+(an+Bn) =(B1+B2+…+Bn)+(ax1+a2+…+an)=0故a+B∈V1 A∈R,Ac=( a) λa+λa2+…+侃an=(a1+a2+…+an)=4.0=0故aa∈V V2不是向量空间,因为 (a1+B1)+(a2+B2)+…+(an+B) =(B1+B2+…+Bn)+(a1+a2+…+an)=1+1=2故a+B∈V2 巩∈R,a=(11,1a2,…,an) 凡a1+λa2+…+λαn=Aa1+a2+…+cn)=x.l=x 故当≠1时,AagV2 14.试证由a1=(0,1,),a2=(1,0,1),a3=(1,1,0)所生成的向量空间 就是 R3 证明设A=(a1,a2,a3) 01 A={a,a2,a3101=(-1)101=-2≠0 于是R(4)=3故线性无关由于a1,a2,a3均为三维且秩为3, 所以a1,a2,a3为此三维空间的一组基故由a1,a2,a3所生成的向量空间 就是R3 15.由a1=(1,1,0,0),a2=(1,0,1,1),所生成的向量空间记作V由 b1=(2,-1,3,3),a2=(0,1,-1,-1),所生成的向量空间记作V2,试证 H1=V2 证明设v1={x=ka1+k2a2k1,k1∈R} V2={x=B1+42B21,元1∈R} 任取v中一向量可写成k1a1+k2a2, 要证ka1+k2a2∈V2,从而得VcV2 由k1a1+k22=月1+22得9 = ( 1 , 2 , , ) 1 + 2 + + n = 0 T      n     = ( 1 , 2 , , ) 1 + 2 + + n = 0 T      n     T n n ( , , , )  +  = 1 + 1  2 +  2   +  且 ( ) ( ) ( ) 1 + 1 + 2 +  2 ++ n +  n = (1 +  2 ++  n )+ (1 + 2 ++ n ) = 0 故  +  V1 , ( , , , )   R  = 1 2  n  1 +  2 ++  n = (1 +2 ++n ) =   0 = 0 故  V1 V2 不是向量空间，因为： ( ) ( ) ( ) 1 + 1 + 2 +  2 ++ n +  n = (1 +  2 ++  n ) + (1 +2 ++n ) = 1 + 1 = 2 故  +  V2 , ( , , , )   R  = 1 2  n  1 +  2 ++  n = (1 +2 ++n ) =  1 =  故当   1 时，  V2 14．试证:由 T T T a (0,1,1) ,a (1,0,1) ,a (1,1,0) 1 = 2 = 3 = 所生成的向量空间 就 是 3 R . 证明 设 ( , , ) A = a1 a2 a3 1 1 0 1 0 1 0 1 1 , , A = a1 a2 a3 2 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 ( 1) 1 = − = −  − 于是 R(A) = 3 故线性无关.由于 1 2 3 a ,a ,a 均为三维,且秩为 3, 所以 1 2 3 a ,a ,a 为此三维空间的一组基,故由 1 2 3 a ,a ,a 所生成的向量空间 就是 3 R . 15．由 (1,1,0,0) , (1,0,1,1) , 1 2 T T a = a = 所生成的向量空间记作 V1 ,由 (2, 1,3,3) , (0,1, 1, 1) , 1 2 T T b = − a = − − 所生成的向量空间记作 V2 ,试证 V1 =V2 . 证明 设 V1 = x = k1a1 + k2a2 k1 ,k1  R V2 = x = 1 1 + 2 2 1 ,1  R 任取 V1 中一向量,可写成 k1a1 + k2a2 , 要证 k1a1 + k2a2 V2 ,从而得 V1  V2 由 k1a1 + k2a2 = 11 + 2 2 得