第三章随机向量及其分布
第三章 随机向量及其分布
定义设E:9={o},五1,石,…,石是定 义在Ω上的n个随机变量,称随机变量组 (H1,石,…,E)为定义在上的n维随机 向量。考虑最多的是二维随机向量(x,Y) X(e))
定义 设E：Ω={ω} ，X1，X2，…，Xn是定 义在Ω上的n个随机变量，称随机变量组 （X1，X2，…，Xn）为定义在Ω上的n维随机 向量。 e X(e) Y(e) 考虑最多的是二维随机向量(X,Y)
随机向量的例子 1、体检时每个人有身高和体重两个指标,分别用X和Y表示。 2、火箭在空中的飞行姿态,水平位置和高度,经度(X) ,纬度(Y),高度(Z)是定义在Ω上的三个随机变量。即 每一个点对应三个实数值,称向量(X,Y,Z)为三维随机 向量。 ×(o) (o)
2、火箭在空中的飞行姿态，水平位置和高度，经度（X） ，纬度（Y），高度（Z）是定义在Ω上的三个随机变量。即 每一个点对应三个实数值，称向量（X，Y，Z）为三维随机 向量。 1、体检时每个人有身高和体重两个指标,分别用X和Y表示。 随机向量的例子
二维随机向量的样本空间 (1)二维随机向量(X,Y)的 一个可能值可以用平面上的一 个点表示 D (2)样本空间是平面上的一些 离散点或者平面区域D
二维随机向量的样本空间 (1) 二维随机向量（X，Y）的 一个可能值可以用平面上的一 个点表示 D (2)样本空间是平面上的一些 离散点或者平面区域D
、二维随机向量(X,Y)的联合分布函数 1.定义:设(Ⅹ,Y),x、y为两个任意实数,则称二 元函数 F(x,y)=PK≤x,Ⅳ≤y 为二维随机向量(X,Y)的分布函数,或称X、Y的 联合分布函数
一、二维随机向量（X，Y）的联合分布函数 1. 定义：设 （X，Y），x、y为两个任意实数，则称二 元函数 F（x, y）=P{X≤x, Y≤y} 为二维随机向量（X，Y）的分布函数，或称X、Y的 联合分布函数
2几何意义:F(y)表示随机点(k,1落在以 xy》为顶点,且位于该点左下方的无穷矩彩区域肉的 橛率。 X, y x
2. 几何意义：F（x,y）表示随机点（X，Y）落在以 （x,y）为顶点，且位于该点左下方的无穷矩形区域内的 概率
3矩形区域内的概率计算: 对于任意的x1<x2,<y, PIx, <XSX2, y,<Ksy2=F(x2, y2)F(x2, y,) -F(x,, y2)+F(,, yu xI 2
对于任意的x1＜x2，y1＜y2， P{x1＜X≤x2，y1＜Y≤y2 }＝F（x2 , y2）-F(x2 ,y1 ) -F(x1 ,y2 )+F(x1 ,y1 ) 3 矩形区域内的概率计算：
4.F(xy)的基本性质: (1)F(x,y)是x和~单调不减函数。即 对于任意固定的y,当x1<2时,F(x1y)≤F(x2,y); 对于任意固定的x,当v1<y2时,F(xy1)≤F(x,y2) (2)0≤F(xy)≤1,F(-0,-∞)=0,F(+∞,+o)=1 对任意固定的y,F(∞0,y)=0 对任意固定的x,F(x,-∞)=0 (3)F(x,y)关于x右连续,关于y也是右连续的,即 F(x+0, y)=F (x,y), F(x,y+0)=F(x,y) (4)对于任意的x<x2y1<y有下列不等式 F(x2,y2)F(x2,y1)F(x12)+F(x1y1)≥0
4 . F（x,y）的基本性质： （1）F(x,y) 是x和y的单调不减函数。即 对于任意固定的y，当x1＜x2时，F（x1 ,y）≤F（x2 , y）； 对于任意固定的x，当y1＜y2时，F（x ,y1）≤F( x, y2 ) （2）0≤F（x,y）≤1, F(-∞，-∞)=0，F（+∞，+∞）=1 对任意固定的y，F（-∞，y）=0 对任意固定的x，F（x，-∞）=0 （3）F（x,y）关于x 右连续，关于y 也是右连续的，即 F（x+0,y）=F（x,y），F（x,y+0）=F（x,y） （4）对于任意的x1＜x2 , y1＜y2有下列不等式 F（x2 , y2）-F（x2 , y1）-F（x1 ,y2）+ F（x1 ,y1）≥0
思考:F(-∞,+0)=?
思考: F(- ,+ )=?
例1、设(X,Y)的分布函数 F(x,y)=A(B+arctan)(C+arctan)(00<x<o0, -00<y<o 4 求A,BC的值及概率PX3,Y≤4} 解:由分布函数的性质, F(+∞,+0o)=1,F(∞,40)=0,F(+0,-∞)=0,得 A( 元 (B+)(C+-)=1 A(B--)(C+-)=0 2 A(B+-)(C--)=0 2 解得A= n2 B=t 元 C PXs3,F≤4=F3,41,m, 2 元兀 一 z)=9 x2422416
例1、设（X，Y）的分布函数 ( , ) ( arctan )( arctan ) x x F x y A B C = + + 3 4 求 A,B,C 的值及概率P{X≤3,Y≤4} 解: 由分布函数的性质, F( , ) , + + = 1 F( , ) , − + = 0 F( , ) , + − = 0 得 ( )( ) 2 2 A B C + + = 1 ( )( ) 2 2 A B C − + = 0 ( )( ) 2 2 A B C + − = 0 解得 A = 2 1 2 B = 2 C = P X Y F { , } ( ) ( )( ) = = + + = 2 1 9 3 4 3,4 4 2 2 4 16 ( , ) − − x y