解:(1)二次型的矩阵为A=032 2-200 A-AE=03-元2|=(2-)5-41-) 023-A 故A的特征值为A1=2,2=5,A3=1 当A1=2时,解方程(A-2E)x=0,由 000 012 A-2E=012~001 得基础解系5=0取P1=0 0 当2=5时,解方程(A-5E)x=0,由 300 A-5E=0-22 02-2 000 0 0 得基础解系2=1取n2=√2 当3=1时,解方程(A-E)x=0,由 100 100 A-E=022~011 022丿(000 得基础解系与 取P1=-/V2 /2 于是正交变换为㾷˖(1) Ѡ⃵ൟⱘⶽ䰉Ў 200 032 023 æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø A 2 00 E 0 3 2 (2 )(5 )(1 ) 0 23 l l l l ll l - - = - =- - - - A ᬙ A ⱘ⡍ᕕؐЎ 123 lll = = 2, 5, =1ˊ ᔧl1=2ᯊ, 㾷ᮍ⿟( 2) A Ex 0 - = ˈ⬅ 000 012 2 012 001 021 000 ~ æ öæ ö - = ç ÷ç ÷ è øè ø A E ᕫ෎⸔㾷㋏ 1 1 1 1 0 0 0 0 æö æö = = ç÷ ç÷ ç÷ ç÷ èø èø ȟ প p ᔧ 2 l = 5ᯊˈ㾷ᮍ⿟( 5) A Ex 0 - = ˈ⬅ 3 0 0 10 0 5 0 2 2 01 1 0 2 2 00 0 ~ æ öæ ö - -= - - ç ÷ç ÷ è øè ø - A E ᕫ෎⸔㾷㋏ 2 2 0 0 1 1 2 1 1 2 æ ö æ ö ç ÷ = = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø ȟ প p ᔧ 3 l =1ᯊˈ㾷ᮍ⿟( ) A Ex 0 - = ˈ⬅ 100 100 022 011 022 000 ~ æ öæ ö - = ç ÷ç ÷ è øè ø A E ᕫ෎⸔㾷㋏ 3 3 0 0 1 1 2 1 1 2 æ ö æ ö ç ÷ =- =- ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø ȟ প p ѢᰃℷѸবᤶЎ