中国矿业大学：《概率论与数理统计》课程教学资源（PPT课件讲稿）第七章 参数估计

第七章 参数估计 堂一、点估计 约二、估计量的评选标准 区间估计 四、正态总体均值与方差的区间估计

第七章 参 数 估 计 二 、估计量的评选标准 一 、点估计 三 、区间估计 四 、正态总体均值与方差的区间估计

矩估计法 点估计 估计问题 最大似然估计法 统计推断的 区间估计 基本问题 假设检验问题 参数估计是统计推断的基本问题之 参数估计要解决的问题: 总体分布函数的形式为已知,估计 其一个或多个未知参数

统计推断的 基本问题 估计问题 假设检验问题 点估计 区间估计 矩估计法 最大似然估计法 参数估计是统计推断的基本问题之一 参数估计要解决的问题: 总体分布函数的形式为已知,估计 其一个或多个未知参数

第七章 第一节 点估计 点估计问题的一般提法 二、矩估计法 最大似然估计法

点 估 计 第七章 第一节 二 、矩估计法 一 、点估计问题的一般提法 三 、最大似然估计法

点估计问题的一般提法 设总体Xx的分布函数为F(X,O)形式为已知, O是待估参数,X1,2,…Xn是X的一个样本, x,x2…x2是相应的一个样本值。点估计就是 构造一个适当的统计量O(x1,X2…Xn) 用它的观察值θ(x1,x2xn)作为未知参数的近似值 称O(X122Yn)为估计量 0(x1,x2…xn)为估计值

一 、点估计问题的一般提法 X X Xn , ,  是待估参数， 1 2 是 X 的一个样本, n x , x ,x 1 2 是相应的一个样本值。 点估计就是 构造一个适当的统计量 ( , , ) X1 X2 Xn  用它的观察值 (x1 , x2 ,xn ) 作为未知参数的近似值。  称 (X1 ,X2 ,Xn ) 为估计量  ( x1 , x2 , xn ) 为估计值  设总体 X 的分布函数为 F(X;) 形式为已知

矩估计法 它是基于一种简单的“替换”思想建立 起来的一种估计方法。 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的。 其基本思想是用样本矩估计总体矩

二 、矩估计法 其基本思想是用样本矩估计总体矩。 它是基于一种简单的“替换”思想建立 起来的一种估计方法。 是英国统计学家K.皮尔逊最早提出的。 k P Ak 

命题:若总体X的k阶矩E(X)=k存在,则 证明因为样本X1,X2…Xn相互独立且与总体X 服从相同的分布。则X,K…,x也相互独立,且 与Xk服从相同的分布。 即E(Xx)=E(X2)=…=E(Xn)= 由辛钦定理∑x-"→4k即

. P Ak k 命题：若总体X 的 k 阶矩 存在，则 证明 因为样本 1 2 , , , X X  X n 相互独立且与总体X 服从相同的分布。则 1 2 , , , k k k X X  Xn 也相互独立，且 与 k X 服从相同的分布。 由辛钦定理 1 1 n k P i k i X n    即 . P Ak k k k E(X )   k k n k k 即E(X1 )  E(X2 )   E(X )  

基本思想: Eg若X为连续型随机变量,设概率密度为 f(x,O2…,O),2…,O2未知 4=142=E(x)=x(x…)dx 令〈22 =2 解出日=8,(X1,2…,Xn),=1,2,…S

基本思想: Eg.若X为连续型随机变量，设概率密度为 1 1 ( , , , ) , , , e e f x       未知 令 1 1 2 2 e e A A A             1 1 n k k i i A X n    1 ( ) ( , , ) k k k E X e  x f x   dx       解出 1 2 ˆ ( , , , ) , 1,2, , i i n   g X X  X i   s

例1设总体X服从参数为2的指数分布,X1…xn 为X的一个样本,求λ的矩估计量 解:令A1=1 其中A=∑X= 11=E(X)= 所以λ的矩估计量为 估计量 估计值 ∑

例1 设总体 求  的矩估计量。 解: 令A1  1 其中 1 1 1 n i i A X X n     所以λ的矩估计量为 为X的一个样本， X X Xn , , 服从参数为的指数分布， 1  , 1 ( ) 1    E X  . 1 ˆ X   . 1 ˆ 1    n i i x n x  估计量 估计值

例2设总体X的概率密度为 ∫(x)= (a+1)xa,0-1 0 其 是未知参数, X12xn是取自X的样本,求参数a的矩估计量 解A1=E(X)=[x(x+1)x a+1 a+1 + a+2 a+1 a+2

例2 设总体X 的概率密度为 解 E X x x dx   ( ) ( 1) 1 0 1     2 1 ( 1) 1 1 0           x dx 即 2 1 1              0, 其它 ( 1) , 0 1 ( ) x x f x   是未知参数, 其中  1 X1 ,X2 ,…,Xn是取自X 的样本,求参数α的矩估计量

a =Ⅹ a+2 2X-1 从而a的矩估计量a 1-X 例3设总体X~U(a,b),a,b未知,X1,X2…,Xn 为X的一个样本,求a,b的矩估计量。 解1=E(X)=(a+b)/2 2=E(X2)=D(X)+E2(X) b-a)2(a+b) 12 4

令 A1  1 ，则 1 2 X      从而α的矩估计量 2 1 ˆ . 1 X X     ~ 1 2 ( , ) , , , , X U n a b a b 未知，X X  X 为X 的一个样本，求 a,b的矩估计量。 例3 设总体 解 1   E(X )  (a  b)/ 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 4 b a a b  E X D X E X       