第五次作业 1.试用施密特法把下列向量组正交化 (11-1) 11) 0-11 1)(a1,a2,a3)=124(2)(a1,a2,a3)= 139 -101 110 解:(1)根据施密特正交化方法: 令b1=a1=1 b2=a2 b, [,] b,a3][ b,=,] 1-1 13231-3 故正交化后得:(b1,b2,b3)=10- 11 10 (2)根据施密特正交化方法令b1=a1=-1 1 b2=a2 ,= [,b b3=a
ԛ๔ұᆴྜ 1ˊ䆩⫼ᮑᆚ⡍⊩ᡞϟ߫䞣㒘ℷѸ࣪ (1) 123 111 ( , , ) 124 139 æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø aaa (2) 123 11 1 0 11 (, , ) 10 1 110 æ ö - ç ÷ - = ç ÷ - ç ÷ è ø aaa 㾷˖(1) ḍᮑᆚ⡍ℷѸ࣪ᮍ⊩˖ Ҹ 1 1 1 1 1 æ ö = = ç ÷ ç ÷ è ø b a ˈ [ ] [ ] 1 2 22 1 1 1 1 , 0 , 1 æ ö - =- = ç ÷ ç ÷ è ø b a ba b b b ˈ [ ] [ ] [ ] [ ] 13 23 33 1 2 11 2 2 1 , , 1 2 , ,3 1 æ ö =- - = -ç ÷ ç ÷ è ø ba ba ba b b bb bb ˈ ᬙℷѸ࣪ৢᕫ: 123 1 1 1 3 2 (, , ) 10 3 1 1 1 3 æ ö - ç ÷ ç ÷ = - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø bbb ˊ (2) ḍᮑᆚ⡍ℷѸ࣪ᮍ⊩Ҹ 1 1 1 0 1 1 æ ö ç ÷ = = ç ÷ - ç ÷ è ø b a [ ] [ ] 1 2 22 1 1 1 1 , 1 3 , 3 2 1 æ ö ç ÷ - =- = ç ÷ ç ÷ è ø b a ba b b b [ ] [ ] [ ] [ ] 13 23 33 1 2 11 2 2 1 , , 1 3 , ,5 3 4 æ ö - ç ÷ =- - = ç ÷ ç ÷ è ø ba ba ba b b bb bb
35 0-1 故正交化后得(b,b2,b3)= 3-53-54 2.判断下列矩阵是否为正交矩阵 5891 (1) 2 )-999 447 999 解:(1)第一个行向量非单位向量故不是正交阵 (2)该方阵每一个行向量均是单位向量,且两两正交,故为正交阵 3.设A、B都是n阶正交矩阵,证明AB也是正交矩阵 证明:因为A,B是n阶正交阵,故A=A,B=B (AB)(AB)=B AAB=BAAB=E 故AB也是正交阵 4.求下列矩阵的特征值与特征向量 (1)|213 )(a1≠0) 336 解:(1)①A-AF|1-2-1 24-x|=(x-2)A-3)=0 故A的特征值为A=2,2=3 ②当A=2时解方程(A-2E)x=0,由 1-1 (A-2E)=22)(00 得基础解系P1= 所以kP1(k≠0)是对应于A1=2的全部特征值向量
ᬙℷѸ࣪ৢᕫ 123 1 1 1 3 5 3 0 1 5 (, , ) 2 3 1 3 5 1 4 1 3 5 æ ö - ç ÷ ç ÷ ç ÷ - ç ÷ = ç ÷ -ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø bbb 2ˊ߸ᮁϟ߫ⶽ䰉ᰃ৺ЎℷѸⶽ䰉 (1) 1 1 1 2 3 1 1 1 2 2 1 1 1 3 2 æ ö - ç ÷ ç ÷ ç ÷ - ç ÷ ç ÷ - ç ÷ è ø (2) 1 84 9 99 81 4 99 9 4 47 9 99 æ ö - - ç ÷ ç ÷ ç ÷ - - ç ÷ ç ÷ ç ÷ - - è ø 㾷˖(1) ϔϾ㸠䞣䴲ऩԡ䞣,ᬙϡᰃℷѸ䰉ˊ (2) 䆹ᮍ䰉↣ϔϾ㸠䞣ഛᰃऩԡ䞣ˈϨϸϸℷѸˈᬙЎℷѸ䰉ˊ 3ˊ䆒 AǃB 䛑ᰃ n 䰊ℷѸⶽ䰉ˈ䆕ᯢ AB гᰃℷѸⶽ䰉 䆕ᯢ˖Ў A B, ᰃ n 䰊ℷѸ䰉ˈᬙ - - 1T 1T A AB B = = ˈ ˈ T TT 1 1 ( )( ) - - AB AB B A AB B A AB E == = ᬙ AB гᰃℷѸ䰉ˊ 4ˊ∖ϟ߫ⶽ䰉ⱘ⡍ᕕؐϢ⡍ᕕ䞣 (1) 123 213 336 æ ö ç ÷ ç ÷ è ø (2) 1 1 2 4 æ ö - ç ÷ è ø (3) ( ) 1 2 12 1 ( 0) n n a a aa a a a æ ö ç ÷ ç ÷ ¹ ç ÷ ç ÷ è ø L M 㾷˖(1) ķ 1 1 ( 2)( 3) 0 2 4 l l ll l - - - = = - -= - A E ᬙ A ⱘ⡍ᕕؐЎ 1 2 l l = = 2, 3ˊ ĸ ᔧl1=2ᯊ,㾷ᮍ( 2) A Ex 0 - = ,⬅ 1 1 11 ( 2) 2 2 00 ~ æ öæ ö - - - = ç ÷ç ÷ è øè ø A E ᕫ⸔㾷㋏ 1 1 1 æ ö - = ç ÷ è ø p ᠔ҹ 11 1 k k p ( 0) ¹ ᰃᇍᑨѢl1=2ⱘܼ䚼⡍ᕕؐ䞣ˊ
当A=3时解方程(A-3E)x=0,由 2 (A-3E) 2 00得基础解系2 所以k2P2(k2≠0)是对应于2=3的全部特征向量 23 (2)①|A-E|=21-3|=-1(+1)2-9)=0 36- 故A的特征值为2=0,2=-1,3=9 ②当入=0时,解方程Ax=0,由 23)(101 A=213-011~011得基础解系P1=-1 336)(000(000 故kP(k1≠0)是对应于A1=0的全部特征值向量 当A=-1时解方程(A+E)x=0,由 223)(110 A+E=223-001-001得基础解系P2=1 337)(000)(000 故k2P2(k2≠0)是对应于2=-1的全部特征值向量 当A3=9时,解方程(A-9E)x=0,由 10 823 A-9E 得基础解系P3 000J|000 故kP3(k3≠0)是对应于3=9的全部特征值向量
ᔧl2 =3 ᯊ,㾷ᮍ( 3) A Ex 0 - = ,⬅ 2 1 21 ( 3) 2 1 00 ~ æ öæ ö - - - = ç ÷ç ÷ è øè ø A E ᕫ⸔㾷㋏ 2 1 2 1 æ ö - = ç ÷ ç ÷ è ø p ᠔ҹ 22 2 k k p ( 0) ¹ ᰃᇍᑨѢl2 =3 ⱘܼ䚼⡍ᕕ䞣ˊ (2) ķ 1 23 2 1 3 ( 1)( 9) 0 3 36 l l l ll l l - - = - =- + - = - A E ᬙ A ⱘ⡍ᕕؐЎ 12 3 ll l = =- = 0, 1, 9ˊ ĸ ᔧ 1 l = 0 ᯊˈ㾷ᮍ Ax 0 = ˈ⬅ 123 123 101 213~011~011 336 000 000 æ öæ öæ ö = ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø A ᕫ⸔㾷㋏ 1 1 1 1 æ ö - = -ç ÷ ç ÷ è ø p ᬙ 11 1 k k p ( 0) ¹ ᰃᇍᑨѢ 1 l = 0 ⱘܼ䚼⡍ᕕؐ䞣. ᔧ 2 l = -1ᯊ,㾷ᮍ( ) A Ex 0 + = ˈ⬅ 223 223 110 223~ 001~ 001 337 000 000 æ öæ öæ ö + = ç ÷ç ÷ç ÷ è øè øè ø A E ᕫ⸔㾷㋏ 2 1 1 0 æ ö - = ç ÷ ç ÷ è ø p ᬙ 22 2 k k p ( 0) ¹ ᰃᇍᑨѢ 2 l = -1ⱘܼ䚼⡍ᕕؐ䞣 ᔧ 3 l = 9 ᯊˈ㾷ᮍ( 9) A Ex 0 - = ˈ⬅ 1 1 0 11 1 2 82 3 1 1 9 2 8 3 ~ 01 ~ 01 2 2 33 3 00 0 00 0 æ ö - - ç ÷ æ ö æ ö - ç ÷ ç ÷ -= - - - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ - ç ÷ è ø ç ÷ è ø ç ÷ è ø A E ᕫ⸔㾷㋏ 3 1 1 2 æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø p ᬙ 33 3 k k p ( 0) ¹ ᰃᇍᑨѢ 3 l = 9 ⱘܼ䚼⡍ᕕؐ䞣ˊ
1 (3)4-E|=a2a1a2- ad an,a ana2 "(λ-a2-a2 λ1=a2+a+…+a=∑a,12=2 入.=0 当A1=∑a时 A-1E a,a1 na aa 00 00 00 取x为自由未知量,并令x=an,设x=a1,x2=a2,…xn1=an1 a 故基础解系为P1= 当2=3=…=λ,=0时 1a2 ana (4-0E)= a2 and 0 2a1 0 可得基础解系
(3) 2 1 12 1 2 21 2 2 2 1 2 n n nn n a aa aa aa a aa aa aa a l l l l - - - = - A E L L M MOM L 12 2 2 1 2 1 22 2 1 2 ( ) ( ... ) 0 n n n n n aa a aa a l l l l - - = - + ++ = - - -- = L 22 2 2 11 2 1 n n i i l aa a a = \= + ++ = L å , 2 3 0 ll l ==== L n ᔧ 2 1 1 n i i l a = = å ᯊˈ ( A E - l ) 22 2 2 3 12 1 22 2 21 1 3 2 22 2 1 2 12 1 n n n n nn n a a a aa aa aa a a a aa aa aa a a a - æ ö -- -- ç ÷ -- -- = è ø -- -- L L L L M MO M L L 1 2 1 0 0 0 0 ~ 0 0 00 0 0 n n n n a a a a a a - æ ö - ç ÷ - - è ø L L M MOM M L L প n x Ў㞾⬅ⶹ䞣ˈᑊҸ n n x a = ˈ䆒 1 12 2 1 1 , , n n x ax a x a == = L - - . ᬙ⸔㾷㋏Ў 1 2 1 n a a a æ ö ç ÷ = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø p M ᔧ 2 3 0 ll l === = L n ᯊˈ ( ) 2 1 12 1 1 2 2 21 2 2 2 1 2 ... 0 0 ... 0 0 ~ ... ... ... ... 0 0 ... 0 n n n nn n a aa aa aa a aa a aa aa aa a æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ -× = ç ÷ ç ÷ è ø è ø A E L L M MOM L ৃᕫ⸔㾷㋏
a1 0 p 0|,p3=a1 p 综上所述可知原矩阵的特征向量为 (P,n2…,n)=的 5.设矩阵A=-2x-2与A=y相似,求 解:方阵A与A相似,则A与A的特征多项式相同,即 0 A-AE=-E→-2x- 0y-0 1-200-4-A 4 6.设A、B都是n阶矩阵,且4≠0,证明AB与BA相似 证明:|A4≠0,则A可逆 A(AB)A=(A)(B4)=BA则AB与BA相似 7.设3阶矩阵A的特征值为1,0,-1,对应的特征向量依次为 51=(12,2),2=(2,-2)},3=(-2,-1,2),求A 解:根据特征向量的性质知(,23)可逆 得:(51525)A(515253)=2 2-2)(1 12-2 可得A=(525)2(5155=2=2-102-2-1 13 212 -1八(212
2 3 1 2 3 1 1 0 0 0 , ,, 0 0 0 n n a a a a a a æ ö - æö æö - - ç ÷ ç÷ ç÷ ç ÷ == = ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø èø èø pp p L M M M 㓐Ϟ᠔䗄ৃⶹॳⶽ䰉ⱘ⡍ᕕ䞣Ў ( ) 1 2 2 1 1 2 1 0 ,,, 0 n n n aa a a a a a æ ö - - ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø pp p L L L MM M L 5ˊ䆒ⶽ䰉 1 24 2 2 4 21 x æ ö - - =- - ç ÷ ç ÷ è ø - - A Ϣ 5 4 y æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø - ȁ ⳌԐˈ∖ xǃy 㾷˖ᮍ䰉 A Ϣ ȁⳌԐˈ߭ A Ϣ ȁⱘ⡍ᕕ乍ᓣⳌৠˈे 1 2 45 0 0 2 20 0 4 21 0 0 4 x y l l ll l l l l --- - - = - Þ- - - = - - - - -- A E ȁ E { 4 5 x y = Þ = ˊ 6ˊ䆒 AǃB 䛑ᰃ n 䰊ⶽ䰉ˈϨ|| 0 A ¹ ˈ䆕ᯢ AB Ϣ BA ⳌԐDŽ 䆕ᯢ˖ A ¹ 0 ˈ߭ A ৃ䗚 1 1 ( ) ( )( ) - - A AB A A A BA BA = = ߭ AB Ϣ BA ⳌԐˊ 7ˊ䆒 3 䰊ⶽ䰉 A ⱘ⡍ᕕؐЎ 1ˈ0ˈ-1ˈᇍᑨⱘ⡍ᕕ䞣ձЎ TT T 12 3 ȟ = = - =- - (1,2,2) (2 2 1) ( 2 1 2) ˈ ˈ ˈˈ ˈ ȟ ȟ ˈ ˈ∖ A 㾷˖ḍ⡍ᕕ䞣ⱘᗻ䋼ⶹ 123 (, , ) ȟ ȟ ȟ ৃ䗚, ᕫ: 1 1 123 123 2 3 (, , ) (, , ) l l l - æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø ȟȟȟ $ȟ ȟ ȟ ৃᕫ 1 1 1 123 2 123 3 12 2 1 12 2 (, , ) (, , ) 2 2 1 0 2 2 1 21 2 1 21 2 l l l - - æ ö æ öæ öæ ö - - = = -- -- ç ÷ ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ è øè øè ø - è ø A ȟȟȟ ȟȟȟ
102 得A=2012 8.设3阶矩阵的特征值为63,3,与特征值6对应的特征向量为男=(,1,1),求A 6 解:设A=x2x4x,由41=61,知{x+x+x=6① 6 又3是A的二重特征值,根据实对称矩阵的性质定理知A-3E的秩为1 3 x3 故利用①可推出x2x-3x-x2x1-3x秩为1 x3 x5 x X6 则存在实的,、b使得{(1=2xx-3x)②成立 由①②解得x2=x3=1,x1=x4=x6=4,x5=1. 得A 9.试求一个正交的相似变换矩阵,将下列矩阵化为对角矩阵 2-20 22-2 (1)-21-2(2)25-4 0-20 45 -20 A-lE|=-21--2=(1-2-4+2) 故得特征值为A1=-2,2=1,3=4 当=-2时,由 -20x l/3 3-21x1|=0→x2|=k2,单位特征向量可取:P=|2/3 x3 当2=1时,由
ᕫ 102 1 0 12 3 2 20 æ ö - = ç ÷ ç ÷ è ø A 8ˊ䆒 3 䰊ⶽ䰉ⱘ⡍ᕕؐЎ 6,3ˈ3ˈϢ⡍ᕕؐ 6 ᇍᑨⱘ⡍ᕕ䞣Ў T 1 Ș = (1,1,1) ˈ∖ A 㾷˖䆒 123 245 356 xxx xxx xxx æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø A ˈ⬅ 1 1 1 61 1 1 æö æö ç÷ ç÷ = ç÷ ç÷ èø èø A ˈⶹ 123 245 356 6 6 6 xxx xxx xxx ì ++= ï í ++= ïî ++= ķ জ 3 ᰃ A ⱘѠ䞡⡍ᕕؐ,ḍᅲᇍ⿄ⶽ䰉ⱘᗻ䋼ᅮ⧚ⶹ A E - 3 ⱘ⾽Ў 1ˈ ߎৃķ⫼߽ᬙ 1 23 2 4 5 24 5 3 56 356 3 11 1 3~ 3 3 3 x xx x x x xx x x xx xxx æ öæ ö - ç ÷ç ÷ - - è øè ø - - ⾽Ў 1. ߭ᄬᅲⱘ aǃb Փᕫ 24 5 356 (1,1,1) ( , 3, ) (1,1,1) ( , , 3) ax x x bx x x ì = - í î = - ĸ ៤ゟˊ ⬅ķĸ㾷ᕫ 23 146 5 xx xxx x == === = 1, 4, 1ˊ ᕫ 411 141 114 æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø A ˊ 9ˊ䆩∖ϔϾℷѸⱘⳌԐবᤶⶽ䰉ˈᇚϟ߫ⶽ䰉࣪Ўᇍ㾦ⶽ䰉 (1) 2 20 21 2 0 20 æ ö - ç ÷ - - ç ÷ è ø - (2) 22 2 25 4 2 45 æ ö - ç ÷ - ç ÷ è ø - - 㾷˖(1) 2 20 2 1 2 (1 )( 4)( 2) 0 2 l l l ll l l - - - =- - -= - - + - - A E ᬙᕫ⡍ᕕؐЎ 1 23 l ll =- = = 2, 1, 4ˊ ᔧ 1 l = -2ᯊˈ⬅ 1 1 2 21 3 3 4 20 1 23 2 0 2 0 22 2 x x x xk x x æ ö æö - æö æö ç ÷ ç÷ - - =Þ = ç÷ ç÷ ç÷ ç÷ è ø èø - èø èø ˈऩԡ⡍ᕕ䞣ৃপ: 1 1 3 2 3 2 3 æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø p ᔧ 2 l = 1ᯊ,⬅
x1 2/3 20-2x2=0→x2|=k1,单位特征向量可取:P2=1/3 当λ3=4时,由 -2-20)(x 2/3 2-3-2x2=0→x2=k3-2,单位特征向量可取:P2=-2/3 1/3 得正交阵(n,P2,P)=P=21-2 200 P-AP=010 004 (24-E-25-24|=-(-1)(-10), 故得特征值为A1=2=1,3=10 当A=A2=1时,由 xx 000 x k1+k20 2-44 此二个向量正交单位化后得两个单位正交的特征向量 PI p2 4/5单位化得P2=3(1 当λ=10时,由 x1 2-5-4‖x2|=10→x2 单位化p:3\2
1 1 2 22 3 3 1 20 2 20 2 0 1 0 21 2 x x x xk x x æ ö æö - æö æö ç ÷ ç÷ - - =Þ = ç÷ ç÷ ç÷ ç÷ è ø èø -- - èø èø ˈऩԡ⡍ᕕ䞣ৃপ: 2 2 3 1 3 2 3 æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø - p ᔧ 3 l = 4ᯊ,⬅ 1 1 2 23 3 3 2 20 2 232 0 2 0 24 1 x x x xk x x æ ö æö - - æö æö ç ÷ ç÷ - - - =Þ = - ç÷ ç÷ ç÷ ç÷ è ø èø - - èø èø ˈऩԡ⡍ᕕ䞣ৃপ: 3 2 3 2 3 1 3 æ ö = -ç ÷ ç ÷ è ø p ᕫℷѸ䰉 123 12 2 1 (, , ) 21 2 3 2 21 æ ö == - ç ÷ ç ÷ è ø - ppp P 1 200 0 10 0 04 - æ ö - = ç ÷ ç ÷ è ø P AP (2) 2 2 22 2 5 4 ( 1) ( 10) 2 45 l l l ll l æ ö - - - = - - =- - - ç ÷ è ø -- - A E ˈ ᬙᕫ⡍ᕕؐЎ 12 3 ll l == = 1, 10 ᔧ 1 2 l l = = 1ᯊˈ⬅ 1 1 2 21 2 3 3 12 2 0 2 2 24 4 0 1 0 2 44 0 0 1 x x x xk k x x æ ö æö æ ö æö - - æö æö ç ÷ ç÷ ç ÷ ç÷ - =Þ = + ç÷ ç÷ è ø èø è ø èø - - èø èø ℸѠϾ䞣ℷѸ,ऩԡ࣪,ৢᕫϸϾऩԡℷѸⱘ⡍ᕕ䞣 1 2 1 1 5 0 æ ö - = ç ÷ ç ÷ è ø p 2 2 2 25 4 1 1 45 5 0 01 * æ ö æ öæ ö - - - =- = ç ÷ ç ÷ç ÷ è ø è øè ø p ऩԡ࣪ᕫ 2 2 5 5 4 5 3 1 æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø p ᔧ 3 l = 10 ᯊ,⬅ 1 1 2 23 3 3 82 2 0 1 2 54 0 2 245 0 2 x x x xk x x æ ö æö æ ö -- - æö æö ç ÷ ç÷ ç ÷ -- = Þ = - ç÷ ç÷ è ø èø è ø --- èø èø ˈऩԡ࣪ 3 1 1 2 3 2 æ ö - = -ç ÷ ç ÷ è ø p
22 153 得正交阵(P13P2P3) √52 100 P-lAP=010 0010 10.(1设3-2 23人求0(A)=A-5A (2)设A=122,求o(A)=A0-6A+5A -23是实对称矩阵 故可找到正交相似变换矩阵P=2y2 使得PAP 从而A=PAPA=P忄P 因此o(A)=A0-5A=PP-1-5P!P=P(A-5)P r(9)-659)-(d (2)同(1)求得正交相似变换矩阵
ᕫℷѸ䰉 123 2 25 1 5 15 3 1 45 2 (, , ) 5 15 3 5 2 0 3 3 æ ö ç ÷ - - ç ÷ ç ÷ == - ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø ppp 1 10 0 01 0 0 0 10 - æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø P AP ˊ 10ˊ(1)䆒 3 2 10 9 , () 5 2 3 j æ ö - = =- ç ÷ è ø - A AA A ∖ (2)䆒 10 9 8 212 122, ( ) 6 5 221 j æ ö = =- + ç ÷ ç ÷ è ø A AA A A ∖ 㾷˖(1) 3 2 2 3 æ ö = ç ÷ è ø - Q A ᰃᅲᇍ⿄ⶽ䰉. ᬙৃᡒࠄℷѸⳌԐবᤶⶽ䰉 1 1 2 2 1 1 2 2 æ ö - ç ÷ = ç ÷ ç ÷ è ø P Փᕫ 1 1 0 0 5 - æ ö = = ç ÷ è ø P AP ȁ Ң㗠 1 1 , - - k k A P = = ȁP A Pȁ P ℸ 10 9 10 1 9 1 10 9 1 j() 5 5 ( 5 ) -- - A A A P =- = - = - ȁ P Pȁ P P ȁ ȁ P 1 1 10 10 10 50 4 0 05 05 0 0 - - é ù æ öæ ö æ ö - =- = ê ú ç ÷ç ÷ ç ÷ ë û è øè ø è ø P PP P 1 1 1 1 4 0 1 1 2 2 11 2 1 1 0 0 11 2 2 11 2 2 æ öæ ö æ ö æ ö æ ö - - -- = = =- ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è øè ø è ø è ø è ø - -- (2) ৠ(1)∖ᕫℷѸⳌԐবᤶⶽ䰉
√6 6√3 √6 00 使得PAP=010=A,A=PAP P(A)=A-6A+5A=P1 P-6P1P+5P/P P(A-64+51)P=P[A(42-61+5E)P PLA(A-5EXA-EIP -6 0P-=211-2 -2-24 11.用矩阵记号表示下列二次型 (1)f=x2+4xy+4y2+2x+22+4yz (2)f=x2+y2-7--2xy-4x2-4yz (3)f=x1 2 2 2x2x2+2 解 x,y,二 (2)∫=(x,y,2) x1 (3)f=(x1,x2,x3,x 2310 求一个正交变换,化下列二次型成标准型 1)f=2x2+3x2+3x2+4x2x (2)f=x2+x2+x2+x4+2x1x2-2x1x4-2x2x3+2x3x4
6 11 6 2 3 61 1 6 2 3 6 1 0 3 3 æ ö ç ÷ - - = - è ø P Փᕫ 1 1 100 0 10 , 0 05 - - æ ö - = == ç ÷ ç ÷ è ø P AP ȁ A PȁP 10 9 8 10 1 9 1 8 1 10 9 8 1 8 2 1 8 1 () 6 5 6 5 ( 6 5 ) [ ( 6 5 )] = [ ( 5 )( )] j --- - - - =- + = - + = - + = -+ - - A A A A Pȁ P Pȁ P Pȁ P 3 ȁ ȁ ȁ P P ȁ ȁ ȁ E P 3ȁ ȁ ( ȁ E P 1 8 1 6 0 11 2 1 5 0 21 1 2 5 0 5 2 24 - æ öæ öæ ö æ ö - - = - =- ç ÷ç ÷ç ÷ ç ÷ ç ÷è øè ø è ø - - è ø P P ˊ 11ˊ⫼ⶽ䰉䆄ো㸼⼎ϟ߫Ѡൟ (1) 2 22 f x xy y xz z yz =+ + + ++ 442 4 (2) 22 2 f x y z xy xz yz =+- - - - 7244 (3) 2222 1 2 3 4 12 14 23 34 f x x x x xx xx xx xx =+++- - - + 2222 㾷˖(1) 121 (, ,)242 121 x f xyz y z æ öæ ö = ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø ˊ (2) 1 12 (, ,) 1 1 2 227 x f xyz y z æ öæ ö - - = -- ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ è øè ø --- ˊ (3) 1 2 1234 3 4 1 12 1 113 2 (, , , ) 2 310 1 20 1 x x f xxxx x x æ ö - - æ ö ç ÷ - - ç ÷ = ç ÷ç ÷ ç ÷ç ÷ ç ÷ è ø - - è ø 12ˊ∖ϔϾℷѸবᤶˈ࣪ϟ߫Ѡൟ៤ᷛޚൟ (1) 222 1 2 3 23 f x x x xx =+++ 2334 (2) 2222 1 2 3 4 12 14 23 34 f x x x x xx xx xx xx =++++ - - + 2222
解:(1)二次型的矩阵为A=032 2-200 A-AE=03-元2|=(2-)5-41-) 023-A 故A的特征值为A1=2,2=5,A3=1 当A1=2时,解方程(A-2E)x=0,由 000 012 A-2E=012~001 得基础解系5=0取P1=0 0 当2=5时,解方程(A-5E)x=0,由 300 A-5E=0-22 02-2 000 0 0 得基础解系2=1取n2=√2 当3=1时,解方程(A-E)x=0,由 100 100 A-E=022~011 022丿(000 得基础解系与 取P1=-/V2 /2 于是正交变换为
㾷˖(1) Ѡൟⱘⶽ䰉Ў 200 032 023 æ ö = ç ÷ ç ÷ è ø A 2 00 E 0 3 2 (2 )(5 )(1 ) 0 23 l l l l ll l - - = - =- - - - A ᬙ A ⱘ⡍ᕕؐЎ 123 lll = = 2, 5, =1ˊ ᔧl1=2ᯊ, 㾷ᮍ( 2) A Ex 0 - = ˈ⬅ 000 012 2 012 001 021 000 ~ æ öæ ö - = ç ÷ç ÷ è øè ø A E ᕫ⸔㾷㋏ 1 1 1 1 0 0 0 0 æö æö = = ç÷ ç÷ ç÷ ç÷ èø èø ȟ প p ᔧ 2 l = 5ᯊˈ㾷ᮍ( 5) A Ex 0 - = ˈ⬅ 3 0 0 10 0 5 0 2 2 01 1 0 2 2 00 0 ~ æ öæ ö - -= - - ç ÷ç ÷ è øè ø - A E ᕫ⸔㾷㋏ 2 2 0 0 1 1 2 1 1 2 æ ö æ ö ç ÷ = = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø ȟ প p ᔧ 3 l =1ᯊˈ㾷ᮍ( ) A Ex 0 - = ˈ⬅ 100 100 022 011 022 000 ~ æ öæ ö - = ç ÷ç ÷ è øè ø A E ᕫ⸔㾷㋏ 3 3 0 0 1 1 2 1 1 2 æ ö æ ö ç ÷ =- =- ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ è ø è ø ȟ প p ѢᰃℷѸবᤶЎ