第七章线性空间与线性变换 本章主要讨论线性空间及线性变换 的的一些基本概念与基本定理,在此基 础上使大家能利用这些基本概念与定理 解决相关问题
第七章 线性空间与线性变换 本章主要讨论线性空间及线性变换 的的一些基本概念与基本定理，在此基 础上使大家能利用这些基本概念与定理 解决相关问题
§7.1线性空间的定义与性质 §7.2线性空间的基、维数与坐标 §7.3基变换与坐标变换 §7.4线性变换 §7.5线性变换的矩阵表示
§7.1 线性空间的定义与性质 §7.2 线性空间的基、维数与坐标 §7.3 基变换与坐标变换 §7.4 线性变换 §7.5 线性变换的矩阵表示
第一节线性空间的定义与性质
第一节 线性空间的定义与性质
线性空间的定义 线性空间是线性代数最基本的概念之一,也 是一个抽象的概念,它是向量空间概念的推 线性空间是为了解决实际问题而引入的,它 是某一类事物从量的方面的一个抽象,即把实 际问题看作向量空间,进而通过研究向量空间 来解决实际问题
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也 是一个抽象的概念，它是向量空间概念的推 广． 线性空间是为了解决实际问题而引入的，它 是某一类事物从量的方面的一个抽象，即把实 际问题看作向量空间，进而通过研究向量空间 来解决实际问题． 一、线性空间的定义
定义1.设V是一个非空集合,R为实数域.如 果对于任意两个元素a/∈V,总有唯一的 个元素y∈V与之对应,称为a与B的和,记作: r=a+B 若对于任一数λ∈R与任一元素a,总有 唯一的一个元素6∈V与之对应,称为与a 的积,记作δ=1a 如果上述定义的两种运算满足以下八条 运算规律,那么V就称为数域R上的向量空 间(或线性空间)
定义1.设V 是一个非空集合，R 为实数域．如 果对于任意两个元素α,β∈V，总有唯一的一 个元素γ∈V与之对应，称为α与β的和，记作： γ=α+β 若对于任一数λ∈R 与任一元素α，总有 唯一的一个元素δ∈V与之对应，称为λ与α 的积，记作δ=λα 如果上述定义的两种运算满足以下八条 运算规律，那么 V 就称为数域 R 上的向量空 间（或线性空间）．
设a、月、γ∈V,∈R (1)a+B=B+a (2)(a+B)+y=a+(B+) (3)30∈V,对a∈V,都有a+0=a (4)a∈V,3B∈V,都有a+B=0 (5)1a=a (6)A(10)=(4)a (7)(+)0=a+ (8)(a+B)=a+AB
(1) (2) ( ) ( ) (3) (4) (5) 1 (6) ( ) ( ) (7) ( ) (8) ( ) λ μ + = + + + = + + + = + = = = + = + + = + α β γ V R α β β α α β γ α β γ 0 V α V α 0 α α V β V α β 0 α α α α α α α α β α β 设 、、 ， 、 ，对 ，都有 ， ，都有
说明: 1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算,称 为线性运算. 2.向量空间中的向量不一定是有序数组 3.判别线性空间的方法:一个集合,对于定义 的加法和数乘运算不封闭,或者运算不满足八 条性质的任一条,则此集合就不能构成线性空
说明: 1.凡满足以上八条规律的加法及乘数运算，称 为线性运算． 2.向量空间中的向量不一定是有序数组． 3.判别线性空间的方法：一个集合，对于定义 的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八 条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空 间
线性空间的判定方法 (1)个集合,如果定义的加法和乘数运算是通 常的实数间的加乘运算,则只需检验对运算的 封闭性 (2)一个集合,如果定义的加法和乘数运算不是 通常的实数间的加乘运算,则必需检验是否满 图足八条线性运算规律
线性空间的判定方法: (1)一个集合，如果定义的加法和乘数运算是通 常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的 封闭性． (2)一个集合，如果定义的加法和乘数运算不是 通常的实数间的加乘运算，则必需检验是否满 足八条线性运算规律．
例1实数域上的全体m×n矩阵,对于 矩阵的加法和数乘运算构成实数域上 的线性空间,记作Rm Q Amm+B A D m×n mxn 2 m×n m×n R m×n 是一个线性空间
. , 1 . m n m n m n m n m n m n m n m n R A B C A D R + = = Q 实数域上的全体 矩阵，对于 矩阵的加法和数乘运算构成实数域上 的线性空间，记作 是一个 例 线性空间
例2次数不超过r多项式的全体记作 P[x,即: P[x]=p 十..+a1X tan.a ∈R 对于通常的多项式加法、数乘多项式 的乘法构成实数域上的线性空间。 通常的多项式加法、数乘多项式的乘 法满足线性运算规律
1 1 1 0 1 1 0 [ ] [ ] ... | , ,..., , 2. n n n n n n n n n P x P x p a x a x a x a a a a a − − − = = + + + + R 次数不超过 的多项式的全体记作 ，即： 对于通常的多项式加法、数乘多项式 的乘法构成实数域上的线性空间。 通常的多项式加法、数乘多项式的乘 法满足线性 例 运算规律