第四章 随机变量的数字特征 数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第四章 随机变量的数字特征 一、数学期望 二、方差 三、协方差和相关系数 四、矩和协方差矩阵
第四章 第一节 数学期望 数学期望的概念 二、随机变量函数的数学期望 三、数学期望的性质
数学期望 第四章 第一节 二、随机变量函数的数学期望 一 、数学期望的概念 三、数学期望的性质
数学期望的概念 起源:法国数学家帕斯卡 ( Pasca,1623-1662) 法国数学家费马 ( Fermat,1601-1665) 法国贵族德梅勒 ( de mere,1607-1684)
一、数学期望的概念 起源：法国数学家帕斯卡 （Pascal，1623—1662） 法国数学家费马 （ Fermat，1601—1665） 法国贵族德.梅勒 （de Mere，1607—1684）
约定先赢5局,获全部赌金 帕斯卡朋友德梅勒 A:4 分赌金 4/71/2 B:3 3/71/2 写信 × 费马期望(提前分钱) 假设再赌局A赢获全赌金:1 A输获赌金:1/2 A最后获赌金:12×1+1/2×1/2=3/4 B最后获赌金:1/2×0+1/2×1/2=1/4
帕斯卡 德.梅勒 约定先赢5局，获全部赌金 A：4 B：3 分赌金 写信 费马 假设再赌一局 A赢获全赌金：1 A输获赌金： 1/2 A最后获赌金：1/2×1+1/2×1/2=3/4 B最后获赌金：1/2×0+1/2×1/2=1/4 期望（提前分钱） 朋友
引例:某人参加一个掷骰子游戏,规则如下 掷得点数1点2,3点45,6点 获得(元) 4 求:平均每次游戏得多少钱? 解:设一次游戏得钱数为X,则κ是一个随机变量。 它的分布率为: 4 P( 1/61/3
引例：某人参加一个掷骰子游戏，规则如下： 掷得点数 获得(元) 1点 1 2,3点 2 4,5,6点 4 求：平均每次游戏得多少钱？ 解：设一次游戏得钱数为X，则X是一个随机变量。 它的分布率为： X P(X) 1 1/6 2 1/3 4 1/2
假设做了m次游戏,n1得1元次数,m2得2元次数, n2-得4元次数, 则n1+n2+n3=n,获得』×n1+2×m2+4xn3 每次平均得 1×n1+2×m2+4×m3 =1x2+2×2+4× 当n很大时,≈1×p2+2×p2+4xp3 l×-+2×-+4× 3 26
假设做了n次游戏， 每次平均得： 当n很大时
定义1设离散型随机变量X的分布律为 P{X=xk}=pk,(k=1,2,3,…) 若级数∑xp绝对收敛 k=1 则称此级数的和为X的数学期望 简称期望或均值,记为E(X) 即E(X)=∑xPk k=1 注:离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定, 其与X取值殍辣癸随机变量的数学期望是一个绝对 收敛的级数的和
注：离散型随机变量的数学期望由分布律唯一决定， 1 ( ) k k k E X x p = = 1 k k k x p = 若级数 绝对收敛 ， 设离散型随机变量X 的分布律为 P{X = x } = p ,(k =1,2,3, ) k k 简称期望或均值，记为 E(X). 则称此级数的和为X 的数学期望。 即 其与 X 取值顺序无关。 定义1 离散型随机变量的数学期望是一个绝对 收敛的级数的和
例1甲乙两人射击,他们的射击水平由下表给出 X—甲所得环数,Y一乙所得环数 X8910 8910 0.10.30.6 Pk0.20.50.3 试问哪个人的射击水平较高? 解甲乙的平均环数可求得 E(X)=8×0.1+9×0.3+10×0.6=95 E()=8×0.2+9×0.5+10×0.3=9.1 因此,甲的射击水平要比乙的好
0.1 0.3 0.6 8 9 10 k p X 8 9 10 0.2 0.5 0.3 k Y p 例1 甲乙两人射击，他们的射击水平由下表给出 试问哪个人的射击水平较高？ 解 甲乙的平均环数可求得： 因此，甲的射击水平要比乙的好
例某人的一串钥匙上有n把钥匙,其中只有一把能 打开自己的家门,他随意地试用这串钥匙中的某一把 去开.若每把钥匙试开一次后除去,求打开门时试 开次数的数学期望 解设试开次数为X P(X=k)= 于是E(x)=∑k 1(1+n)nn+1 k=1 例3掷一颗均匀的骰子,以ⅹ表示掷得的点数, 求X的数学期望。 B(X)=>k6=2
解 设试开次数为X , ( ) = = n k n E X k 1 1 2 1 (1 n)n n + = 2 +1 = 于是 n 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能 打开自己的家门，他随意地试用这串钥匙中的某一把 去开门. 若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试 开次数的数学期望. 例2 例3 掷一颗均匀的骰子，以 X 表示掷得的点数， 6 1 1 7 6 2 ( ) i E X k = = = 求X 的数学期望。 ( ) 1 P X k k n 1 2, , , . n = = =
2、几种常用离散型分布的期望 (1)(01)分布x01 E(X)=0·(1-p)+1·p=p (2)二项分布X~b(n,p) P{X=k}=Cp3qk,k=0,1,2,…,n E(X=np (3)泊松分布X~x(x) PX=kyh k=0,1,2,…E(X)=
2、几种常用离散型分布的期望 (1) （0—1）分布 E X p p p ( ) 0 (1 ) 1 = − + = (2) 二项分布 E(X ) = np. (3) 泊松分布 P{X = k} = X ~ () − e k k ! k = 0,1,2, E(X ) =